Множини, способи їх задання. Операції над множинами.

Множини, способи їх задання. Операції над множинами.

Одним з основних понять сучасної математики є поняття множини. У повсякденному житті ми постійно зустрічаємось з цим поняттям, розуміючи під ним зібрання, сукупність, колекцію речей, об’єднаних за деякими ознаками (зграя птахів, табун коней, колекція листівок). Прикладами множин у математиці є геометрична фігура, розв’язок нерівності чи систем нерівностей та ін.

За Г.Кантором множина – це сукупність, клас, група об’єктів, об’єднаних за якоюсь ознакою.

Множини позначаються великим латинськими літерами A, B, C,…, Z, а елементи множин – малими літерами a, b, c,…, x, y, z. Твердження про те, що елемент а належить множині А, записують у вигляді . Коли навпаки – елемент а неналежить множині А, виконують такий запис: . Якщо множини мають скінченну кількість елементів, то їх можна записати у вигляді . Нескінченні множини не можуть задаватись переліком їх елементів. Такі множини задають за допомогою характеристичної властивості їхніх елементів, тобто властивості, яку мають всі елементи цієї множини і тільки вони. Якщо Р(х) – скорочене позначення речення «елемент х має властивість Р», то множину М, елементи якої мають характеристичну властивість Р, записують так: .

Означення: Порожньою множиною називається множина, яка не містить жодного елемента (тобто не існує елементів, що мають певну властивість).

Означення: Дві множини А і В називаються рівними, якщо кожний елемент множини А є елементом множини В, і навпаки.

Означення: Множина А, що складається зі скінченної кількості елементів називається скінченною. Число елементів множини називають її потужністю і позначають М(А).

Означення: Множина А називається підмножиною множини В, якщо кожен елемент множини А є елементом множини В:

Тоді можна записати, що А А, Ø А.

Операції над множинами.

Означення: Об’єднанням двох множин А і В називається множина А В, елементи якої належать хоча б одній із цих множин:

А В ={ х| х А або х В}.

 

Означення: Перерізом двох множин А і В називається множина А В, елементи якої належать як множині А, так і множині В:

А В = {х| х А і х В}

Означення: Різницею двох множин А і В називається множина А\В, елементи якої належать множині А і не належать множині В:

А\В = {х| х А і х В}.

Нехай А – підмножина множини Ω.

Означення: Різницю Ω\А називають доповненням множини А до множини Ω і позначають Ā.

Для операцій об’єднання, перерізу і віднімання множин справджуються такі властивості:

1. А В = В А; А В= В А (комутативність об’єднання і перерізу).

2. (А В) С = А (В С); (А В) С = А (В С) (асоціативність об’єднання і перерізу).

3. (А В) С = (А С) (В С) (дистрибутивність перерізу відносно об’єднання)

(А В) С = (А С) (В С) (дистрибутивність об’єднання відносно перерізу).

4. (А\В) С = (А С)\(В С) (дистрибутивність перерізу відносно різниці.

5. Якщо А В, то А В = В і А В = А.

Властивості 1 і 2 – очевидні. Доведемо властивість 3.

Доведення: Нехай тоді і . Через те, що , то або , або . Якщо , то , але тоді . Якщо , то , але тоді .

Отже, при маємо . А це означає, що .

Нехай , тоді або , або . Якщо , то і . Через те, що , то . Тоді . Якщо , то і . Але тоді , а отже, . Таким чином, . Отже, (А В) С = (А С) (В С).

Властивість 4 доводиться аналогічно, тому доведете її самостійно.

Лема: Для будь-яких скінченних множин А і В виконується рівність:

.

Доведення: Нехай А і В не перетинаються, тобто . Тоді , оскільки об’єднання розглядуваних множин утворюється додаванням усіх елементів однієї множини до елементів іншої.

Якщо множини А та В перетинаються, то кількість їх спільних елементів дорівнює . Об’єднання множин А та В утворюється з елементів множини А та елементів множини В, що не є елементами множини А. Число таких елементів становить . Отже, .

 

 

Приклад:

х	2	2,04
у	2,42	2,88

 

х₀ = 2, х₁ = 2,04, х ≈ 2,008, h = x₁ – x₀

y₀ = 2.42, y₁ = 2.88

f(x) =2,42 + × (2,88 – 2,42) ≈ 2,512

Якщо n = 2, то:

– формула квадратичного інтерполювання.

   Приклад.

х	0	2
f(x)	1	4

 

Якщо n = 1, то:

формула лінійного інтерполювання.

L₁(x) = × 1 + × 4 = + 2x = = = 1,5x + 1.

Приклад.

х	0	1	2
у	2	1	-3

n = 2

L₂(x) = × 2 + × 1 + × (-3) =

= × 2 + + × (-3) = x² – 3x + 2 – x² + 2x – 1,5x² + 1,5x = -1,5x² + 0,5x + 2.

 

Формула Ньютона Лейбніца.

Теорема. Якщо функція є якою-небудь первісною для неперервної функції , то справедлива формула:

       (2)

Формула (2) називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Доведення.

Нехай - деяка первісна функції . Оскільки інтеграл є також первісною, то

Якщо , то

Тоді

При

 

 

 

Події та дії над ними.

У теорії ймовірностей під випробовуванням розуміють комплекс певних умов, відтворюваних як завгодно велику кількість разів, наявність якого веде до якого-небудь наслідку. Результат випробування називають подією або наслідком.

   Наприклад: підкидання монети – випробування, появи на ній “герба” – подія.

   Події позначають великими літерами латинської абетки А, В, С,....

