Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Мэ. Решения. 11 класс. 2017год ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
1. Из первого равенства получаем f((x+2017)+2017) = f(2017 – (x+2017)) = f(-x), а из второго f((x+2018)+2018) = f(2018 – (x+2018)) = f(-x). При произвольном x правые части приведённых равенств совпадают, следовательно, равны и левые: f(x + 4034) = f(x+4036). Заменив переменную x = y – 4034, получим, что при произвольном действительном y выполнено равенство f(y) = f(y+2). Поскольку функция f(y) определена при всех действительных y, из этого равенства следует, что число 2 является её периодом. 2. Для x допустимы значения . Обозначим . Возводя в квадрат обе части уравнения и выполняя преобразования, получим: ; ; ; . Поскольку левая часть полученного равенства не отрицательна, правая тоже должна быть не отрицательной. Таким образом, равенство может быть выполнено, только если . Вновь, возводя в квадрат, получим равенство: , истинное при всех допустимых значениях x. Ответ: [1; 2]. 3. Проведём описанную окружность треугольника АВС и зафиксируем направление её обхода при движении A → B → C → A. При перемещении одной из шайб в противоположную полуплоскость относительно прямой, проходящей через две другие точки, направление обхода такой окружности меняется: если сначала направление обхода было по часовой стрелке, то после перемещения одной шайбы оно становится против часовой стрелки и наоборот. За 25 ходов произойдёт 25 смен направления. Так как число 25 нечётное, в результате направление обхода описанной окружности изменится. Следовательно, шайбы не могут вернуться на свои места. Ответ: нет. 4. Покажем, как можно построить требуемый треугольник. Построим на плоскости произвольно отрезок CA, на нём выберем точку L так, что выполнено равенство , и на отрезке CL выберем точку D так, что . В точках L и D построим перпендикуляры к AC: прямую p ^ AC через точку L и прямую q ^ AC через точку D. Окружность w с диаметром AC пересекает прямую q в двух точках. Обозначим одну из них K. Пусть B – точка пересечения прямых p и CK. По теореме Фалеса . Угол AKC – прямой, как вписанный угол, опирающийся на диаметр. Отрезок AK является высотой. Поскольку точка пересечения высот треугольника ABC находится внутри треугольника, он – остроугольный. Следовательно, треугольник ABC – искомый. Ответ: Да. 5. Покажем, что число братьев должно равняться числу сестёр. Пусть имеется m братьев и n сестёр. Поскольку сейчас все братья в ссоре с разным числом сестёр, значит, есть хотя бы одна пара, которая всё ещё находится в ссоре. Поскольку сейчас каждая сестра находится в ссоре с одним и тем же числом братьев, значит каждая в ссоре хотя бы с одним из них, и час назад она с этим братом тоже была в ссоре. Но час назад сёстры были в ссоре с разным числом братьев. Обозначим ai число братьев, бывших в ссоре с i-й сестрой час назад. Все числа a1, …, an – это различные натуральные числа, не превосходящие m., следовательно, n ≤ m (число сестёр не больше, чем число братьев).
С другой стороны, час назад каждая сестра была в ссоре с разным числом братьев, следовательно, одна из сестёр не была в ссоре хотя бы с одним братом. Братья же были в ссоре с одинаковым числом сестёр, значит, каждый не был в ссоре хотя бы с одной из них. После примирения число ссорящихся пар уменьшилось, и теперь по-прежнему каждый из братьев не в ссоре хотя бы с одной из сестёр. Обозначим bj число сестёр, с которыми находится в ссоре брат с номером j. Числа b1, …, bm – различные целые не отрицательные числа, не превосходящие n – 1, следовательно, m ≤ n (число братьев не больше, чем число сестёр). Утверждение доказано, равенство m = n является истинным. Осталось найти возможные значения для числа m = n. Как видно из предыдущего рассуждения, час назад была сестра, которая была в ссоре ровно с одним братом. Значит, после примирения каждая из сестёр находится в ссоре ровно с одним братом. Общее число ссорящихся пар равно n. И при этом число ссорящихся пар равно n = 0 + 1 + … + (n – 1), откуда n = 3. Приведём пример, показывающий, что такая ситуация возможна. Обозначим братьев буквами A, B, C, а сестёр – цифрами 1, 2, 3. Запись вида A3 будет означать, что брат A в ссоре с сестрой 3. Пусть множество пар в ссоре час назад было {A1, A3, B2, B3, C2, C3}, а после примирения – {A1, C2, C3}. Легко видеть, что в этом примере условия выполняются. Замечание. Если дан только ответ без обоснования, 0 баллов. Если приведён пример без доказательства равенств m = n = 3, 1 балл.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2022-01-22; просмотров: 37; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.138.134.102 (0.006 с.) |