Електростатика. Постійний струм

 

Пояснення до робочої програми

 

Вивчення основ електродинаміки починається з електричного поля у вакуумі. Ця тема є фундаментом розділу, що включає електростатику і постійний струм.

Особливу увагу при вивченні цього розділу слід звернути на закон збереження електричного заряду, інваріантість його в теорії відносності, на силову й енергетичну характеристики поля (напруженість, потенціал) і зв’язок між ними. Студент повинен уміти застосовувати теорему Остроградського-Гаусса для обчислення напруженості електричних полів і усвідомити такі поняття, як потік і циркуляція вектора напруженості поля.

При вивченні електричного поля у діелектриках слід уяснити механізм поляризації полярних і неполярних діелектриків і перевагу вектора електричного зміщення перед вектором напруженості для опису електричного поля в неоднорідних діелектриках.

При вивченні питання про енергію заряджених провідників і конденсаторів студент повинен звернути увагу на те, що в рамках електростатики не можна однозначно вирішити питання про локалізацію цієї енергії. Слід можна вважати, що енергією володіють не тільки заряджені провідники, а і створюване ними електричне поле.

Вивчення теми «Постійний електричний струм» слід почати з класичної електронної теорії провідності металів, на її основі розглядати закони Ома і Джоуля-Ленца. Чітко розмежовувати такі поняття, як різниця потенціалів, електрорушійна сила й електрична напруга.

Контрольна робота № 3 складена таким чином, що допомагає перевірити знання студентів з розділів «Електростатика. Постійний струм». Вона містить у собі задачі на визначення напруженості поля і різниці потенціалів, розрахунок найпростіших електричних полів за допомогою принципу суперпозиції, визначення електроємності й енергії поля конденсаторів, застосування законів Ома і Джоуля-Ленца. Крім того, включені задачі на визначення питомої провідності власних напівпровідників, електролітів і густини струму в газі за відсутності насичення.

Основні закони і формули

 

Фізична величина або фізичний закон	Формула
Електричний заряд
- закон збереження
- лінійна густина	;

 

Фізична величина або фізичний закон	Формула
- поверхнева густина	;
- об’ємна густина	;
Закон Кулона
Напруженість електричного поля
- точкового заряду
- нескінченно довгої зарядженої нитки (циліндра)
- рівномірно зарядженої площини
- двох різнойменно заряджених паралельних площин
зарядженої металевої сфери:
- усередині сфери	E = 0; r < R
- на поверхні сфери	; r = R
- поза сферою	; r > R
Принцип суперпозиції
Потенціал електричного поля
- точкового заряду
зарядженої металевої сфери:
- усередині і на поверхні сфери	; r   R
- поза сферою	; r > R
Принцип суперпозиції
Різниця потенціалів
- поля нескінченно довгої зарядженої нитки

 

Фізична величина або фізичний закон	Формула
Зв’язок між напруженістю і потенціалом електростатичного поля	; ;
- для однорідного поля
Робота переміщення заряду
Дипольний момент
Вектор поляризації
Вектор електричного зміщення	;
Потік напруженості електричного поля	;
Теорема Гаусса
Сила притягання між різнойменно зарядженими обкладинками конденсатора
Заряд відокремленого провідника
Заряд конденсатора
Електроємність відокремленого провідника
- відокремленої сфери
Взаємна електроємність
- плоского конденсатора
- слоїстого конденсатора
Паралельне з’єднання конденсаторів
- електроємність батареї конденсаторів
- заряд батареї конденсаторів
- напруга

 

Фізична величина або фізичний закон	Формула
Послідовне з’єднання конденсаторів
- електроємність батареї конденсаторів
- заряд батареї конденсаторів
- напруга
Енергія
- системи заряджених провідників
- відокремленого провідника
- конденсатора
Енергія електростатичного поля
Об’ємна густина енергії
- електричного поля
- поляризованого діелектрика
Сила струму
- постійного струму
Густина струму
- постійного струму
- у металі
Електрорушійна сила (ЕРС)
Напруга
Закон Ома
- для однорідної ділянки кола
- узагальнений

 

Фізична величина або фізичний закон	Формула
- для замкненого кола
- у диференціальній формі	;
Опір однорідного провідника
Питома провідність
Температурна залежність опору металів	;
Послідовне з’єднання провідників
- опір
Паралельне з’єднання провідників
- опір
- сила струму
- напруга
Робота електричного струму
Потужність електричного струму
Закон Джоуля-Ленца
- у диференціальній формі
Правила Кірхгофа для розгалужених кіл
- для вузлів
- для замкнених контурів

 

Приклади розв’язку задач

 

Приклад 1. Три однакові точкові заряди по 1 нКл кожен розміщені у вершинах рівностороннього трикутника. Який негативний заряд потрібно помістити в центрі трикутника, щоб зазначена система зарядів знаходилася у рівновазі?

