Заняття 4. Вільне падіння тіл. Рух тіла по колу.

1. Вільне падіння тіл. Прискорення вільного падіння.

Вільне падіння тіла – це рух тіла лише під дією сили тяжіння, коли інші сторонні впливи на нього відсутні. Вільне падіння тіла є рівноприскореним рухом.

Італійський фізик Г.Галілей експериментально встановив, що прискорення вільного падіння не залежить від маси тіла і є сталою величиною.

Прискорення вільного падіння дорівнює:

g ≈ 9,8 м/с².

При розв’язанні задач будемо вважати, що g ≈ 10 м/с².

 

1. Рівняння вільного падіння.

Усі кінематичні рівняння рівноприскореного руху є справедливими і для вільного падіння. При цьому координатну вісь спрямовують вертикально вгору або вниз. Вектор прискорення вільного падіння g завжди спрямований вниз.

Переміщення тіла при вільному падінні позначають літерою h. Після заміни а на g і S на h у рівняннях рівноприскореного руху отримаємо:

 

Рівняння вільного падіння тіла коли:

 

Задача 10. В деякий момент часу швидкість вільного падіння тіла дорівнює 7 м/с. Якою буде швидкість через 1 с?

 

Задача 11. Тіло починає вільно падати вниз з початковою швидкістю 15 м/с. На скільки зменшиться висота тіла через 2 с?

 

Задача 12. Тіло починає вільно падати вниз і досягає швидкості 100 м/с. Визначити висоту, з якої впало тіло.

 

1. Рівномірний рух тіла по колу. Період і частота обертання.

При русі тіла по колу (рис. 9) швидкість завжди змінюється за напрямом. При цьому також може змінюватися і величина швидкості.

Рух тіла по колу з незмінною за величиною швидкістю називається рівномірним.

Час, за який тіло здійснює один повний оберт, називається періодом.

Частотою обертання називається кількість обертів, що здійснює тіло за одиницю часу (1 с).

Період і частота обертання – обернені величини:

 

 

де Т – період обертання (с), n – частота обертання (1/c).

 

1. Кутова і лінійна швидкість.

Рух точки по колу можна характеризувати кутом φ повороту радіуса r, проведеного до цієї точки. При рівномірному русі точки по колу кути повороту радіуса за будь-які однакові проміжки часу будуть однаковими.

Кутовою швидкістю точки, що рівномірно рухається по колу, називають відношення кута повороту радіуса, проведеного до точки, до проміжку часу, протягом якого відбувся цей поворот:

 

 

де ω – кутова швидкість (рад/с), φ – кут повороту (рад), t – час (с).

Кутова швидкість ω зв’язана з частотою обертання n і періодом Т формулою:

 

 

Величину, що вимірюється відношенням шляху S до часу t, називають лінійною швидкістю.

Кутова і лінійна швидкості зв’язані формулою:

 

Доцентрове прискорення.

При рівномірному русі по колу тіло рухається з прискоренням, що спрямоване по радіусу до центра кола (доцентрове прискорення) і модуль якого визначається виразом:

 

 

Де а – доцентрове прискорення, ω – кутова швидкість, r – радіус кола, V – лінійна швидкість.

 

Задача 13. Визначити частоту, період і кутову швидкість обертання колеса вітродвигуна, якщо за 2 хв колесо зробило 500 обертів.

 

Задача 14. При обробці на токарному верстаті вал діаметром 80 мм обертається з частотою 600 об/хв. визначити швидкість різання.

 

Задача 15. Автомобіль рухається зі швидкістю 72 км/год по дузі кола радіусом 500 м. Визначити доцентрове прискорення.

Задача 16. Кутова швидкість обертання лопастей колеса вітродвигуна 6 рад/с. Знайти доцентрове прискорення кінців лопастей, якщо їх лінійна швидкість 20 м/с.

 

Задача 17. З якою швидкістю автомобіль має проходити середину опуклого мосту радіусом 40 м, щоб доцентрове прискорення дрівнювало прискоренню вільного падіння?

 

Д. З.: 1. §§ 13 – 15 і задачі, що залишилися нерозв’язаними на занятті.

 

 

Тема 1.2 Динаміка.

Заняття 5. Закони Ньютона.

1. Перший закон Ньютона. Інерціальна система відліку.

Завдання динаміки – визначення причин прискорення та механічного стану тіла, що рухається, в будь-який момент часу на основі законів динаміки.

І закон Ньютона (закон інерції): є такі системи відліку, в яких тіло знаходиться у стані спокою або рівномірного прямолінійного руху, якщо на нього не діють інші тіла або дія інших тіл компенсується.

Системи відліку, відносно яких тіло за умови компенсації зовнішніх впливів рухається рівномірно і прямолінійно, називаються інерціальними системами відліку.

 

1. Інерція та інертність. Маса.

Властивість тіл рухатися без прискорення, тобто з незмінною швидкістю, за відсутності впливу інших тіл називають інерцією.

Інертністю називають властивість будь-якого тіла, яка полягає в тому, що для зміни швидкості тіла на задану величину необхідно, щоб дія на нього іншого певного тіла тривала деякий час. Чим більший цей час, тим інертніше тіло.

Маса тіла – це величина, що виражає його інертність. Вона визначає відношення прискорення еталона маси до прискорення тіла при їх взаємодії.

 

1. Сила. Другий закон Ньютона.

Дослід показує, що коли тіло рухається з прискоренням, то завжди можна вказати інше тіло чи декілька тіл, вплив яких викликав це прискорення. Отже, причиною прискорення тіла є вплив на нього інших тіл.

Вплив тіла, яке надає прискорення, називають силою. Сила є векторною величиною.

