Многоканальная смо с отказами

 

Рассмотрим n -канальную СМО с отказами. Будем нумеровать со­стояния системы по числу занятых каналов (или, что в данном случае то же, по числу заявок, связанных с системой). Состояния будут:

S₀ – все каналы свободны,

S₁, – занят ровно один канал, остальные свободны,

....

S_k – заняты ровно k каналов, остальные свободны,

....

S_n – заняты все n каналов.

Граф состояний СМО представлен на рис.3. Разметим граф, т. е. проставим у стрелок интенсивности соответствующих потоков событий. По стрелкам слева направо систему переводит один и тот же поток – поток заявок с интенсивностью λ. Если система находится в со­стоянии S_k (занято k каналов) и пришла новая заявка, система пере­ходит (перескакивает) в состояние S_k+1.

Рис.3.

 

Определим интенсивности потоков событий, переводящих систе­му по стрелкам справа налево.

Пусть система находится в состоянии S₁ (занят один канал). Тог­да, как только закончится обслуживание заявки, занимающей этот канал, система перейдет в S₀; значит, поток событий, переводящий систему по стрелке S₁→S₀, имеет интенсивность μ. Очевидно, если обслуживанием занято два канала, а не один, поток обслуживании, переводящий систему по стрелке S₂→S₁ будет вдвое интенсивнее (2μ); если занято k каналов – в k раз интенсивнее (k μ). Проставим соответствующие интенсивности у стрелок, ведущих справа налево.

Из рис.3 видно, что процесс, протекающий в СМО, представляет собой частный случай процесса «гибели и размножения», рассмотренного нами в предыдущем разделе.

Пользуясь общими правилами, можно составить уравнения Кол­могорова для вероятностей состояний:

(4.1)

Уравнения (4.1) называются уравнениями Эрланга. Естественными начальными условиями для их решения являются:

p₀(0)=1; p₁(0) = p₂(0) =... = p_n(0) = 0

(в начальный момент система свободна).

Интегрирование системы уравнений (4.1) в аналитическом виде довольно сложно; на практике такие системы дифференциальных уравнений обычно решаются численно, на АВМ или ЭЦВМ. Такое решение дает нам все вероятности состояний

p₀(t), p₁(t), p₂(t),... p_n(t)

как функции времени.

Естественно, нас больше всего будут интересовать предельные вероятности состояний p₀, p₁, p₂,... p_n, харак­теризующие установившийся режим работы СМО (t →∞). Для нахождения предельных вероятностей воспользуемся уже готовым ре­шением задачи, полученным для схемы гибели и размножения в предыдущем разделе. Согласно этому решению,

(4.2)

В этих формулах интенсивность потока заявок λ и интенсивность потока обслуживании (для одного канала) μ не фигурируют по отдель­ности, а входят только своим отношением λ /μ. Обозначим это отноше­ние

λ /μ = ρ

и будем называть величину ρ «приведенной интенсивностью» потока заявок. Физический смысл ее таков: величина ρ представляет собой среднее число заявок, приходящих в СМО за среднее время обслужи­вания одной заявки.

С учетом этого обозначения, формулы (4.2) примут вид:

(4.3)

Формулы (4.3) называются формулами Эрланга. Они выражают предельные вероятности всех состояний системы в зависи­мости от параметров λ, μ и n (λ – интенсивность потока заявок, μ – интенсивность обслуживания, n – число каналов СМО).

Зная все вероятности состояний можно найти характеристики эффективности СМО: относительную пропускную способность q, абсолютную пропускную способность А
и вероятность отказа Р_отк.

Действительно, заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все n каналов заняты. Вероятность этого равна

Р_отк = p_n = . (4.4)

Вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же относительная пропускная способность q) дополняет Р_отк до еди­ницы:

q = 1– p_n (4.5)

Абсолютная пропускная способность:

A = λq = λ ( 1– p_n) (4.6)

Одной из важных характеристик СМО с отказами является сред­нее число занятых каналов (в данном случае оно совпадает со средним числом заявок, находящихся в системе). Обозначим это среднее число .

Величину можно вычислить непосредственно через вероятности p₀, p₁, p₂,... p_n по формуле:

= 0·p₀ +1·p₁+ 2·p₂+... + n ·p_n (4.7)

как математическое ожидание дискретной случайной величины, при­нимающей значения 0, 1,..,, п с вероятностями p₀, p₁, p₂,... p_n. Однако значительно проще выразить среднее число занятых каналов через аб­солютную пропускную способность A, которую мы уже знаем. Дейст­вительно, А есть не что иное, как среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; один занятый канал обслуживает в среднем за еди­ницу времени μ, заявок; среднее число занятых каналов получится де­лением А на μ:

,

или, переходя к обозначению λ /μ = ρ

= ρ ( 1– p_n) (4.8)

Пример. Повторяются условия примера предыдущего параграфа (λ = 0,8, μ = 0,667), однако вместо одноканальной СМО (n = 1) рассматривается трехканальная (n = 3), т. е. число линий связи увеличено до трех. Найти вероятнос­ти состояний, абсолютную и относительную пропускную способности, вероят­ность отказа и среднее число занятых каналов.

Решение. Приведенная интенсивность потока заявок:

ρ = λ/μ = 0,8/0,667 = 1,2

По формулам Эрланга (4.3) получаем:

p₁= = 1,2 p₀,

p₂= = 0,72 p₀

p₃= = 0,288 p₀

p₀ = ;

Вычисляем вероятность отказа:

Р_отк = Р_з = 0,090.

Относительная и абсолютная пропускные способности равны:

q = 1 – р₃ = 0,910; A = λ q = 0,8·0,910 = 0,728.

Среднее число занятых каналов:

= ρ ( 1– p₃) = 1,2·0,91 1,09,

Т. е. при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занят один с не­большим канал из трех – остальные два будут простаивать. Этой ценой добы­вается сравнительно высокий уровень эффективности обслуживания – около 91% всех поступивших вызовов будет обслужено