Обработка экспериментальных данных

1. По формуле (8.8) вычислить коэффициент крутильной жесткости k.

2. По данным таблицы 8.1 для каждого измерения вычислить период колебаний и момент инерции рамки по формуле (8.6).

3. Усреднить значения . Оценить погрешность определения по разбросу значений и записать окончательный результат.

4. По данным таблицы 8.2 вычислить периоды колебаний относительно различных осей.

5. Вычислить по формуле (8.7) моменты инерции образца I_i относительно осей x, y, z и AB. Для каждой из осей усреднить полученные значения I_i, оценить погрешность по разбросу значений и записать окончательный результат.

6. Провести оценочные расчёты моментов инерции I_i выбранного образца (параллелепипеда) без учёта скоса вершин относительно осей x, y, z и AB по формулам (8.1 – 8.4). При расчетах использовать следующие данные:

7. Сравнить результаты п. 4 с опытными данными (результатами п. 3).

Контрольные вопросы

 

1. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.

2. Что называется моментом инерции твёрдого тела?

3. Выведите формулу для момента инерции однородного прямоугольного параллелепипеда относительно оси x (рис. 8.3).

4. Сформулируйте теорему Штейнера.

 

Литература: [ 1, § 13, 27, 28, 31, 32]; [ 2, § 33-36, 46, 79]; [ 4, § 4.1-4.3 ]; [ 5 ].

Лабораторная работа №9

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ КРУЧЕНИЯ НИТИ И МОМЕНТА ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ, СОВЕРШАЮЩЕЙ КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

 

Цель работы – определение момента инерции крутильного маятника и модуля кручения нити по результатам исследования неупругого соударения математического и крутильного маятников.

Приборы и принадлежности: крутильный маятник, математический маятник, секундомер.

 

Краткие сведения из теории

 

Крутильным маятником называется твёрдое тело, подвешенное на упругой нити, которое может совершать колебания вращательного характера под воздействием момента упругих сил, возникающих в нити.

В работе используется маятник с большим периодом собственных колебаний T₀.

Предположим, что под кратковременным воздействием внешней силы (t_действ<< T₀) маятник выведен из положения равновесия. Нить, на которой подвешен маятник, закрутится. Пи этом возникнет момент упругих сил, возвращающих маятник в начальное положение:

М_кр= – kj, (9.1)

где j – угол закручивания нити; k – модуль кручения нити, численно равный величине крутящего момента относительно оси вращения, приходящегося на единичный угол закручивания (в литературе можно встретить другое название этой величины – крутильная жесткость нити). Знак «–» говорит о том, что направление крутящегося момента сил упругости противоположно направлению угла закручивания.

Тогда уравнение вращательного движения маятника относительно неподвижной оси ОО ₁ (рис 9.2) с учётом (9.1) можно записать

, (9.2)

где I – момент инерции маятника относительно оси вращения; – угловое ускорение вращательного движения относительно оси вращения; Уравнение (9.2) справедливо для углов < 30°, когда .

Если обозначить

= k/I, (9.3)

то уравнение движения крутильного маятника (9.2) можно переписать так: . Решение данного дифференциального уравнения ищем в виде , где – амплитудное значение угла закручивания; a – начальная фаза колебаний, – циклическая частота собственных колебаний маятника.

Циклическая частота связана с периодом свободных колебаний маятника формулой , тогда с учётом (9.3) модуль кручения нити можно выразить

(9.4)

Принимая во внимание, что угловая скорость вращательного движения , получаем . Очевидно, что максимальное значение угловой скорости вращения маятника равно

. (9.5)

В качестве тела, воздействующего на исследуемый крутильный маятник, можно использовать математический маятник – массивный шарик, подвешенный на лёгком, нерастяжимом стержне длиной l (при этом r_ш<<l, m_ш>> m_{подвеса}).

Математический маятник совершает колебания в вертикальной плоскости под действием возвращающей силы F= mgsin β₀ (рис.9.1).

Рис. 9.1

Если маятник отклонить от положения равновесия на угол β₀ ( или поднять на высоту h), то скорость шарика в нижней точке траектории можно оценить по закону сохранения энергии mgh = m . С учётом h = l – l cosβ₀ = l(1 – cosβ₀ ) = 2 l sin²β₀/2 (рис.9.1) получаем

(9.6)

Исследуемый крутильный маятник представляет собой два металлических стержня, сцеплённых между собой так, чтобы угол между ними был равен 90° (рис.9.2). На концах горизонтального стержня укреплены два диска, расположенные в вертикальной плоскости. Выведенный из положения равновесия шарик ударяется о диск Д₂, приводя крутильный маятник в колебание. После соударения о диск скорость шарика становится равна

(9.7)

где - угол отклонения математического маятника после удара.