   Означення: Подія, яка при кожному випробуванні обов’язково відбувається, називається вірогідною ( ).

     Означення: Подія, що не може відбутися при жодному випробуванні, називається неможливою (Ø).

   Означення: Подія називається протилежною до події А, якщо вона настає тільки тоді, коли не настає подія А.

   Означення: Сукупність подій утворює повну групу подій, якщо внаслідок випробування хоч одна з цих подій обов’язково відбудеться.

   Означення: Дві події називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої.

   Серед усіх неможливих подій можна виділити множину так званих елементарних подій, що характеризуються такими ознаками:

1. Усі елементарні події взаємно виключають одна одну, і внаслідок випробування обов’язково відбувається одна з цих подій.

2. Яка б не була подія А, за елементарною подією, яка настала, можна робити висновок про те, настала чи не настала подія А.

Випадкові події поділяються на прості і складені.

Означення: Подія, що може відбутися внаслідок проведення однієї і лише однієї спроби (експерименту) називається простою випадковою подією.

Означення: Випадкова подія називається складеною, якщо її можна розкласти на прості події.

Кожному експерименту з випадковими результатами відповідає певна множина елементарних подій , кожна з яких може відбуватися внаслідок його проведення. Цю множину називають простором елементарних подій.

Операція над подіями.

Означення: Сумою (або обיєднанням) подій А і В називається подія, яка полягає в настанні події А, або події В.

Означення: Добутком (або перерізом) подій А і В називається подія, яка полягає в одночасному настанні як події А, так і події В.

Означення: Різницею подій А і В називається подія, яка полягає в тому, що настає подія А, але не настає подія В.

Властивості операцій.

       

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

17) Закони де Моргана: .

 

Множини, способи їх задання. Операції над множинами.

Одним з основних понять сучасної математики є поняття множини. У повсякденному житті ми постійно зустрічаємось з цим поняттям, розуміючи під ним зібрання, сукупність, колекцію речей, об’єднаних за деякими ознаками (зграя птахів, табун коней, колекція листівок). Прикладами множин у математиці є геометрична фігура, розв’язок нерівності чи систем нерівностей та ін.

За Г.Кантором множина – це сукупність, клас, група об’єктів, об’єднаних за якоюсь ознакою.

Множини позначаються великим латинськими літерами A, B, C,…, Z, а елементи множин – малими літерами a, b, c,…, x, y, z. Твердження про те, що елемент а належить множині А, записують у вигляді . Коли навпаки – елемент а неналежить множині А, виконують такий запис: . Якщо множини мають скінченну кількість елементів, то їх можна записати у вигляді . Нескінченні множини не можуть задаватись переліком їх елементів. Такі множини задають за допомогою характеристичної властивості їхніх елементів, тобто властивості, яку мають всі елементи цієї множини і тільки вони. Якщо Р(х) – скорочене позначення речення «елемент х має властивість Р», то множину М, елементи якої мають характеристичну властивість Р, записують так: .

Означення: Порожньою множиною називається множина, яка не містить жодного елемента (тобто не існує елементів, що мають певну властивість).

Означення: Дві множини А і В називаються рівними, якщо кожний елемент множини А є елементом множини В, і навпаки.

Означення: Множина А, що складається зі скінченної кількості елементів називається скінченною. Число елементів множини називають її потужністю і позначають М(А).

Означення: Множина А називається підмножиною множини В, якщо кожен елемент множини А є елементом множини В:

Тоді можна записати, що А А, Ø А.

Операції над множинами.

Означення: Об’єднанням двох множин А і В називається множина А В, елементи якої належать хоча б одній із цих множин:

А В ={ х| х А або х В}.

 

Означення: Перерізом двох множин А і В називається множина А В, елементи якої належать як множині А, так і множині В:

А В = {х| х А і х В}

Означення: Різницею двох множин А і В називається множина А\В, елементи якої належать множині А і не належать множині В:

А\В = {х| х А і х В}.

Нехай А – підмножина множини Ω.

Означення: Різницю Ω\А називають доповненням множини А до множини Ω і позначають Ā.

Для операцій об’єднання, перерізу і віднімання множин справджуються такі властивості:

1. А В = В А; А В= В А (комутативність об’єднання і перерізу).

2. (А В) С = А (В С); (А В) С = А (В С) (асоціативність об’єднання і перерізу).

3. (А В) С = (А С) (В С) (дистрибутивність перерізу відносно об’єднання)

(А В) С = (А С) (В С) (дистрибутивність об’єднання відносно перерізу).

4. (А\В) С = (А С)\(В С) (дистрибутивність перерізу відносно різниці.

5. Якщо А В, то А В = В і А В = А.

Властивості 1 і 2 – очевидні. Доведемо властивість 3.

Доведення: Нехай тоді і . Через те, що , то або , або . Якщо , то , але тоді . Якщо , то , але тоді .

Отже, при маємо . А це означає, що .

Нехай , тоді або , або . Якщо , то і . Через те, що , то . Тоді . Якщо , то і . Але тоді , а отже, . Таким чином, . Отже, (А В) С = (А С) (В С).

Властивість 4 доводиться аналогічно, тому доведете її самостійно.

Лема: Для будь-яких скінченних множин А і В виконується рівність:

.

Доведення: Нехай А і В не перетинаються, тобто . Тоді , оскільки об’єднання розглядуваних множин утворюється додаванням усіх елементів однієї множини до елементів іншої.

Якщо множини А та В перетинаються, то кількість їх спільних елементів дорівнює . Об’єднання множин А та В утворюється з елементів множини А та елементів множини В, що не є елементами множини А. Число таких елементів становить . Отже, .