Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву

Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

Главная Избранные Случайная статья Познавательные Новые добавления Обратная связь FAQ

Навчальні матеріали до розділів курсу фізики

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 8Следующая ⇒

ФІЗИЧНІ ОСНОВИ МЕХАНІКИ

Пояснення до робочої програми

Вивчати основи класичної механіки треба виходячи з уявлень сучасної фізики, у якій основні поняття класичної механіки не втратили свого значення, а лише одержали подальший розвиток, узагальнення і критичну оцінку з точки зору їхнього застосування. Варто пам’ятати, що механіка – це наука про найпростіші форми руху матеріальних тіл і взаємодіях, що відбуваються при цьому між тілами. Рух завжди існує у просторі і часі. Простір і час є основними формами існування матерії. Предметом класичної механіки є рух макроскопічних матеріальних тіл, що відбувається зі швидкостями малими у порівнянні зі швидкістю світла у вакуумі. Рух частинок із швидкостями порядку швидкості світла розглядається в теорії відносності, а рух мікрочастинок вивчається в квантовій механіці

Контрольна робота № 1 побудована таким чином, що вона дає можливість перевірити знання студентів з ключових питань класичної механіки й елементів спеціальної теорії відносності. Розв’язуючи задачі з кінематики, у яких необхідно використовувати математичний апарат диференціального й інтегрального обчислювання, студент повинен навчитися визначати миттєві швидкість і прискорення за заданою залежністю координати від часу і розв’язувати зворотні задачі.

Задачі на динаміку матеріальної точки і поступального руху твердого тіла охоплюють такі питання, як закон руху центра мас механічної системи, закон збереження імпульсу, робота сили і її вираження через криволінійний інтеграл, зв’язок кінетичної енергії механічної системи з роботою сил, прикладених до цієї системи, закон збереження механічної енергії. Ретельного вивчення і розуміння потребують питання про поле як форму матерії, що здійснює взаємодію між частинками речовини або тілами, про потенціальну енергію матеріальної точки у зовнішньому полі і потенціальну енергію механічної системи. Ці питання розглядаються в задачах на прикладі гравітаційного поля.

У задачах на кінематику і динаміку обертального руху твердого тіла головна увага приділяється вивченню співвідношень між лінійними і кутовими характеристиками, понять моменту сили, моменту інерції тіла, законів збереження імпульсу, моменту імпульсу і механічної енергії.

У контрольну роботу включено задачі з елементів спеціальної теорії відносності, що охоплюють такі питання: відносність одночасності довжин і проміжків часу, релятивістський закон додавання швидкостей, залежність релятивістської маси від швидкості, співвідношення між релятивістською масою і повною енергією. Розв’язуючи ці задачі, студент повинен засвоїти, що закони класичної механіки мають межу застосованості, і що вони виходять як наслідок теорії відносності, якщо формально спрямувати швидкість світла .

Задачі в контрольній роботі розміщені приблизно в тому порядку, в якому відповідні питання розглядаються за робочою програмою.

Основні закони і формули

Кінематика

Фізична величина або фізичний закон

Формула

Рівняння руху матеріальної точки

- уздовж осі x

- по колу радіуса r

- у просторі

Швидкість

- середня лінійна

;

- миттєва лінійна

;

- кутова

- кутова, рівномірне обертання

- зв’язок лінійної і кутової

Прискорення

- середнє

;

- миттєве

;

- тангенціальне

- нормальне

- повне

- кутове

Фізична величина або фізичний закон	Формула
Зв’язок лінійних і кутових величин	; ; ;
Рівняння рівномірного руху
- поступального	; ; ;
- обертального	; ;
Рівняння рівнозмінного руху
- поступального	; ;
- обертального	;
Динаміка
Імпульс	;
- закон збереження імпульсу замкненої системи
Другий закон Ньютона
- при постійній масі	;
- при постійній силі	; ;
Сила
- гравітаційної взаємодії
- те ж, в однорідному полі сили ваги
- пружності
- тертя (ковзання)	; (N – сила нормального тиску)
Сила, що діє на тіло, яке рухається по колу радіуса R	;
Кінетична енергія поступального руху тіла	;
Робота
- змінної сили
- постійної сили
- сили пружності

