Число. Раціональні, ірраціональні та дійсні числа.

Леонардо да Вінчі

 

Сучасне твердження:

“Будь яка наука досягає значного

успіху, якщо використовує

у своєму розвитку математичні

методи і моделі”.

 

Вступ

Предмет математики

Кожна наука, яка вивчає ті чи інші явища оточуючого нас світу, має справу з притаманними їм величинами. Так, фізика – наука про найзагальніші форми руху матерії (механічної, теплової, електромагнітної та ін.) – торкається таких величин, як довжина, сила, температура, маса, питома вага, швидкість, прискорення, теплоємність, сила електричного струму та ін.

Незважаючи на надзвичайну різноманітність цих величин, всі вони мають одну спільну властивість: кожну величину можна виміряти, тобто порівняти з певною величиною тієї ж природи, взятою за одиницю міри. Так, довжина вимірюється одиницею довжини – метром, температура – одиницею температури – градусом, сила струму – ампером і т. д.

Абстрактне число, що його дістаємо внаслідок вимірювання конкретної величини одиницею масштабу, звуть вартістю, чи значенням величини, яка вимірюється. Якщо взяти будь-який закон природи, приміром закон Ленца-Джоуля про кількість виділюваного тепла при проходженні

електричного струму в провіднику , то він дає нам співвідношення між величинами, точніше співвідношення між числами, що виражають ці величини. Предметом дослідження математики і є якраз числа та різні співвідношення між ними, незалежно від того, які саме конкретні величини чи закони привели нас до цих чисел та їх співвідношень. Отже, абстрагуючись від індивідуальних властивостей тієї чи іншої конкретної величини і беручи до уваги тільки одну спільну властивість усіх величин, що про неї вже була мова, у математиці розглядають величину взагалі, і завдяки цьому створюють загальні теорії, застосовні до величин різноманітної природи.

Крім поняття числа із світу, який оточує людину, запозичено також поняття фігури. У світі існують різні речі, що мають певну форму і ці форми повинні були піддаватися порівнянню, перше ніж можна було дійти до поняття фігури. Враховуючи сказане, можна дати таке означення предмету математики: математика має за свій об’єкт просторові форми і кількісні співвідношення реального світу.

Як і в шкільному курсі (геометрії, алгебри, тригонометрії), так і в математичних дисциплінах вищої школи ці дві сторони – просторові форми і кількісні співвідношення – єдиної математики вимальовуються досить чітко і окреслено: аналітична геометрія вивчає просторові образи, диференціальне та інтегральне числення – кількісні співвідношення. Але за самим означенням, аналітична геометрія – це наука, що вивчає властивості геометричних образів засобами алгебри, тобто геометричні питання “перекладаються” на мову алгебри і зрештою зводяться до кількісних співвідношень, до певних обчислень. З другого боку, в диференціальному та інтегральному численні майже завжди вдаються до геометричного тлумачення тієї чи іншої теореми, користуючись поняттями аналітичної геометрії, та до застосувань до геометрії тих чи інших здобутих результатів. Глибокий взаємозв’язок геометрії й математичного аналізу та їх взаємопроникнення – характерна риса сучасної математики.

Сукупність усіх раціональних та ірраціональних чисел звуть дійсними числами.

Усі дійсні числа впорядковані за величиною, тобто для будь-яких двох чисел і справедливе одне з трьох співвідношень ; ; .

Абсолютна вартість числа.

Абсолютною вартістю (або модулем) числа а зветься арифметична вартість цього числа

.

.

Властивості:

За самим означенням

1. .

2. Якщо то . Зокрема, коли то або .

3. .

Доведення: Запишемо очевидні нерівності: і . Додамо їх почленно

(рівносильне) .

Метод математичної індукції поширює цю властивість на любу кількість доданків.

4. .

(Абсолютна вартість різниці не менша різниці абсолютних вартостей цих чисел).

Доведення:

Рівності і майже очевидні і на них спинятися не будемо.

Сталі і змінні величини.