Для системы «крутильный маятник – математический маятник» применим закон сохранения момента импульса относительно неподвижной оси ОО ₁.

До удара момент импульса системы равен моменту импульса математического маятника относительно оси вращения ОО ₁ L₀=mv₀r, где r – расстояние от оси крутильного маятника до точки удара шарика о диск; v₀ – скорость шарика перед ударом; m – масса шарика.

После соударения момента импульса шарика относительно оси L = – mv_к r, где v_к – скорость шарика после удара. Момент импульса крутильного маятника относительно оси сразу после соударения, с учетом (9.5) равен:

L_кр = Iw_max = I ,

Таким образом, закон сохранения момента импульса системы запишется:

mv₀r = – mv_к r + I .

Найдем из этого равенства момент инерции крутильного маятника:

I=

Подставив в это выражение (9.6) и (9.7), получим:

(9.8)

Это соотношение является рабочим для расчёта момента инерции крутильного маятника. (При расчётах выразить в радианах).

Масса шарика m, длина подвеса l и расстояние r от оси крутильного шарика до точки соприкосновения с шариком при ударе указаны на установке.

 

Описание экспериментальной установки

 

Рис. 9.2

Крутильный маятник состоит из двух взаимно перпендикулярных стержней. Вертикальный стержень с двух сторон жестко соединён с упругой вертикальной нитью, модуль кручения которой нужно определить.

На горизонтальном стержне, кроме дисков Д имеются цилиндры С, положение которых можно менять, передвигая их вдоль стержня. Изменение положений цилиндров С относительно оси вращения крутильного маятника приводит к изменению момента инерции всей системы. К центру горизонтального стержня прикреплён указатель К₁, при помощи которого можно измерять углы поворота крутильного маятника. Указатель К₁ перемещается по шкале Ш₁, проградуированной в градусах (рис.9.2).

Математический маятник представляет собой маятник известной массы m, подвешенный на лёгком стержне длиной l. С шариком скреплён указатель К₂, перемещающийся по вертикальной шкале Ш₂. Шкала Ш₂ разделена на градусы, по ней определяются углы отклонения шарика от положения равновесия и .

Крутильный и математический маятники расположены так, чтобы выведенный из положения равновесия шарик ударялся о диск крутильного маятника в момент, когда скорость шарика направлена горизонтально.

Порядок выполнения работы

 

1. Проверить, что указатели углов К₁ и К₂ находятся на нулевом делении.

2. Цилиндры С разместить вплотную к дискам Д₁ и Д₂ и закрепить их.

3. Отклонить математический маятник на угол в диапазоне 15° – 20° и отпустить его. Сразу же после удара о диск Д₂ отвести горизонтальный стержень крутильного маятника в сторону для того, чтобы диск Д₂ не мешал шарику совершать свободные колебания. По шкале Ш₂ измерить амплитудное значение угла . Опыт повторяют пять раз с одним и тем же значением .

4. Отклонить шарик математического маятника на тот же угол . Сразу же после удара о диск Д₂ поймать шарик и удерживать его в этом положении. По шкале Ш₁ измеряют максимальные углы отклонения j крутильного маятника вправо и влево от положения равновесия ( и ). Опыт повторяют пять раз. Результаты измерений занести в табл.9.1.

……. Таблица 9.1

№ п/п					t	T0	Ii
град.	град.	рад	с

I _ср=………..

5. Лёгким толчком по диску Д₂ привести крутильный маятник в движение. Измерить по секундомеру время десяти полных качаний маятника и вычислить период собственных колебаний T₀ = t_i / 10.

6. Для каждого из пяти значений и по формуле (9.8) рассчитать значение момента инерции I_i. Значение момента инерции усреднить.

7. По среднему значению момента инерции I_ср, пользуясь формулой (9.4), определить модуль кручения нити k.

8. Цилиндры С переместить вплотную к вертикальному стержню крутильного маятника. Повторить п.п. 2-7. Данные занести в таблицу, аналогичную табл. 9.1.

9. Подсчитать погрешность полученных значений моментов инерции как погрешность прямых изменений. Погрешность измерения модуля кручения подсчитать по правилам оценки погрешности косвенных измерений.

 

Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение момента инерции и момента импульса материальной точки и твёрдого тела.

2. От чего зависит момент инерции абсолютно твёрдого тела?

3. Сформулируйте закон сохранения момента импульса.

4. Запишите законы сохранения для абсолютно упругого соударения для системы «крутильный маятник – математический маятник».

5. От чего зависит модуль кручения?

 

Литература: [ 1, § 13, 28, 31, 32]; [ 2, § 33-36, 46, 79]; [ 4, § 4.1-4.3, 27.1, 27.2]; [ 5 ].