Фізична величина або фізичний закон	Формула
Потужність	;
Зміна кінетичної енергії (теорема)	;
Потенціальна енергія
- гравітаційної взаємодії
- те ж, в однорідному полі сили ваги
- сили пружності
Зв'язок потенціальної енергії і консервативної сили	;
Повна механічна енергія
Закон збереження механічної енергії для замкненої консервативної системи	;
Швидкість куль після абсолютно непружного удару
Швидкості куль після абсолютно пружного центрального удару	;
Напруженість гравітаційного поля Землі
Потенціал гравітаційного поля Землі
Момент сили щодо осі обертання	;
Момент імпульсу	;
- твердого тіла, що обертається
- закон збереження моменту імпульсу замкненої системи

Фізична величина або фізичний закон	Формула
Момент інерції
- твердого тіла
- матеріальної точки
- суцільного циліндра
- тонкого порожнистого циліндра
- кулі радіуса R
- тонкого стрижня, вісь перпендикулярна і проходить через центр мас стрижня
і проходить через край стрижня
Теорема Штейнера
Кінетична енергія тіла, що обертається
Основне рівняння динаміки обертального руху
- те ж, для твердого тіла
Кінетична енергія тіла, що обертається
Робота при обертальному русі	;
Релятивістська механіка
- додавання швидкостей
- довжина тіла
- проміжок часу
- релятивістська маса
релятивістський імпульс

Фізична величина або фізичний закон	Формула
Енергія
- спокою
- повна
- кінетична
Зв’язок енергії й імпульсу
Зв’язок енергії й імпульсу

Приклади розв’язку задач

Приклад 1. Рівняння руху матеріальної точки уздовж осі має вид , де A = 2 м, B = –2 м/с, C = 0,5 м/с³. Знайти координату, швидкість і прискорення точки в момент часу t = 3 с. Знайти середні значення швидкості і прискорення у проміжок часу від 1 с до 3 с.

Дано: ; A = 2 м, B = –2 м/с, C = 0,5 м/с³; t = 3 с,
t ₁ = 1c, t ₂ = 3 c.

Знайти: , , , , .

Розв’язок. Координату х знайдемо, підставивши в рівняння руху числові значення коефіцієнтів А, В, С і часу t.

Миттєва швидкість щодо осі х – це перша похідна від координати за часом:

. (1)

Миттєве прискорення точки знайдемо, узявши першу похідну від швидкості за часом:

. (2)

Обчислення.

Для моменту часу t = 2 с одержимо

x = (2 – 2ּ3 + 0,5·3³) (м) = 9,5 м;

= (–2 + 3·0,5·3²) м/с= 11,5 м/с;

a ₁ = (6·0,5·3)м/с² = 9 м/с².

Середня швидкість визначається відношенням

де х ₁= 2 – 2 t ₁ + 0,5 t ₁³ = 0,5 м; х ₂ = 2 – 2 t ₂ + 0,5 t ₂³ = 9,5 м/с.

Тоді

м/с.

Середнє прискорення визначається за формулою , згідно (1)

–2 + 3·0,5 = –0,5 м/с, –2 +3·0,5 = 11,5 м/с.

Тоді

м/с².

Відповідь: x = 9,5 м; = 4,5 м/с; a = 6 м/с².

Приклад 2. Тіло кинуте з висоти 12 м під кутом 30⁰ до горизонту з початковою швидкістю 12 м/с. Визначити тривалість польоту тіла до точок A і B (рис. 1.1), максимальну висоту, на яку піднімається тіло, і дальність польоту тіла. Опір повітря не враховувати.

Дано: H = 12 м; α = 30⁰;

12 м/с. Знайти: t _А_, t_В, h _max, x _max. Розв’язок. У системі координат, показаній на рис. 1.1, проекції початкової швидкості на осі координат дорівнюють:

; (1)

; (2) Координати тіла з часом змінюються

Рис. 1.1.

відповідно до рівняння рівнозмінного (вздовж осі y) та рівномірного (вздовж осі x) руху

; (3)

. (4)

Час підйому тіла знайдемо за умови, що в найвищій точці підйому тіла вертикальної складової його швидкості . Тоді з виразу (2) знайдемо час t_п, що пройшов до підйому тіла на максимальну висоту

. (5)

Час спуску тіла від точки C до точки A дорівнює часу підйому, тому тривалість польоту тіла від точки O₁ до точки A дорівнює

. (6)

Максимальну висоту підйому знайдемо з рівняння (4), підставивши в нього час підйому з рівняння (5)

. (7)

Час польоту тіла до точки В знайдемо, розв’язуючи квадратне рівняння (нефізичний розв’язок відкидається), отримане з виразу (4), у якому кінцева координата y (t) прирівнюється до нуля

. (8)

Дальність польоту знайдемо з рівняння (3), підставивши в нього час руху з рівняння (8)

. (9)

Обчислення.

t _А = 2·12·sin30⁰/9,81 = 1,22 с.

t _В = = 2,29 c.

