Вирівнювання ланцюга трикутників між сторонами тріангуляції вищого класу двогруповим корелатним способом

Розв’язання задачі вирівнювання ланцюга трикутників між сторонами тріангуляції вищого класу двогруповим корелатним способом виконуємо на конкретному прикладі (рис. 1, табл.1,
табл. 2).

Рис. 1. Ланцюг трикутників тріангуляції

 

Вихідні дані та результати вимірів, виконаних на пунктах мережі, наведено у табл. 1, табл. 2.

 

Таблиця 1

Значення виміряних кутів у трикутниках тріангуляції

№ трикутника	вершина	˚	׳	″
1	2	3	4	5
	A 1			52,4
В 1			21,3
С 1			41,6
	А 2			44,4
В 2			27,5
С 2			49,6
	А 3			12,4
В 3			28,5
С 3			17,3
	А 4			22,7
В 4			42,9
С 4			59,1

Для того, щоб зменшити число нормальних рівнянь, які виникають в мережі, тріангуляцію вирівнюємо не за напрямками, а за кутами.

При вирівнюванні тріангуляції двогруповим корелатним способом умовні рівняння поділять на дві групи. В першу групу входять умовні рівняння даних фігур трикутників, які не перехрещуються, в другу – інші умовні рівняння фігур, горизонта, полюсні, дирекційних кутів, базисні та координат.

Оскільки при вирівнюванні кутів умовні рівняння першої групи не мають спільних поправок (не залежать одине від одного), то розв’язання їх за методом найменших квадратів зводиться до розподілу нев’язки зі зворотнім знаком порівну у всі кути трикутника.

Поправки кутів ν', отримані з розв’язання рівнянь першої групи називають первинними. Вторинні поправки ν'' в кути знаходяться після розв’язання рівнянь другої групи.

Кінцева поправка в кут рівна сумі первинної та вторинної поправок.

ν'_{і =} ν'_і + ν''_і. (1.1)

 

Для визначення довжин сторін та дирекційних кутів необхідно розв’язати зворотню геодезичну задачу на площині, використовуючи формули:

 

; (1.2)

 

, (1.3)

 

де – відстань між пунктами; Х_і У_і і Х_к У_к – координати відповідно
і-го та к-го пунктів; – дирекційний кут.

 

Таблиця 2

Вихідні координати

Назва пунктів	Координати пунктів
X	Y
A	41555,25	-23179,08
B	28178,84	-18526,66
C	40201,16	8117,32
D	27500,60	12111,13

 

1.1. Визначення числа умовних рівнянь
Розподіл рівнянь на групи та розв’язання рівнянь першої групи

Число умовних рівнянь у нашій мережі при вирівнюванні її по кутах визначаємо за формулами:

всього S_y = N*;

фігур f = N – p – q;

горизонту q = N + t – D;

полюсних C = p – 2 n + 3;

базисних і сторін t _б = К _б – 1;

дирекцій них кутів і суми кутів tg= K g-1; t_{х, у} = 2 (К_ху – 1) абсцис і ординат,

де N * – загальне число всіх виміряних в мережі кутів (N = 12), додатково виміряних сторін (К_s = 0) і азимутів (К = 0) разом взятих, тобто

N* = N + К_s + К . (1.4)

Через (D = 18) визначено число напрямків, що утворюють усі виміряні в мережі кути; (n = 6) – число всіх пунктів в мережі; (К = 2) – число вирівнюваних пунктів; (р = 9) – число сторін в мережі. Кутові вимірювання виконані на (t = 6) пунктах; сила вихідних сторін (K _s = 2); число вихідних дирекційних кутів (K _g = 2). У мережі дві окремі групи вихідних пунктів К (х, у)= 2, тоді N *=8.

Умовні рівняння фігур, віднесених до першої групи, будуть мати наступний вигляд:

(1.5)

Розв’язання умовних рівнянь показано в таблиці 3.

Таблиця 3

Визначення поправок і довжин сторін трикутника

№ три-ка	Назва кута	Виміряні кути	V ', первинна поправка	Первинно вирівняні кути	Градуси та дес. долі	Кут в радіанах	sin кутів	обчислення сторін	ctg кутів
˚	׳	″	˚	׳	″
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
	A 1			52,4	1,56667			54,0	73,8317	1,288606	0,960448	16091,2078	0,289928
B 1			21,3	1,56667			22,9	57,7064	1,007166	0,845321	14162,3923	0,632019
C 1			41,6	1,56667			43,2	48,4620	0,845821	0,748516	12540,5333	0,885909
∑			115,3				120,0	180,0000
			-4,7
	A 2			44,4	-0,50000			43,9	63,0289	1,100061	0,891235	16099,0359	0,508891
B 2			27,5	-0,50000			27,0	62,9742	1,099107	0,890802	16091,2078	0,510094
C 2			49,6	-0,50000			49,1	53,9970	0,942425	0,808986	14613,3087	0,726623
∑			121,5				120,0	180,0000
			1,5

 

Закінчення табл. 3

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
		A 3			12,4	0,60000			13,0	59,1703	1,032716	0,858694	17438,6482	0,596823
	B 3			28,5	0,60000			29,1	52,4414	0,915275	0,792730	16099,0359	0,768953
	C 3			17,3	0,60000			17,9	68,3883	1,193601	0,929701	18880,6856	0,396164
	∑			58,2				60,0	180,0000
				-1,8
		A 4			22,7	-1,56667			21,1	46,6392	0,814008	0,727045	13314,0282	0,944358
	B 4			42,9	-1,56667			41,3	72,2281	1,260619	0,952279	17438,6482	0,320523
	C 4			59,1	-1,56667			57,5	61,1326	1,066966	0,875740	16037,0127	0,551286
	∑			124,7				120,0	180,0000
				4,7

 

Для обчислення довжин сторін трикутника використовуємо формули:

, (1.6)

 

де а,в,с – сторони, А,В,С – виміряні кути.

З оберненої геодезичної задачі визначаємо довжини сторін та їх дирекційні кути (табл. 4).

Таблиця 4

Розв’язання оберненої геодезичної задачі

Формули	і	A	C
k	B	D
1	2	3
Х і	41 555,25	40 201,16
Хк	28 178,84	27 500,60
∆ X = Xв-Ха	-13 376,41	-12 700,56
Уі	-23 179,08	8 117,32
Ук	-18 526,66	12 111,13
∆ Y = Ув-Уа	4 652,42	3 993,81
tg r	-0,347808	-0,314459
r	-0,334721	-0,304669
	2,806872	2,836924
	0,328505	0,299977
	-0,944502	-0,953946
	14 162,39	13 313,71
	14 162,39	13 313,71