Правило Лопіталя. Похідні вищих порядків

Кажуть, що відношення двох функцій при є невизначеністю виду або , якщо або відповідно.

Розкрити ці невизначеності, тобто обчислити , надає можливість правило Лопіталя: якщо існує границя відношення похідних (скінченна або нескінченна), тоді існує і границя , причому справедлива формула:

= . (16)

Зауваження 1. Якщо похідні функцій і задовольняють тим самим вимогам, що і самі функції і при , тоді правило Лопіталя можна застосувати повторно.

Приклад 1. Обчислити .

.

Приклад 2. Обчислити .

.

Зауваження 2. Невизначеності виду для функції за допомогою тотожного перетворення можна привести до невизначеності . Остання невизначеність легко зводиться до невизначеності .

Приклад 3. Знайти .

Маємо невизначеність .

.

Приклад 4. Знайти .

Маємо невизначеність .

Функція називається похідною першого порядку функції . Похідна від похідної функції називається похідною другого порядку цієї функції: . Похідні, починаючи з другої, називаються похідними вищих порядків: . Отже, похідна п -го порядку є похідна від похідної (п - 1)-го порядку.

У механіці похідна другого порядку від функції , яка описує траєкторію руху матеріальної точки, має фізичний зміст, а саме визначає прискорення точки в момент часу : .

Формула Тейлора.

Нехай функція має в точці і деякому її околі похідні порядку п +1. Це означає, що функція та її похідні до порядку п включно неперервні і диференційовні в цьому околі. Тоді справедлива формула Тейлора

де деякий залишковий член, причому при (0!=1 у формулі (17)).

Отже, формула Тейлора надає можливість розкласти функцію у степеневий ряд в околі деякої точки .

Зауваження. Формулою Маклорена називають формулу Тейлора (17) при .

Приклад 1. Знайти .

Маємо невизначеність . Розкладемо функції і у ряд Маклорена з необхідною точністю:

Тоді маємо:

Приклад 2. Знайти .

Маємо невизначеність . Розкладемо функцію в ряд Маклорена: У результаті отримуємо:

.

Дослідження функції на екстемум.

Асимптоти графіка функцій

Нехай функція диференційована на інтервалі . Точка називається точкою екстремуму, якщо .

Точка екстемуму називається локальним мінімумом (максимумом), якщо ліворуч від цієї точки і праворуч від цієї точки.

Крім того, у точці локального мінімуму (максимуму) справедливе співвідношення .

Точка називається точкою перегину, якщо 1) і 2) має різні знаки ліворуч і праворуч від точки .

Приклад 1. Дослідити функцію на екстремум.

Знаходимо похідну і прирівнюємо її нулю: . Отже, точками екстремуму є і . Відмітивши їх на осі х (Рис. 3.1), дослідимо на її верхній частині знак похідної функції в околі цих точок екстремуму, а в її нижній частині – інтервали монотонності даної функції. У результаті маємо: на інтервалі () (функція зростає), на інтервалі (функція спадає), і, нарешті, на інтервалі (функція знову зростає). Це означає, що функція у точці має локальний максимум , а у точці х= 1 – локальний мінімум . Дійсно, і .

 

 

+ max – min +

x

1

Рис. 3.1. Дослідження функції на екстремум

 

– +

х

Рис. 3.2. Дослідження функції на перегин

 

Дослідимо, чи має дана функція точку перегину. Для цього знайдемо другу похідну і прирівняємо її до нуля: . З

Рис. 3.2 видно, що має різні знаки ліворуч і праворуч від точки і, отже, дана точка є точкою перегину функції . Її графік наведено на Рис. 3.3.

4 у

2

 

 

0 1 х

-2

 

 

-4

-2 -1 0 1 2

Рис. 3.3. Графік функції

 

При дослідженні поведінки функції на нескінченності та поблизу точок розриву (невизначеності) часто виявляється, що графік функції як завгодно близько наближається до тієї чи іншої прямої. Такі прямі називаються асимптотами. Існують три види асимптот: вертикальні, горизонтальні і нахилені.

Пряма називається нахиленою асимптотою графіка функції при , де

. (18)

Якщо коефіцієнт , тоді така асимптота називається горизонтальною .

Пряма називається вертикальною асимптотою графіка функції , якщо (або ).

Приклад 2. Знайти асимптоти графіка функції .

За формулою (18) знаходимо коефіцієнти і нахиленої асимптоти:

Отже, пряма є нахиленою асимптотою графіка даної функції як при , так і при . Оскільки , то горизонтальних асимптот немає.

Нарешті, точка є точкою розриву даної функції , причому . Отже, пряма (вісь ординат) є вертикальною асимптотою функції , графік якої показано на Рис. 3.4.

 

20

у

10

 

0

0 х

-10

 

 

-20

-2 -1 0 1 2

 

Рис. 3.4. Графік функції

Наведемо загальну схему для побудови графіка функції :

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти точки перетину графіка функції з віссю ординат (покласти у формулі, яка задає функцію, х = 0) і віссю абсцис (розв’язати рівняння )

3. Знайти асимптоти функції.

4. Дослідити функцію на екстремум: знайти точки мінімуму, максимуму, а також точки перегину. Обчислити значення функції у цих точках. Встановити ділянки монотонності функції.

5. Побудувати схематичний графік функції .

При побудові графіка важливо врахувати його симетрію. Для цього корисно перевірити функцію на парність (непарність).

Зауваження. Функція називається парною (непарною), якщо виконується умова: .

Також важливо перевірити функцію на періодичність: , де – період функції .

Приклад 3. Побудувати графік функції .

Згідно з наведеною вище схемою:

1. Область визначення функції (точка х = 1 є точкою розриву).

2. Графік даної функції перетинає вісь ординат у точці (при ). Оскільки рівняння не має дійсних коренів, то графік даної функції взагалі не перетинає вісь абсцис.

3. Дослідимо поведінку функції поблизу точки розриву х = 1. Маємо: . Отже, пряма х = 1 є вертикальною асимптотою. За формулами (18) знаходимо:

 

+ max – – min +

1 x

Рис. 3.5. Дослідження функції на екстремум

Отже, пряма є нахилена асимптота даної функції. Горизонтальних асимптот немає.

4. Знайдемо першу похідну функції і прирівняємо її до нуля:

Відмітивши ці точки на осі х (Рис. 3.5), дослідимо їх на екстремум. Отже, є точкою максимуму, , а є точкою мінімуму, . Функція зростає на інтервалах і . Функція спадає на інтервалі . З’ясуємо, чи має дана функція точку перегину. Знайдемо її другу похідну:

. Отже, точок перегину функція немає.

5. Дана функція не є парною і не є непарною. Її графік наведено на Рис. 3.6.

40 y

30

20

10 1- 0

0 1 x

-10 1+

-20

-30

-40

-2 -1 0 1 2 3

 

Рис. 3.6. Графік функції