Величина зветься змінною, якщо вона може набирати різні числові вартості в умовах даної задачі.

Сталою величиною звуть величину, яка має цілком певну вартість в умовах даної задачі або за будь-яких умов.

Область змінювання змінної величини. Сукупність усіх числових вартостей, що їх може набувати змінна х, звуть областю чи обсягом змінювання цієї змінної.

Приклад – радіус кола: .

Функціональна залежність.

При дослідженні різноманітних явищ нас цікавлять не стільки змінні величини, взяті кожна окремо, скільки зв’язок між ними та залежність одних величин від інших.

Абстрагуючись від конкретних залежностей між конкретними величинами, дамо означення функції.

Нехай Х і У – деякі числові множини, а х і у – числа, які їм належать.

 

Змінна у зветься функцією змінної х, якщо будь-якій вартості х є Х за деяким правилом чи законом ставиться у відповідність одна певна вартість

у є У.

Це означення однозначної функції.

Коли у відповідність х ставиться 2 чи більше вартостей у, то у звуть дво- або багатозначною функцією.

Змінна х – аргумент, або незалежна змінна, у – функція, або залежна змінна. Символічний запис

.

- характеристика функції, вона позначає те правило чи закон, який визначає у як функцію від х.

Множина Х – область визначення функції, У – множина її значень.

Функція, яка визначається з функціональної залежності , коли в ній розглядати у як аргумент, а х – як функцію, тобто функція зветься оберненою щодо даної функції .

Дану функцію часто звуть прямою. Очевидно, функції і є взаємно обернені. Наприклад, – пряма функція, а – їй обернена. Остання є двозначною.

Окремі вартості функції при і т.п. позначають символами .

Приклад 1. , і – дійсні, . Функція визначена для таких вартостей х, які справджують нерівності . Таким чином, для всіх вартостей х, між та включаючи та , функція у має дійсні вартості. Тут Х – це – замкнений проміжок.

Приклад 2. . Функція визначена при , або . Тут Х – відкритий проміжок, або інтервал .

Відкритий проміжок, для якого дана точка, а є його серединою (центром) зветься околом цієї точки.

Всі точки х, які справджують нерівність , складають окіл точки з довжиною .

Границя функції

Поняття границі функції – одне з найважливіших у вищій математиці.

Нехай на деякій множині Χ визначена функція .

Означення. Число А називається границею функції при (або у точці ), якщо для будь-якого ε > 0 можна знайти таке число > 0, що при всіх , які задовольняють нерівність

0 < < ,

виконується нерівність

< .

Приклад 1. Покажемо, що функція має в точці 0 границю, яка дорівнює 1.

Щоб це довести, ми повинні згідно з означенням для довільного ε > 0 вказати таке δ > 0, при якому із нерівності < δ випливала б нерівність

< ε.

Розглянемо < , оскільки <1.

Отже, оскільки < δ, то буде менше, ніж будь-яке ε > 0, досить δ взяти меншим, ніж ε: 0 < δ < ε.

Таким чином нерівність

<

виконується завжди для δ < ε. Тоді згідно з означенням .

Насправді визначення границі рідко використовується при обчисленні границь.

Приклад 2. Знайти

Приклад 3. Знайти

Існують дві визначальні границі:

1.

2.

Приклад 4. Знайти

Приклад 5. Знайти

Приклад 6. Знайти

Функція називається неперервною в точці , якщо границя функції дорівнює її значенню в цій точці, тобто:

(1)

Точка називається точкою розриву функції , якщо у точці не є неперервною. Таким чином, у точках розриву функція не визначена.

Якщо функція неперервна на , тоді вона досягає на цьому відрізку свого найбільшого і найменшого значення, тобто , що (за теоремою Вейєрштрасса)

і (2)

Формула Тейлора.

Нехай функція має в точці і деякому її околі похідні порядку п +1. Це означає, що функція та її похідні до порядку п включно неперервні і диференційовні в цьому околі. Тоді справедлива формула Тейлора

де деякий залишковий член, причому при (0!=1 у формулі (17)).

