Мэ. Решения. 11 класс. 2015год

1. По условию .Но из условия  следует ,  и . Поэтому: ,

откуда следует требуемое утверждение.

2. Пример конфигурации из пяти квадратов, которые попарно пересекаются, но никакие три из них не имеют общей точки, приведён на рисунке.

Ответ: нет.

3. Представим левую часть в виде

Если x не принадлежит интервалу (0, 1), то левая часть заведомо положительна. Сделаем оценку при 0 < x < 1.

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим имеем

,

причём равенство достигается только при . Поэтом .

Равенство возможно лишь при . Но вычисления показывают, что  также не является решением данного уравнения.

Ответ: ни одного.

4. Среди боковых граней пирамиды есть правильный треугольник. Можно считать, что это треугольник PAB. Пусть PM – его медиана, которая также является и его высотой. Тогда пирамида симметрична относительно плоскости, содержащей PM и перпендикулярной к AB.

Рассмотрим возможное расположение боковой грани, которая является прямоугольным треугольником. Она может примыкать к грани PAB, или лежать напротив неё. В первом случае оба треугольника PAD и PBC являются прямоугольными. Прямыми углами в этих треугольниках могут быть только углы PAD и PBC. Высота такой пирамиды совпадает с отрезком PM и равна , а объём равен .

Во втором случае прямоугольный треугольник PCD является равнобедренным, и прямой угол – это угол при вершине S. Высота PK такого треугольника является также его медианой и равна 2. Высота пирамиды совпадает с высотой треугольника PMK, опущенной из вершины P.

Находя площадь треугольника PMK по формуле Герона, получаем , откуда  и объём пирамиды равен .

Ответ: ,

5. Построим граф G, вершины которого соответствуют городам, а рёбра – дорогам. По условию граф является связным и из любой вершины выходит ровно три ребра. Число рёбер графа G равно 3024. Закрасим вершины G в два цвета следующим образом. Выберем произвольную вершину v₀ и закрасим её в белый цвет. Остальные вершины будем закрашивать по следующему правилу. Для произвольной вершины v обозначим d(v) число дорог в маршруте, ведущем из v₀ в v и проходящем по наименьшему числу дорог. Вершину v закрасим в белый цвет в том и только том случае, когда число d(v) чётно. В случае, когда d(v) нечётно, вершину v закрасим в чёрный цвет.

Может оказаться так, что две вершины v₁ и v₂ одного цвета соединены между собой ребром. В этом случае d(v₁) = d(v₂). Действительно, предположим, что d(v₁) < d(v₂). Тогда d(v₁)+2 £ d(v₂). Но поскольку v₁ и v₂ соединены ребром, существует маршрут, ведущий из v₀ в v₂ и проходящий по d(v₁)+1 рёбрам: сначала он идёт по d(v₁) рёбрам в v₁, а потом по одному ребру из v₁ в v₂. Противоречие.

Ребро, соединяющее вершины v₁ и v₂, для которых d(v₁) =d(v₂) закрасим в красный цвет. Покажем, что число красных рёбер не превышает 1009. Из каждой вершины v, отличной от v₀, выходит хотя бы одно ребро, ведущее по направлению к v₀ по кратчайшему маршруту. Такое ребро не является красным. При этом никакое ребро не может идти по кратчайшему маршруту к v₀, выходя из двух различных вершин. Следовательно, количество не закрашенных в красный цвет рёбер не меньше 2015, а количество красных рёбер – не больше 1009.

Удалим из графа G все красные рёбра. Каждое из оставшихся рёбер соединяет белую вершину с чёрной. Рассмотрим произвольный замкнутый маршрут. В нём чередуются белые и чёрные вершины. Количество белых вершин (с учётом кратности прохождения) равно количеству чёрных, а общее количество вершин в таком маршруте чётно. Следовательно, количество рёбер в таком маршруте чётно.