H _max = 12 + (12·sin30⁰)²/(2·9,81) = 13,84 м;

x _max = 12·2,29·cos30⁰ = 23,8 м.

Відповідь: t_А = 1,22 с; t_В = 2,99 с; H _max = 13,84 м; x _max = 23,8 м.

Приклад 3. Тіло обертається навколо нерухомої осі за законом
x = A + Bt + Ct ², де A = 10 рад, B = 20 рад/с, С = –2 рад/с². Знайти повне прискорення точки, що знаходиться на відстані r = 0,1 м від осі обертання, для моменту часу t = 4 с.

Дано: x = A + Bt + Ct ², A = 10 рад, B = 20 рад/с, C = –2 рад/с²; r =
= 0,1 м; t = 4 с.

Знайти: a (t).

Розв’язок. Повне прискорення точки, що рухається по кривій лінії, може бути знайдене як геометрична сума тангенціального прискорення

, спрямованого по дотичній до траєкторії, і нормального прискорення

, спрямованого до центра кривизни траєкторії (рис. 1.2):

Рис. 1.2.

Оскільки вектори і взаємно перпендикулярні, модуль повного прискорення дорівнює

. (1)

Модулі тангенціального і нормального прискорень тіла, що обертається, виражаються формулами ; , де – модуль кутової швидкості тіла; – модуль його кутового прискорення.

Підставляючи вираз і у формулу (1), знаходимо

. (2)

Кутову швидкість знайдемо, узявши першу похідну кута повороту за часом t: .

Кутове прискорення знайдемо, узявши першу похідну від кутової швидкості за часом: .

У момент часу t = 4 с:

рад/с = 4 рад/с; рад/с².

Обчислення.

Підставляючи значення , і r у формулу (2), одержуємо

= 1,65 м/с².

Відповідь: a = 1,65 м/с².

Приклад 4. На тіло масою 100 кг, що лежить на похилій площині, яка утворює кут 40⁰ з горизонтом, діє горизонтальна сила 1500 Н (рис. 1.3). Визначити прискорення, з яким рухається тіло, якщо коефіцієнт тертя дорівнює 0,1.

Дано: m = 100 кг; F = 1500 Н;

40⁰;

0,1. Знайти: a. Розв’язок. Виберемо напрямок координатних осей так, щоб одна з них була спрямована уздовж похилої площини (O x), а інша – перпендикулярно до неї (O y). На тіло діють сила F – паралельно до основи похилої площини, сила ваги mg – вертикально вниз, реакція

Рис. 1.3.

опори Q – перпендикулярно до похилої площини, і сила тертя F_тр – уздовж похилої площини вбік, протилежний рухові.

Запишемо другий закон Ньютона у векторній формі

. (1)

Для переходу до скалярної форми знайдемо проекції всіх діючих сил на координатні осі. Складові сили F на осі координат дорівнюють

; . (2)

Складові сили ваги mg на осі координат дорівнюють

; . (3)

Сила Q діє тільки уздовж осі O y, а сила тертя F_те _р – протилежно до осі O x.

Оскільки в напрямку O y складова прискорення дорівнює нулю, з (1) – (3) виходить

. (4)

Проекція рівняння (1) на вісь (O x) у цьому випадку має вид

. (5)

Сила тертя дорівнює добуткові сили нормального тиску тіла N на коефіцієнт тертя

. (6)

Оскільки сила N за третім законом Ньютона дорівнює силі Q

. (7)

Таким чином, з (5)–(7) можна одержати остаточний вираз для прискорення a

. (8)

Обчислення.

Підставляючи значення , і r у формулу (8), одержуємо

м/с².

Відповідь: a = 3,4 м/с².

Приклад 5. Тіло масою 1 кг рухається по прямій відповідно до рівняння x = 2 t ² + 4 t + 1. Визначити роботу, яку виконує постійна сила за перші 10 с після початку руху, і залежність кінетичної енергії тіла від часу.