Дано: q ₁ = q ₂ = q ₃ = 10^-9 Кл;  =  =  = 60⁰.

Знайти: q ₄.

Розв’язок. Оскільки всі три заряди у вершинах трикутника знаходяться в однакових умовах, досить з’ясувати, який заряд потрібно помістити в центр трикутника, щоб який-небудь один із трьох зарядів знаходився в рівновазі. Заряд q ₁ буде знаходитись в рівновазі, якщо векторна сума діючих на нього сил дорівнює нулю (рис. 3.1)

,    (1) де ,  і  – сили, з якими діють на обраний заряд q 1 відповідно заряди q 2, q 3 і q 4. Введемо допоміжну силу , що є рівнодіючою сил  і , і спрямована уздовж прямої, що з’єднує центр трикутника з даним зарядом .            (2)

Рис. 3.1.

Сили  і  спрямовані уздовж однієї прямої, але в протилежні боки, тому, з урахуванням виразу (2), можна перейти до скалярної форми рівняння (1)

     або        .          (3)

Із симетрії задачі випливає, що сили F ₂ і F ₃ однакові за величиною. Тому, застосовуючи закон Кулона для величин, що входять у (3), легко одержати (рис. 3.1)

;                                (4 а)

,             (4 б)

де відстань r ₁ можна знайти з геометрії трикутника

.                                   (5)

Підставляючи вираз (4) у (3), одержимо

.                  (6)

Звідси, використовуючи (5), можна одержати остаточно

.                                 (7)

Обчислення.

= 5,77·10^-9 Кл.

Відповідь: q ₄ = 5,77·10^-9 Кл.

 

Приклад 2. Два точкові електричні заряди 1 нКл і –2 нКл знаходяться у повітрі на відстані 10 см один від одного. Визначити напруженість і потенціал електричного поля, створюваного цими зарядами, у точці, віддаленій від першого заряду на 9 см і від другого – на 7 см.

Дано: q ₁= 10^-9 Кл; q ₂= –2·10^-9 Кл; d = 0,1 м; r ₁= 9·10^-2 м; r ₂= 7·10^{-2 м.}

Знайти: E; .

Розв’язок. Відповідно до принципу суперпозиції, напруженість електричного поля  в пошукуваній точці дорівнює векторній сумі полів  і , створених кожним зарядом q ₁ і q ₂ окремо

,                                        (1)

де

;                                   (2 а)

.                                   (2 б)

Вектор  (рис. 3.2) спрямований уздовж силової лінії від заряду

q 1, оскільки цей заряд позитивний; вектор  спрямований за силовою лінії до заряду q 2, тому що цей заряд негативний. Модуль результуючого вектора  знайдемо за теоремою косинусів . (3)

Рис. 3.2.

Тут  – кут між векторами  і , що може бути також визначений за теоремою косинусів із трикутника, утвореного сторонами d, r ₁ і r ₂

.                          (4)

Підставляючи в (3) вираз (2) і (4), одержимо

.              (5)

Потенціал результуючого поля, відповідно до принципу суперпозиції, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів

.                                          (6)

Тут  і  – потенціали полів точкових зарядів q ₁ і q ₂ у пошукуваній точці

;                                    (7 а)

.                                   (7 б)

Таким чином, з (6) і (7) одержимо

,                         (8)

де варто враховувати знаки зарядів q ₁ і q ₂.

При обчисленнях візьмемо до уваги, що в одиницях СІ загальний множник виразів (5) і (8) дорівнює

 = 9·10⁹ м/Ф.

Обчислення.

= 3,58·10³ В/м;

 В.

Відповідь: E = 3,58·10³ В/м;  В.

 

Приклад 3. Уздовж тонкого кільця рівномірно розподілений заряд у 40 нКл з лінійною густиною 50 нКл/м. Визначити напруженість електричного поля, створеного цим зарядом у точці, що лежить на осі кільця і віддалена від його центра на відстань, що дорівнює половині радіуса.

Дано: q = 4·10^-8 Кл;  = 5·10^-8 Кл/м; h = R /2.

Знайти: E.

Розв’язок. Виділимо на кільці малу ділянку довжиною dl (рис. 3.3). Оскільки заряд dq 1 = dl, який знаходиться на цій ділянці, вважається точковим, то напруженість електричного поля , що створено цим зарядом, можна записати у вид .         (1)

Рис. 3.3.