Отже, формула Тейлора надає можливість розкласти функцію у степеневий ряд в околі деякої точки .

Зауваження. Формулою Маклорена називають формулу Тейлора (17) при .

Приклад 1. Знайти .

Маємо невизначеність . Розкладемо функції і у ряд Маклорена з необхідною точністю:

Тоді маємо:

Приклад 2. Знайти .

Маємо невизначеність . Розкладемо функцію в ряд Маклорена: У результаті отримуємо:

.

Асимптоти графіка функцій

Нехай функція диференційована на інтервалі . Точка називається точкою екстремуму, якщо .

Точка екстемуму називається локальним мінімумом (максимумом), якщо ліворуч від цієї точки і праворуч від цієї точки.

Крім того, у точці локального мінімуму (максимуму) справедливе співвідношення .

Точка називається точкою перегину, якщо 1) і 2) має різні знаки ліворуч і праворуч від точки .

Приклад 1. Дослідити функцію на екстремум.

Знаходимо похідну і прирівнюємо її нулю: . Отже, точками екстремуму є і . Відмітивши їх на осі х (Рис. 3.1), дослідимо на її верхній частині знак похідної функції в околі цих точок екстремуму, а в її нижній частині – інтервали монотонності даної функції. У результаті маємо: на інтервалі () (функція зростає), на інтервалі (функція спадає), і, нарешті, на інтервалі (функція знову зростає). Це означає, що функція у точці має локальний максимум , а у точці х= 1 – локальний мінімум . Дійсно, і .

 

 

+ max – min +

x

1

Рис. 3.1. Дослідження функції на екстремум

 

– +

х

Рис. 3.2. Дослідження функції на перегин

 

Дослідимо, чи має дана функція точку перегину. Для цього знайдемо другу похідну і прирівняємо її до нуля: . З

Рис. 3.2 видно, що має різні знаки ліворуч і праворуч від точки і, отже, дана точка є точкою перегину функції . Її графік наведено на Рис. 3.3.

4 у

2

 

 

0 1 х

-2

 

 

-4

-2 -1 0 1 2

Рис. 3.3. Графік функції

 

При дослідженні поведінки функції на нескінченності та поблизу точок розриву (невизначеності) часто виявляється, що графік функції як завгодно близько наближається до тієї чи іншої прямої. Такі прямі називаються асимптотами. Існують три види асимптот: вертикальні, горизонтальні і нахилені.

Пряма називається нахиленою асимптотою графіка функції при , де

. (18)

Якщо коефіцієнт , тоді така асимптота називається горизонтальною .

Пряма називається вертикальною асимптотою графіка функції , якщо (або ).

Приклад 2. Знайти асимптоти графіка функції .

За формулою (18) знаходимо коефіцієнти і нахиленої асимптоти:

Отже, пряма є нахиленою асимптотою графіка даної функції як при , так і при . Оскільки , то горизонтальних асимптот немає.

Нарешті, точка є точкою розриву даної функції , причому . Отже, пряма (вісь ординат) є вертикальною асимптотою функції , графік якої показано на Рис. 3.4.

 

20

у

10

 

0

0 х

-10

 

 

-20

-2 -1 0 1 2

 

Рис. 3.4. Графік функції

Наведемо загальну схему для побудови графіка функції :

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти точки перетину графіка функції з віссю ординат (покласти у формулі, яка задає функцію, х = 0) і віссю абсцис (розв’язати рівняння )

3. Знайти асимптоти функції.

4. Дослідити функцію на екстремум: знайти точки мінімуму, максимуму, а також точки перегину. Обчислити значення функції у цих точках. Встановити ділянки монотонності функції.

5. Побудувати схематичний графік функції .

При побудові графіка важливо врахувати його симетрію. Для цього корисно перевірити функцію на парність (непарність).

Зауваження. Функція називається парною (непарною), якщо виконується умова: .

Також важливо перевірити функцію на періодичність: , де – період функції .

