Проверка нормальных напряжений при сжатии с изгибом.

Статический расчет.

 

Сочетания нагрузок (рис.1 прил.2 методических указаний):

1. Постоянная + снег по всему пролету (по треугольно распределенной форме)

(см рис1а.)

2. Постоянная + снег слева (по треугольно распределенной форме) (см рис1б)

3. Постоянная + снег справа (по треугольно распределенной форме) (см рис1в)

 

а) от равномерно распределенной нагрузки по всему пролету (постоянной):

 

Определяем опорные реакции:

V_А=V_В=ql/2=251.49*15/2=1886.18 кг.

Н=ql²/8f=251.49*15²/8*4.85=1458.38 кг.

 

Определяем усилия:

М_х=V_А=Бx-qx2/2-Hy;

Qx=(V_A=Б-qx)cosj-Hsinj;

Nx=(V_A=Б-qx)sinj+Hcosj;

 

б)  От распределенной по треугольнику нагрузке на полупролете слева р=486.00 кг/м.

 

V_А=5рl’/24=5*486.00*12.594/24=1275.14 кг.

V_В=рl’/24=486.00*12.594/24=255.03 кг.

Н=l’²*p/(48f)=12.294²*486.00/(48*4.85)=331.12 кг.,

где l’=l-2х=15.000-2*1.203=12.594 м.

 

На участке 0≤х≥l/2:                     На участке l/2≤х≥l:

 

М_х= V_Аx-px²/2+px³/(3l’)-Hy;             М_х= V_Б (l’-x) -Hy;     

Q_x=(V_A-px+px²/l’)cosj-Hsinj;        Q_x=-V_Бcosj+Hsinj

N_x=(V_A-px+px²/l’)sinj+Hcosj;        N_x=-V_Бsinj-Hcosj;

 

Примечание: 

1) при определении усилий М_х  Q_x  N_x значения координаты  (y) в сечениях принимаем согласно табл.2, значения координаты х =х_n -1.203,

где х_n –координата х в n сечении.

2) при определении усилий в опорных шарнирах принимаем х=1.203 ; р=0 

 

  

 

                                                 

в) От распределенной по треугольнику нагрузке на полупролете справа  р=486.00 кг/м.

Расчет выполняется аналогично п.б), при этом

 

V_А=рl’/24=486.00*12.594/24=255.03 кг.

V_в=5рl’/24=5*486.00*12.594/24=1275.14 кг.

Н=l’²*p/(48f)=12.294²*486.00/(48*4.85)=331.12 кг.

 

г) Усилия от распределенной по треугольнику нагрузке на всем пролете определяются путем суммирования усилий от снеговых нагрузок на левом и правом полупролетах арки.

Вертикальная опорная реакция арки V определяется из условия равенства нулю изгибающего момента в противоположном опорном шарнире. Горизонтальная опорная реак­ция Н, численно равная распору арки без затяжки, определяется из условия равенства нулю изгибающего момента в коньковом шарнире.

Усилия в арке определяются методами строительной механики в основных расчетных сечениях. Промежуточные вычисления опускаются.

Результаты их сводятся в таблицу 3.

Эпюры усилий от сочетания нагрузок М, Q, N приведены в прил. 2 рис.2. методических указаний.

Усилия в сечениях арки

Таблица 3

Сечение

Усилия

от постоян-ной нагрузки

От снеговой по треугольно распределенной форме.

треугольной распределенной

Расчетные

на левом полупролете

на правом полупролете

на всем пролете

М (кг м)

0^’

-704.24

-633.76

-633.76

-1267.52

-1337.96

-1971.76

-732.27

-117.80

-697.48

-815.28

-850.07

-1547.55

-448.42

577.66

-656.71

-79.05

129.24

-527.47

-125.56

465.21

-406.34

58.87

339.65

-66.69

-125.56

-406.34

465.21

58.87

-531.90

-66.69

-448.42

-656.71

577.66

-79.05

-1105.13

-527.47

-732.27

-697.48

-117.80

-815.28

-1429.75

-1547.55

8’

-704.24

-633.76

-633.76

-1267.52

-1337.96

-1971.76

Q (кг)

-565.12

216.15

198.76

414.91

-348.97

-150.21

0’

-99.24

565.99

89.72

655.71

466.75

556.47

39.99

480.65

39.31

519.96

520.64

559.95

178.21

105.96

-76.91

29.05

284.17

207.26

131.40

-190.79

-174.01

-364.80

-59.39

-233.40

±255.03

±255.03

±255.03

±255.03

±255.03

131.40

-174.01

-190.79

-364.80

-42.61

-233.40

178.21

-76.91

105.96

29.05

101.30

207.26

39.99

39.31

480.65

519.96

79.30

559.95

8’