ІІ закон Ньютона: сила, що діє на тіло, дорівнює добуткові маси тіла на прискорення, що створюється цією силою.

F = mа,

де F – сила, яка прикладена до даного тіла, m – маса тіла, а – прискорення.

Сила вимірюється у ньютонах (Н). 1 Н = 1 кг·м/с².

 

1. Третій закон Ньютона.

При взаємодії двох тіл їх прискорення спрямовані протилежно одне одному і відношення абсолютних значень цих прискорень даних взаємодіючих тіл завжди одне й те саме. Воно обернено пропорційно відношенню мас цих тіл:

 

а₁/а₂ = m₂/m₁ => m₁а₁ = m₂а₂.

Але згідно з ІІ законом Ньютона F = mа.

Третій закон Ньютона: тіла діють одне на одного з силами, спрямованими вздовж однієї й тієї самої прямої,однаковими за абсолютною величиною та протилежні за напрямом:

 

Задача 18. Куля масою 1 кг зіштовхується з кулею невідомої маси і отримує прискорення 0,2 м/с², а друга куля 0,4 м/с². Визначити масу другої кулі.

 

Задача 19. Кулька масою 1000 г рухається з прискоренням 50 см/с². Визначити силу, прикладену до кульки.

 

Задача 20. Під дією сили у 20 Н тіло рухається з прискоренням 0,4 м/с². З яким прискоренням буде рухатися це тіло під дією сили у 50 Н?

 

Задача 21. На нерухоме тіло масою 0,2 кг протягом 5 с діє сила 0,1 Н. Яку швидкість набуде тіло і який шлях воно пройде за вказаний час?

 

Задача 22. М’яч масою 0,5 кг після удару, що триває 0,02 с, набуває швидкості 10 м/с. Знайти середню силу удару.

 

Задача 23. Автомобіль масою 2 т, рухаючись з місця, пройшов шлях 100 м за 10 с. Знайти силу тяги.

 

Задача 24. Під дією деякої сили возик, рухаючись із стану спокою, пройшов шлях 40 см. Коли на возик поклали вантаж у 20 г, то він під дією тієї самої сили і за той самий час пройшов із стану спокою шлях 20 см. Визначити масу возика.

Д. З.: 1. §§ 16 – 21 і задачі, що залишилися нерозв’язаними на занятті.

Заняття 6. Сила тяжіння.

1. Гравітаційна взаємодія. Закон всесвітнього тяжіння.

Усі без винятку тіла притягуються одне до одного з силами, що залежать від мас цих тіл. Сили тяжіння діють як при безпосередньому контакті тіл, так і без нього. Така взаємодія тіл називається гравітаційною і здійснюється завдяки полю тяжіння (гравітаційному полю), яке тіла створюють у просторі.

Закон всесвітнього тяжіння: будь-які два тіла масою m₁ і m₂ притягуються одне до одного з силою F, прямо пропорційною їх масам і обернено пропорційною квадрату відстані r між ними:

 

 

де G – гравітаційна стала, G = 6,67·10 ^{– 11} Н·м²/кг².

Сила тяжіння, тобто сила притягування до Землі, є одним із проявів сили притягування тіл до Землі. Вона спрямована до центра Землі і визначається згідно з законом всесвітнього тяжіння:

 

 

де М – маса Землі, m – маса тіла, R – радіус Землі, g – прискорення вільного падіння.

Отже, на поверхні чи поблизу поверхні Землі прискорення вільного падіння:

 

 

Звідси видно, що прискорення вільного падіння не залежить від маси тіла, тобто однакове для усіх тіл.

Якщо тіло знаходиться на висоті h над поверхнею Землі, то прискорення вільного падіння:

 

 

1. Вага і невагомість. Штучні супутники Землі.

Внаслідок притягання до Землі тіло діє з деякою силою на опору, на якій воно знаходиться, чи підвіс, до якого воно підвішено. Цю силу, прикладену не до тіла, а до опори чи підвісу, називають вагою тіла. Вага тіла чисельно дорівнює силі тяжіння, що діє на тіло, лише у тому випадку, коли опора чи підвіс знаходяться у спокої чи у стані прямолінійного рівномірного руху відносно Землі. Якщо ж опора чи підвіс рухаються з прискоренням, то вага тіла може бути як меншою, так і більшою за силу тяжіння.

Якщо тіло разом з опорою вільно падає, то тіло і опора під дією сили тяжіння набувають однакового прискорення і вага тіла дорівнює нулю. Тобто спостерігається невагомість.

Будь-яке тіло, що рухається лише під дією сил всесвітнього тяжіння, знаходиться у стані невагомості.

 

 

Якщо тілу, що починає вільне падіння з висоти h, надати початкову швидкість V у горизонтальному напрямі, то воно буде рухатися по параболі (рис. 10). За невеликої швидкості V горизонтальне переміщення тіла невелике і поверхню Землі можна вважати плоскою.

Але насправді Земля – це куля. Тому одночасно з рухом тіла по своїй траєкторії поверхня Землі дещо віддаляється від нього (рис. 11). Можна підібрати таке значення швидкості тіла V, за якої поверхня Землі завдяки її кривизні буде віддалятися від тіла саме настільки, наскільки тіло наближається до Землі під дією сили тяжіння. Тобто тіло при цьому буде рівномірно обертатися навколо Землі. Тоді сила тяжіння буде відігравати роль доцентрової сили. Звідси можна отримати, що тіло має рухатися зі швидкістю V ≈ 8 км/с. Цю швидкість назвали першою космічною швидкістю.

Д. З.: 1. §§ 22 – 27.