Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Основні теореми диференціального числення.
Основні теореми диференціального числення. Теорема Ферма: Нехай функція f (х) неперервна на інтервалі і набуває свого найбільшого або найменшого значення у деякій точці с цього інтервалу. Тоді, якщо в точці с існує похідна то . Доведення: Для визначеності вважатимемо, що в точці с функція набуває свого найбільшого значення, тобто (3) Оскільки точка с є внутрішньою точкою інтервалу , то приріст може бути як додатним, так і від’ємним, а відповідний приріст функції, як випливає з умови (3), не може бути додатним: . Звідси при маємо , тому . Аналогічно, якщо , то . За умовою похідна існує, тобто . Тоді за умов випливає, що . Теорему доведено. Геометричний зміст теореми Ферма зрозумілий з малюнка: якщо в точці функція досягла найбільшого чи найменшого значення, то дотична до графіка цієї функції в точці паралельна осі . Теорема Ролля: Якщо функція f (х) неперервна на відрізку , диференційована в інтервалі і на кінцях відрізка набуває однакових значень , то знайдеться хоча б одна точка , в якій . Доведення: Оскільки функція f (х) неперервна на відрізку , то вона досягає на цьому відрізку свого найбільшого значення і найменшого значення . Якщо , то і в довільній точці . Нехай Тоді хоча б одне із значень чи досягається функцією у внутрішній точці інтервалу , тому що . За теоремою Ферма похідна в такій точці дорівнює нулю. Теорему доведено. Геометричний зміст теореми Ролля: якщо функція задовольняє умови теореми Ролля, то на графіку цієї функції знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична паралельна осі . Теорема Коші: Якщо функції і неперервні на відрізку , диференційовні в інтервалі , причому , то існує така точка , що . Доведення: Введемо допоміжну функцію , яку можна розглядати на відрізку , бо . У противному разі за теоремою Ролля знайшлася б точка , в якій , що неможливо, бо за умовою . Неважко пересвідчитись, що функція задовольняє всі умови теореми Ролля. Тому знайдеться точка , в якій або , звідки й випливає формула . Теорему доведено. Теорема Лагранжа: Якщо функція , неперервна на відрізку , диференційовна в інтервалі , то всередині цього інтервалу знайдеться хоча б одна точка , в якій . Доведення: Цю теорему можна розглядати як окремий випадок теоремиКоші. Справді, поклавши у формулі , дістанемо формулу . Теорему доведено.
Розглянемо геометричний зміст теореми Лагранжа Запишемо формулу у вигляді , тоді . Тобто якщо функція задовольняє умови теореми Лагранжа, то на графіку цієї функції знайдеться хоча б одна точка, в якій дотична до графіка паралельна хорді, що сполучає кінці кривої і . Таких точок може бути і кілька, але хоча б одна завжди існує.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-08-16; просмотров: 137; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.118.144.69 (0.006 с.) |