Дано: x = 2 t ²+ 4 t + 1; m = 1 кг; t = 10 с.

Знайти: A; T = T (t).

Розв’язок. Робота A може бути визначена за допомогою криволінійного інтеграла від потужності P у заданому проміжку часу

. (1)

При прямолінійному русі потужність можна знайти як добуток діючої сили F на швидкість тіла

. (2)

Швидкість знайдемо як першу похідну за часом від координати
тіла

. (3)

Силу можна визначити за допомогою другого закону Ньютона

, (4)

де a – прискорення тіла, що знайдемо як першу похідну за часом від його швидкості

. (5)

Підставляючи вираз (2)–(4) у (1) і інтегруючи в зазначених границях, одержимо

. (5)

Кінетичну енергію тіла знайдемо з визначення за допомогою виразу (3) для швидкості

. (6)

Обчислення.

A = 8·1·(10+2)·10 = 960 Дж.

Відповідь: A = 960 Дж; T = 8 m (t + 1)².

Приклад 6. При пострілі з пружинного пістолета вертикально нагору куля масою 20 г піднялася на висоту 5 м. Визначити жорсткість пружини пістолета, якщо вона була стиснута на 10 см. Масою пружини і силами тертя знехтувати.

Дано: m = 0,02 кг; h = 5 м; x = 0,1 м.

Знайти: k.

Розв’язок. Розглянемо систему «пружина – куля». Оскільки на тіла системи діють тільки консервативні сили, то для розв’язку задачі можна застосувати закон збереження енергії в механіці. Відповідно до нього, повна механічна енергія E ₁ системи в початковому стані (у даному випадку перед пострілом) дорівнює повній енергії E ₂ у кінцевому стані (коли куля піднялася на висоту h), тобто E ₁= E ₂, або

T ₁ + W ₁= T ₂ + W ₂, (1)

де T ₁, T ₂, W ₁ і W ₂ – кінетичні і потенційні енергії системи у початковому і кінцевому станах. Оскільки кінетичні енергії кулі у початковому і кінцевому станах дорівнюють нулеві, то рівність (1) набуває виду

W ₁= W ₂, (2)

Приймемо, що потенціальна енергія кулі в полі сил тяжіння Землі, знаходячись в стані спокою на стиснутій пружині, дорівнює нулю, а висоту підйому кулі будемо відраховувати від торця стиснутої пружини. Тоді енергія системи у початковому стані буде дорівнювати потенціальній енергії стиснутої пружини, тобто , а в кінцевому стані – потенціальній енергії кулі на висоті h, тобто W ₂ = mgh.

Підставивши вираз W ₁і W ₂ у формулу (2), знайдемо

. (3)

Обчислення.

k = 2·0,02·9,81·5/(0,1) = 196 Н/м.

Відповідь: k = 196 Н/м.

Приклад 7. На двох шнурах однакової довжини по 0,8 м підвішено дві свинцевих кулі масами 0,5 і 1 кг (рис. 1.4). Кулі стикаються між собою. Кулю меншої маси відвели вбік так, що шнур відхилився на кут

= 60⁰, і відпустили. На яку висоту піднімуться обидві кулі після зіткнення? Удар вважати центральним і абсолютно непружним. Визначити енергію, витрачену на деформацію куль при ударі.

Рис. 1.4.

Дано: m ₁ = 0,5 кг, m ₂ =1 кг; = 60⁰; l = 0,8 м, = 0.

Знайти: h; ∆ E.

Розв’язок. Оскільки удар куль непружний, то після взаємодії вони будуть рухатися з однаковою загальною швидкістю u. При такому ударі виконується тільки закон збереження імпульсу:

, (1)

де і – швидкості куль до удару.

Швидкість великої кулі до удару дорівнює нулю. Швидкість меншої кулі знайдемо, використовуючи закон збереження енергії. При відхиленні меншої кулі на кут (рис. 1.4) їй надається потенціальна енергія, яка потім переходить у кінетичну. Безпосередньо перед ударом кінетична енергія цієї кулі дорівнює вихідній потенціальній енергії

, (2)

де h ₁ – максимальна вихідна висота підйому першої кулі.