Приклад 3. Побудувати графік функції .

Згідно з наведеною вище схемою:

1. Область визначення функції (точка х = 1 є точкою розриву).

2. Графік даної функції перетинає вісь ординат у точці (при ). Оскільки рівняння не має дійсних коренів, то графік даної функції взагалі не перетинає вісь абсцис.

3. Дослідимо поведінку функції поблизу точки розриву х = 1. Маємо: . Отже, пряма х = 1 є вертикальною асимптотою. За формулами (18) знаходимо:

 

+ max – – min +

1 x

Рис. 3.5. Дослідження функції на екстремум

Отже, пряма є нахилена асимптота даної функції. Горизонтальних асимптот немає.

4. Знайдемо першу похідну функції і прирівняємо її до нуля:

Відмітивши ці точки на осі х (Рис. 3.5), дослідимо їх на екстремум. Отже, є точкою максимуму, , а є точкою мінімуму, . Функція зростає на інтервалах і . Функція спадає на інтервалі . З’ясуємо, чи має дана функція точку перегину. Знайдемо її другу похідну:

. Отже, точок перегину функція немає.

5. Дана функція не є парною і не є непарною. Її графік наведено на Рис. 3.6.

40 y

30

20

10 1- 0

0 1 x

-10 1+

-20

-30

-40

-2 -1 0 1 2 3

 

Рис. 3.6. Графік функції

Градієнт функції.

Нехай задано закон , за яким кожній впорядкованій парі незалежних змінних ставиться у відповідність хоча б єдине число z. Число z називають значенням функції f у точці .

Приклад 1. Розглянемо функцію двох змінних . Область визначення цієї функції - це множина усіх точок, які задовольняють нерівність (рівняння кола радіусом 1 з центром у початку координат). Множиною значень даної функції є відрізок .

Нехай функція визначена у деякому околі точки . Тоді частинна похідна цієї функції за змінною x (або y) визначається як звичайна похідна функції однієї змінної x (або y) за фіксованого значення змінної y (або x) і позначається так (частинна похідна першого порядку): .

Приклад 2. Знайти частинні похідні першого порядку від функції .

.

Приклад 3. Знайти частинні похідні другого порядку від функції .

Для цього знайдемо спочатку частинні похідні першого порядку:

.

Далі отримуємо:

.

Зауваження. Похідні і називаються мішаними частиннимипохідними.

Для характеристики швидкості зміни функції в точці у напрямку деякого одиничного вектора зручно ввести поняття похідної за напрямком:

. (19)

Приклад 4. Обчислити похідну функції у точці за напрямком вектора , де А - точка з координатами .

Спочатку знайдемо координати одиничного вектора , який задає напрямок :

. Далі обчислимо частинні похідні функції z у точці :

.

За формулою (19) маємо: .

Градієнтом функції називається вектор, який у декартовій системі координат визначається за формулою:

. (20)

Зауваження. У просторі градієнт функції визначається за такою формулою:

.

З урахуванням виразу (20) формулу (19) можна переписати так

,

де - кут між векторами і . Звідси випливає, що похідна функції за напрямком має найбільшу величину при , тобто коли напрямок вектора збігається з напрямком вектора .

Отже, градієнт функції у точці характеризує напрямок і величину максимальної швидкості зростання цієї функції в даній точці.

Метод найменших квадратів.

 

Нехай функція визначена у деякому околі точки . Якщо має в точці екстремум і, крім того, має в точці частинні похідні першого порядку, тоді в цій точці вони дорівнюють нулю (необхідна умова екстремуму):

(21)

Нехай у точці можливого екстремуму і у деякому її околі функція має неперервні частинні похідні другого порядку. Побудуємо такий визначник:

Тоді (достатня умова екстремуму):

1). якщо , тоді в точці функція має екстремум, причому при - локальний мінімум, а при - локальний максимум;

2). якщо , тоді в точці функція не має екстремуму;

3). якщо , тоді в точці функція може мати, а може і не ма