![]() Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву ![]() Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Лінійно-незалежні вектори. Базис.Содержание книги
Поиск на нашем сайте
Розглянемо систему з п п- вимірних векторів Означення: Вектори Якщо рівність (2) досягається тільки тоді, коли коефіцієнти Якщо один з векторів У одновимірному векторному просторі Наведемо без доведення такі властивості поняття лінійної залежності: 1. якщо серед векторів (1) є нульовий, то ці вектори лінійно залежні; 2. якщо вектори (1) лінійно залежні, то після додавання до них одного чи кількох нових векторів, дістанемо лінійно залежну систему векторів; 3. якщо вектори (1) лінійно незалежні, то після відкидання одного чи кількох векторів, дістанемо знову лінійно незалежні вектори; 4. вектори (1) лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли один з них є лінійною комбінацією інших; 5. якщо два ненульові двовимірні вектори лінійно залежні, то вони колінеарні і навпаки; 6. якщо три ненульові тривимірні вектори лінійно залежні, то вони компланарні і навпаки; 7. чотири (і більше) тривимірних вектори завжди лінійно залежні. Поняття лінійної залежності має досить глибокий зміст і широко використовується в математиці. Не вдаючись до подробиць, наведемо такі застосування цього поняття. · Всяка упорядкована сукупність лінійно незалежних векторів, через які лінійно виражається довільний вектор простору, називається базисом цього простору. · Максимальне число лінійно незалежних векторів деякого простору називається його розмірністю. Розмірність простору дорівнює числу базисних векторів цього простору. Відповідно до цього означення пряму лінію розглядають як одновимірний простір
Якщо вектори
Теорема. Кожен вектор, паралельний якій-небудь прямій, можна розкласти за базисом на цій прямій. Кожен вектор, паралельний якій-небудь площині, можна розкласти за базисом на цій площині. Кожен вектор, можна розкласти за базисом у просторі. Координати вектора у кожному випадку визначаються однозначно. Розглянемо геометричний зміст цієї теореми. Перше твердження теореми означає, що для довільного вектора Друге твердження означає, що для кожного вектора Третє твердження теореми означає, що для кожного вектора Таким чином, базис у просторі дає змогу кожному вектору однозначно співставити упорядковану трійку чисел (координат цього вектора) і, навпаки, кожній упорядкованій трійці чисел
8. Означення визначника і його властивості. Визначником (детермінантом) 2-го порядку, записаним у вигляді виразу називається число Кожний елемент визначника можна записати у вигляді виразу де і – номер рядка, j - номер стовпця. Слово детермінант походить від слова determine – визначаю (латин.), ввів його В. Лейбніц. Вираз: Приклади обчислення визначників: · Обчислення визначників за правилом Саррюса (Сарруса, Саріуса): · a 11 a 12 a 13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 · Правило дописування стовпців: Для обчислення визначників вищого порядку використовують таке поняття як алгебраїчні доповнення. Означення. Мінором елемента визначника
Мінор елемента Наприклад: Означення. Алгебраїчним доповненням елемента Визначник п – го порядку має вигляд:
Теорема Лапласа: Визначник п – го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (або стовпця) на їхні відповідні алгебраїчні доповнення. Наведемо доведення для визначника 3-го порядку: Хочемо довести, що За означенням алгебраїчного доповнення, одержимо: Теорему доведено. Властивості визначників. 1. Властивість рівноправності рядків і стовпців. Визначник не змінюється, якщо в ньому рядки змінити на стовпці, а стовпці - на рядки. 2. Якщо у визначнику поміняти місцями два рядки (або стовпці), то визначник змінить знак на протилежний. 3. Визначник у якого елементи одного рядка (стовпця) відповідно рівні елементам другого рядка (стовпця), дорівнює нулю. Якщо всі елементи рядка (стовпця) визначника мають спільний множник, то його можна винести за знак визначника. Визначник, у якого елементи двох рядків (стовпців) є відповідно Якщо у визначнику всі елементи якого-небудь рядка (стовпця) є сумою 7. Якщо до елементів якого-небудь рядка (стовпця) відповідно додати елементи другого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число, то визначник не зміниться. 8. Визначник у якого всі елементи, розміщенні вище (або нижче) головної діагоналі є нулі, дорівнює добуток елементів головної діагоналі. Доведення даних властивостей проводиться способом обчислення лівих і правих частин рівностей і порівняння їх результатів. Спосіб обчислення визначників порядку п≥3: 1) розклад за елементами рядка або стовпця, причому вибираємо рядок або стовпець де є нулі; 2) зводимо визначник до трикутної форми. Приклад 1. Обчислити визначник: Розв’язання: 1 – ий спосіб: 2 – ий спосіб:
9. Матриці. Дії над матрицями. Означення: Елементи матриці: Якщо т≠п, то матриця прямокутна, якщо ж т=п, то квадратна. Елементи Число рядків або стовпців квадратної матриці визначає порядок матриці. Означення: Квадратна матриця називається трикутною, якщо всі елементи, розміщені вище або нижче головної діагоналі, рівні нулю. Означення: Діагональною називається квадратна матриця, у якої всі елементи, що не містяться на головній діагоналі рівні нулю. Якщо т=1, то одержимо матрицю – рядок, якщо п=1, то матимемо матрицю – стовпець. Означення: Нульовоюназивається матриця, у якої всі елементи – нулі. Означення: Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорівнює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е:
Означення: Дві матриці Будь-якій квадратній матриці
Лінійні операції над матрицями 1. Додавання матриць (однакового розміру). Сумою двох матриць Приклад 1: Знайти суму матриць: Розв’язування: 2. Добуток матриці на число. Добутком матриці 3. Різниця матриць (однакового розміру). Різниця матриць А-В визначається як сума матриці А і матриці В, помноженої на (-1): А-В=А+(-1)В. Матриця буде протилежною до матриці А, якщо всі її елементи є протилежними числами до відповідних елементів матриці А. Транспонуванням матриці називається заміна її рядків на стовпці зі збереженням порядку їх запису. Очевидно, що Означення: Матриця називається симетричною, якщо Означення: Матриця називається кососиметричною, якщо У кососиметричної матриці діагональні елементи дорівнюють нулю. Справедливі такі властивості операцій: 1. А+В=В+А – комутативність відносно додавання матриць; 2. А+(В+С)=(А+В)+С – асоціативність відносно додавання матриць; 3. А+0=А, А-А=0 – роль нульової матриці в діях над матрицями; 4. α(βА)=(αβ)А – асоціативність відносно множення чисел; 5. α (А+В)= αА+αВ – дистрибутивність множення на число відносно додавання матриць; 6. (α+β)А =αА+βА – дистрибутивність множення на матрицю відносно додавання чисел. 4. Множення двох матриць. Операція множення двох матриць вводиться лише для узгоджених матриць. Означення: Матриця А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців першої матриці А дорівнює кількості рядків другої матриці В. Квадратні матриці одного порядку взаємно узгоджені. Означення: Добутком С=АВ матриці Це означення називають правилом множення рядка на стовпець. Приклад 2. Знайти добуток матриць А і В, якщо Операція множення матриць не комутативна, тобто при множенні матриць не можна міняти місцями множники: АВ≠ВА. Справедливі такі властивості: 1) (АВ)С=А(ВС); 2. (αА)В=А (αВ)= α (АВ); 3)(А+В)С=АС+ВС; 4) С(А+В)=СА+СВ; 5) 7) det(AB)=detA×detB.
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-08-16; просмотров: 292; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 13.58.182.39 (0.01 с.) |