Стереографічна проекція кристалів.

11. Стереографічна проекція кристалів.

 

12. Гномостереографічна проекція кристалів.

13. Індекси вузлів атомів, індекси напрямів у кристалі, індекси площин кристалів.

Кристаллографические индексы узлов, плоскостей и направлений
(индексы Миллера)

 

Прямые и плоскости, проходящие через узлы пространственной решетки, называют соответственно узловыми прямыми и плоскостями. Все узловые прямые или плоскости, одинаково ориентированные в пространстве, составляют семейство прямых или плоскостей. Они кристаллографически идентичны и обладают одинаковыми периодами идентичности или соответственно межплоскостным расстоянием.

Индексы узлов. Положение любого узла решетки относительно выбранного начала координат определяется заданием 3-х координат: x, y, z. Эти коор­динаты можно выразить так:

                                                                                  (2.2)

где a, b, c - параметры решетки; m, n, p - целые числа. Если за единицы измерения длин принять параметры решетки, то координатами узла будут просто чис­ла m, n, p. Эти числа называются индексами узла и записываются следующим образом: [[mnp]].

В сложных решетках для всех узлов, не лежащих в вершинах элементар­ных ячеек, числа m, n, p будут дробными. Например, узел, находящийся в центре объема ячейки и ближайший к началу координат, имеет символ [[1/2 1/2 1/2]]

Индексы плоскостей. Положение плоскости определяется заданием трех отрезков A, B, C, которые она отсекает на осях решетки. Индексы такой плоскости отыскиваются следующим образом.

Выражают отрезки A, B, C в осевых единицах и записывают величины, обратные этим отрезкам: 1/A, 1/B, 1/C. Полученные дроби приводят к общему знаменателю. Пусть таковым будет число D. Целые числа

                                                                                    (2.3)

и являются индексами плоскости. Они записываются так: (hkl).

Для плоскостей, параллельных какой-либо координатной оси, соответствующий индекс равен нулю (отсекаемый отрезок равен ¥).

В случае, если плоскость пересекает кристаллографическую ось в отрица­тельном направлении, над соответствующим индексом следует ставить знак «минус», например, .

Плоскости, отсекающие на каждой по равному числу осевых единиц обо­значают символом (111). В кубической решетке их называют плоскостями октаэдра, так как система подобных плоскостей, равноотстоящих от начала коор­динат, образует октаэдр.

Плоскости, отсекающие на двух осях по равному числу осевых единиц и параллельные третьей оси (например оси z), обозначают (110). В кубической сингонии их называют плоскостями ромбического додекаэдра, так как система подобных плоскостей образует двенадцатигранник, каждая грань которого - ромб. Плоскости, пересекающие одну ось и параллельные двум другим (на­пример, осям y и z), обозначают (100) и называют в кубической решетке плос­костями куба, так как система подобных плоскостей образует куб. Основные ин­дексы Миллера для кубической решетки приведены на рис.2.3.

 

 

Для обозначения плоскостей гексагональных кристаллов пользуются 4­осной системой координат: три оси (а₁, а₂, а₃), расположенные под углом 120° друг к другу, лежат в плоскости базиса, четвертая ось (c) перпендикулярна ей.

Каждая плоскость обозначается 4 ин­дексами (hkil). Дополнительный индекс i ставится на третьем месте и вычисляется через индексы h и k:
i=-(h+k). Часто им пренебрегают, так как этот индекс не является независимым. Тогда вместо него в индексе плоскости ставят точку (hk.l). Так, плоскость базиса, параллельная осям а₁, а₂, а₃, имеет индексы (0001). Плоскости, параллельные боковым граням призмы имеют индексы ти­па (1010). Таких плоскостей (непараллельных) три. Они называются плоскостями первого рода.

Индексы направлений. Под кристаллографическими индексами направления понимают три целых взаимно простых числа, пропорциональных координатам любого атома, расположенно­го на данном наплавлении, измеренным в осевых единицах.

При установлении кристаллографических индексов данного направления его необходимо перенести параллельно самому себе в начало координат.

Кристаллографические индексы направлений заключают в квадратные скобки и обозначают буквенно [uvw]. Индексы важнейших направлений в ку­бической решетке приведены на рис.2.4.

Для кубической сингонии индексы направления [uvw], перпендикулярного к плоскостям (hk1), числено равны индексам этой плоскости. Так, индексы по оси x равны [100], а индексы плоскости, перпендикулярной оси x, равны (100).

Индексы направления, связывающего две частицы в решетке, равны раз­ности координат этих узлов, приведенных к целому виду.

Индексы направления [uvw], по которому пересекаются две плоскости, связаны с индексами этих плоскостей (h₁k₁l₁) и (h₂k₂l₂) следующей системой уравнений:

                                              (2.4)

 

Аналогично индексы плоскости (hkl), в которой лежат два направления [u₁v₁w₁] и [u₂v₂w₂], определяются из симметричной системы:

 

                                       (2.5)