Разностью отношений r и s называется множество кортежей, принадлежащих r, но не принадлежащих S. Для этой операции также требуется одинаковая арность отношений.

 

r – s

a	b	a
c	b	d

 

Заметим, что с помощью операции разности может быть реализовано удаление кортежа из имеющегося отношения. В этом случае r – исходное отношение, s – отношение, содержащее один удаляемый кортеж.

 

Декартово произведение r ´ s

Пусть r и s – отношения арности k1 и k2 соответственно. Декартовым произведением r´s называется множество кортежей длины k1+k2, первые k1 компонентов которых образуют кортежи, принадлежащие r, а последние k2 – кортежи, принадлежащие s.

r ´ s

a	b	a	b	g	a
a	b	a	d	a	f
d	a	f	b	g	a
d	a	f	d	a	f
c	b	d	b	g	a
c	b	d	d	a	f

Проекция

Проекция есть множество кортежей, получаемых из кортежей отношения r выбором столбцов с именами A_i1, A_i2, …, A_im.

Другими словами, это операция построения «вертикального» подмножества, получаемого путем выбора определенных атрибутов и исключения остальных. Повторяющиеся кортежи исключаются.

a	a
d	f
c	d

Выбор (селекция) s_F (r)

Пусть F – формула, образованная: операндами, являющимися константами или именами атрибутов, арифметическими операторами сравнения, логическими операторами (и, или, не), тогда выбором (селекцией) s_F называется множество кортежей, компоненты которого удовлетворяют условию, заданному формулой F.

 

s (1)=(3) (r)=

a

b

a

Здесь F:(1)=(3) – содержимое первого столбца равно содержимому третьего столбца.

Приведем ряд примеров представления запросов с помощью формальных операций для реляционной модели (СТУДЕНТ, ФАКУЛЬТЕТ, СПЕЦИАЛЬНОСТЬ), рассмотренной выше.

 

 

Пример 1.

Сформировать список студентов (фамилия).

Рассмотрим схему отношения СТУДЕНТ.

Атрибут «Фамилия» обозначен здесь А ₁ Для ответа на запрос необходимо взять проекцию отношения r 1 на столбец А ₁.

.

 

Пример 2.

Выдать список фамилий и дат рождений студентов, которым на текущую дату (tek_date) больше 35 лет.

Рассмотрим то же отношение r 1. Сначала выбираем студентов, которым больше 35 лет:

.

Затем берем проекцию полученного отношения на столбцы

.

 

 

.

Заметим, что можно было бы выполнить эти две операции в другой последовательности – сначала проекция, а затем селекция. Предлагается оценить, какой из этих вариантов лучше по оценке числа выполняемых элементарных действий и объему требуемой памяти.

 

Пример 3.

Выдать список фамилий студентов, обучающихся по специальности «Информационные технологии». Название специальности является атрибутом отношения r 3. Если бы в этом отношении присутствовал атрибут «фамилия», то задача решалась бы аналогично примеру 2. В отношении r 3 присутствует атрибут «код студента», а «фамилия» присутствует в отношении r 1. Для ответа на этот запрос необходимо связывать по «код студента»отношение r 3и отношение r 1.

Сначала выберем из отношения r 3кортежи с названием специальности «Информационные технологии». Обозначим полученное отношение rp 1. (Дальнейшие промежуточные отношения будем обозначать последовательно rp 1, rp 2, rp 3и т.д.).

.

 

 

Далее нас будет интересовать только атрибуты A ₁ – «код студента»

. Поэтому возьмем проекцию на эти столбцы.

.

Далее необходимо связать отношения отношения r 1 и rp 2(склеить таблицы). Для склейки таблиц используется операция «декартово произведение»:

.

В отношении Rr 3 присутствуют два одинаковых столбца: A ₁ из отношенийя r 1 и A ₁ из отношения rp 2. Выбирая из отношения rp 3строки, в которых значения в соответствующих столбцах совпадают, получим сведения о студентов, обучающихся по специальности «Информационные технологии»

 

,

R 4 = s_{entrant. entrant_id = R2. entrant_id} (R 3),

где A ₁ × r 1 и A ₁ × rp 2

обозначают соответственно столбец A ₁ соответствующей первой и второй составной части декартова произведения. Теперь осталось только выбрать фамилии соответствующих студентов

.

Получаем требуемый результат. Заметим, что для экономии действий и памяти, перед тем как склеивать таблицы, целесообразно было сделать операцию проекции отношения отношения r 1 на столбцы столбцы A ₁, A ₂.

(чтобы не включать в декартово произведение лишние столбцы).

 

Введенные пять основных операций реляционной алгебры позволяют реализовать любой запрос к реляционной базе данных. Однако наряду с основными операциями достаточно часто удобно использовать так называемые дополнительные операции реляционной алгебры (которые могут быть выражены через основные).

 

Пересечение r Ç s

Пересечением отношений r и s называется множество кортежей, принадлежащих как r, так и s. Пересечение может быть выражено через операции разности

r Ç s = r – (r – s).

 

q -соединение

q-соединение r и s по столбцам A_i и A_j представляет собой множество таких кортежей в декартовом произведении r и s, что i-й компонент r находится в отношении q c j-м компонентом s, где q – арифметический оператор сравнения. Если q является оператором равенства, то эта операция называется эквисоединением

,