-99.24

89.72

565.99

655.71

-9.52

556.47

-565.12

198.76

216.15

414.91

-366.36

-150.21

N (кг)

2316.29

1299.58

-367.66

931.92

3615.87

3248.21

0’

2150.56

1189.65

-408.20

781.45

3340.21

2932.01

2031.37

900.96

-416.10

484.86

2932.33

2516.23

1727.58

425.62

-410.81

14.81

2153.20

1742.39

1527.08

295.78

-380.00

-84.22

1822.86

1442.86

1458.38

±331.12

±331.12

±331.12

1127.26

1127.26

1527.08

-380.00

295.78

-84.22

1147.08

1442.86

1727.58

-410.81

425.62

14.81

1316.77

1742.39

2031.37

-416.10

900.96

484.86

1615.27

2516.23

8’

2150.56

-408.20

1189.65

781.45

1742.36

2932.01

2316.29

-367.66

1299.58

931.92

1948.63

3248.21

                       

 

                                  

Подбор сечения арок.

Подбор сечения производим по максимальным усилиям:  

М_max=-1971.76 кг м., N _соотв.=2932.01кг.

 

Оптимальная высота поперечного сечения арки находится:

h_опт=(1/30-1/40)l=(0.5-0.375) м.

 

Требуемая высота сечения арки находится из условия устойчивости

 в плоскости кривизны:

l= ,

 

где l=120 – предельная гибкость, принимаемая по[1]табл.14;

l₀=0,58S - расчетная длина элемента;

i =0.29h - радиус сечения элемента.

Отсюда h_тр =

Ширину сечения арки принимаем b=0.1м. по сортаменту пиломатериалов, рекомендуемых для клееных конструкций. [5] прил. 1

Толщину досок принимаем, а=2.5 см, а после острожки с двух сторон, а=2.1 см.

Поперечное сечение принимаем прямоугольным , постоянной высоты и ширины. Компонуем из 17 досок сечением 10х2.1 см, тогда высота сечения h=17*2.1=35.7=36 см.

Принятое сечение b x h=10x36 см.

 

Расчетное сопротивление древесины при сжатии с учетом коэффициентов условий работы при высоте сечения m_б=1 и толщине слоев m_сл=1.05 [1], табл. 7, 8 R_c=130*1*1.05=136.5 кг/см².

Проверку следует производить по формуле:

 

G= ,

 

F_расч = b x h =10x36 =360 cм²

W_расч = bh²/6 =10x36²/6 =2160 см³

М_Д=    x=1-N/jR_cF_бр;     j=  

(при гибкости элемента 70.)

 

x = 1-Nl²/(ARcF_бр) = 1-2932.01*103.88²/(3000*136.5*360) = 0.79

М_Д = 197176/0.79 = 249590 кг см

G=

 

Вывод: прочность сечения достаточна. Запас по прочности 9.4 %

 

 Проверка скалывающих напряжений.

Проверку производим по Q_mах=559.95 кг.

                                        R_ск=130 кг/см² (табл.3 [2])

Статический момент и момент инерции сечения арки:

 S = bh²/8 =10*36²/8=1620 cм³;

 J = bh³/12 =10*36³/12=38880 см⁴.

Максимальное напряжение скалывания:                                                 t=  

 

 Проверка устойчивости плоской формы деформирования.

Проверяем сечение на устойчивость из плоскости при:

М_max=-1971.76 кг м.,     N _соотв.=2932.01кг

Проверку следует производить по формуле:

G=  1,

где j_М - коэффициент, определяемый по формуле:

j_м=140 ,

где l_p =S/2=1870/2=935cм  -  расстояние между опорными сечениями элемента;

k_ф =1.13 - коэффициент, зависящий от формы эпюры изгибающих моментов на участке l_p,

                 определяемый [1] по табл.2 прил.4.

 

j_м = 140*10²*1.13/935*36 = 0.47.

Гибкость полуарки из ее плоскости l_у и коэффициент продольного изгиба j:

 l_у = l_p/i=935/(0.29*10) = 322.4

 j = A/l_у²=3000/322.4² = 0.029

Т.к на участке l_p из плоскости деформирования имеются закрепления в виде прогонов, коэффициент j_м следует умножать на коэффициент k_pм и коэффициент j следует умножать на коэффициент k_pN по формулам:

k_pM = 0.142l_p/h+1.76h/l_p+1.4a_p = 0.142*935/36+1.76*36/935+1.4*1.152 = 5.37

k_pN = 0.75+0.06(l_p/h)²+0.6a_pl_p/h = 0.75+0.06*(935/36)²+0.6*1.152*935/36 = 59.18

 

Проверка:      ,

 

Вывод: следовательно, устойчивость плоской формы деформирования обеспечена.