Висоту h ₁, як видно з рисунка, можна знайти з виразу

. (3)

З формул (2) і (3) знайдемо

. (4)

З рівнянь (1) і (4) знаходимо швидкість куль після удару

. (5)

Кінетична енергія, якою володіють кулі після удару, переходить у їхню потенціальну енергію

, (6)

де h – максимальна висота підняття куль після зіткнення.

З формул (5) і (6) знаходимо

. (7)

При непружному ударі куль частина енергії витрачається на їх деформацію. Енергія деформації визначається різницею кінетичних енергій до і після удару

. (8)

Обчислення.

= 0,044 м.

= 1,3 Дж.

Відповідь: h = 0,044 м; ∆ E = 1,3 Дж.

Приклад 8. Молот масою 70 кг падає з висоти 5 м і вдаряє по залізній поковці, що лежить на ковадлі. Маса кувалди разом з поковкою 1330 кг. Вважаючи удар абсолютно непружним, визначити енергію, що витрачається на деформацію виробу. Систему молот-поковка-ковадло вважати замкненою.

Дано: m ₁ = 70 кг, m ₂ =1330 кг; h = 5 м.

Знайти: E _Д.

Розв’язок. За умовою задачі система молот-поковка-ковадла вважається замкненою, а удар непружний. На підставі закону збереження енергії можна вважати, що енергія, витрачена на деформацію поковки, дорівнює різниці значень механічної енергії системи до і після удару.

Вважаємо, що під час удару змінюється тільки кінетична енергія тіл, тобто незначним переміщенням тіл по вертикалі під час удару нехтуємо. Тоді для енергії деформації виробу маємо

, (1)

де u – загальна швидкість усіх тіл системи після непружного удару, а – швидкість молота наприкінці падіння з висоти h.

Швидкість легко знайти, тому що початкова потенціальна енергія молота (на висоті h) дорівнює його кінетичній енергії безпосередньо перед ударом об поковку

. (2)

Зауважимо, що для даної системи виконується закон збереження імпульсу

. (3)

З виразу (2) можна знайти швидкість , а потім з виразу (3) – швидкість u

; (4 а)

. (4 б)

Підставляючи вираження (4) у (1), тепер легко одержати остаточну формулу

Обчислення.

= 325,85 Дж.

Відповідь: E _Д = 325,85 Дж.

Приклад 9. Яку мінімальну швидкість потрібно надати ракеті, щоб вона, стартуючи з Землі, назавжди залишила її? Опором повітря знехтувати.

Дано: R ₃= 6,37·10⁶ м; g = 9,81 м/с²; R → ∞.

Знайти: .

Розв’язок. Відповідно до умови задачі система Земля-ракета є замкненою і консервативною. Тому можна застосувати закон збереження повної механічної енергії ракети

, (1)

де m – маса ракети; M – маса Землі; – швидкість ракети; r – відстань між ракетою і центром Землі.

У початковій точці (на поверхні Землі) швидкість ракети , а r = R ₃. Для того, щоб ракета не повернулась на Землю, очевидно, у кінцевий момент часу слід покласти: ; . Цьому станові, як випливає з виразу (1), відповідає повна механічна енергія ракети, що дорівнює нулю. Таким чином, і початкова енергія ракети буде дорівнювати нулю

. (2)

Відповідно до закону всесвітнього тяжіння на поверхні Землі сила притягання дорівнює

, (3)

звідки випливає корисне співвідношення

. (4)

Таким чином, підставляючи виразу (4) у (1), одержимо остаточно

. (5)

Обчислення.

м/с.

Відповідь: 11,2 км/с.

Приклад 10. Маховик, маса якого рівномірно розподілена по ободу з радіусом 40 см, вільно обертався з частотою 720 об/хв. навколо горизонтальної осі, що проходить через його центр симетрії. Потім на маховик почав діяти постійний гальмуючий момент сил, внаслідок чого він зупинився через 30 с. Знайти гальмуючий момент сил і число оборотів, що зробив маховик за цей час, якщо його маса 4 кг.

Дано: n ₀ = 720 об/хв = 12 об/с; n_τ = 0; m = 4 кг; R = 0,4 м; t = 30 с.

Знайти: M; N.

Розв’язок. Рух маховика підкоряється рівнянню динаміки обертального руху, що при постійному моменті сил M має вид

. (1)

Тут J – момент інерції маховика, – зміна його кутової швидкості за проміжок часу Δ t. Для розглянутого випадку ці величини визначаються такими формулами