Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Первісна , невизначений інтеграл та його властивості.
Нехай задано функцію f, визначену на скінченому або нескінченному проміжку, і треба знайти функцію F, похідна від якої у будь-якої дорівнює f: для всіх або . Означення: Функція , визначена на ,похідна від якої цьому проміжку дорівнює даній функції , називається первісною для функції або для диференціала . Зрозуміло, що функція теж буде первісною для функції на : Теорема: Якщо функція є якою-небудь первісною для функції на , то множина всіх первісних для функції на цьому проміжку міститься у формулі . Доведення: Функція - первісна для (було показано раніше). Припустимо, що – будь-яка первісна для на . Тоді , . Тоді . Теорему доведено. Якщо - первісна для на і , то вираз називається невизначеним інтегралом функції і позначається символом Функція називається підінтегральною функцією, вираз називається підінтегральним виразом, а знак ∫ називається інтегралом, тобто З геометричної точки зору, невизначений інтеграл є множиною кривих, кожна з яких називається інтегральною кривою і утворюється зсувом (паралельних перенесень)однієї з них паралельно самій собі уздовж осі . Властивості невизначеного інтеграла 1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції: . Доведення: . 2. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої: Доведення: . 3. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу: Доведення: . 4. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла: . 5. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумі цих інтегралів від цих функцій: . Властивості № 4 і 5 перевіряються диференціюванням на основі властивості № 1. Властивість № 5 справедлива для довільного, скінченного числа доданків. 1. Якщо і - довільна функція, що має неперервну похідну, то . Доведення: Внаслідок інваріантності форми першого диференціала і властивості 2 маємо:
Основні методи інтегрування. 1. Метод безпосереднього інтегрування. Означення: Обчислення інтегралів за допомогою основних властивостей невизначеного інтеграла, таблиці інтегралів, називається безпосереднім інтегруванням.
Приклад: . 2. Метод підстановки (заміна змінної). Теорема. Якщо - перервна функція на проміжку , тобто , , і нехай функція визначена і диференційована на проміжку , причому множина значень цієї функції є проміжок . Тоді справедлива формула: (1) Доведення: Справді, згідно з правилом диференціювання складеної функції, маємо
і формула (1) випливає з властивості 1 невизначеного інтегралу. Теорему доведено. Приклад: . 3. Метод інтегрування частинами. Нехай - функції, що мають на деякому проміжку неперервні похідні. Тоді . Інтегруючи обидві частини останньої рівності, дістанемо або , (2). Дана формула (2) називається формулою інтегрування частинами. Вона дає змогу звести обчислення інтеграла до обчислення інтеграла . Приклад: .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-08-16; просмотров: 82; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.216.233.58 (0.01 с.) |