Розкладемо вектор  на дві складові: , перпендикулярну площини кільця, і , паралельну до площини кільця, тобто

.                                           (2)

Напруженість E електричного поля в пошукуваній точці знайдемо інтегруванням

,

де інтегрування ведеться по всіх елементах зарядженого кільця. З рисунка бачимо, що для кожної пари зарядів dq і dq ′, розташованих симетрично щодо центра кільця, складові  і  однакові за модулем і протилежні за напрямком: . Тому векторна сума . Складові  для всіх елементів кільця напрямлені уздовж осі кільця, тому

,                                            (3)

де , або з урахуванням (1) , , .

З урахуванням цього

   .       (4)

Із співвідношення  визначимо радіус кільця . Тоді

.                      (5)

Зробимо обчислення.

= 7,92·10³ В/м.

Відповідь: E = 7,92·10³ В/м.

 

Приклад 4. Нескінченна площина, розташована вертикально, заряджена рівномірно з поверхневою густиною заряду 40 мкКл/м². На шовковій нитці, один з кінців якої закріплений у точці на цій площині, підвішена кулька масою 1 г, що несе заряд 1 нКл. Який кут із площиною утворить нитка, на якій висить кулька?

Дано:  = 4·10^-5 Кл/м²; q = 10^-9 Кл; m = 10^{-3 кг.}

Знайти: .

Розв’язок. У стані рівноваги результуюча усіх сил, що діють на кульку (рис. 3.4), дорівнює нулю

.                   (1)

Тут ,  і  – відповідно сила ваги, сила кулонівського відштовхування і сила натягу нитки. Векторна сума взаємно перпендикулярних сил  і  (на рис. 3.4 – сила ) спрямована уздовж нитки і в стані рівноваги урівноважується силою . З цього випливає, що пошукуваний кут дорівнює кутові між векторами  і , тому

Рис. 3.4.

.                                           (2)

Кулонівська сила, що діє на заряджену кульку в однорідному електричному полі площини, дорівнює

.                                             (3)

Тут E – напруженість електричного поля, створювана рівномірно зарядженою площиною

.                                 (4)

Таким чином, з (2)–(4) можна одержати остаточний вираз для пошукуваного кута

.                                    (5)

Обчислення.

 = 13⁰.

Відповідь:  = 13⁰.

 

Приклад 5. Електричне поле створене довгим циліндром радіусом 1 см, рівномірно зарядженим з лінійною густиною 20 нКл/м. Визначити швидкість, яку одержить електрон під дією поля, наблизившись до циліндра з відстані 2 см до відстані 0,5 см від поверхні циліндра.

Дано: R = 10^{-2 м;  = 2·10-8} Кл/м; a ₁ = 2·10^{-2 м; a} ₂ = 5·10^{-3 м;  Кл; m = 9,1·10-31 кг;  = 0.}

Знайти: .

Розв’язок. Електрон рухається під дією електростатичного поля, створеного зарядженим циліндром. У довільній точці на відстані r від осі циліндра () напруженість E його електростатичного поля визначається формулою

.                                    (1)

Робота переміщення електрона в електростатичному полі дорівнює добуткові заряду на різницю потенціалів

.                                   (2)

Тут  і  – потенціал електростатичного поля циліндра відповідно у точках, що знаходяться на відстані r ₁ і r ₂ від осі, де

;                                         (3 а)

.                                (3 б)

Ця робота витрачається на зміну кінетичної енергії електрона, отже

,                  (3)

де .

Для визначення різниці потенціалів скористаємось співвідношенням між напруженістю поля і зміною потенціалу

.                                  (4)

Підставивши в це рівняння вираз для напруженості поля, створюваного нескінченно довгим циліндром, одержимо

.      (5)

Остаточно, підставляючи (4) у (3), можна одержати пошукувану розрахункову формулу

.                                 (5)

Обчислення.

 м/с.

Відповідь:   м/с.

 

Приклад 6. На плаский повітряний конденсатор подається різниця потенціалів 2 кВ. Розміри пластин 40х60 см², відстань між ними
0,5 см. Після зарядки конденсатор відключають від джерела і потім розсувають пластини так, що відстань між ними збільшується вдвічі. Визначити: роботу з розсування пластин; густину енергії електричного поля до і після розсування обкладок.

Дано: U ₁ = 2·10³ В; S = 0,24 м²; d ₁ = 5·10^{-3 м; d} ₂ = 2 d ₁;  = 1.

Знайти: A, w ₁, w ₂.

Розв’язок. Робота з розсування пластин дорівнює зміні енергії зарядженого конденсатора

A = W ₂ – W ₁.                                        (1)

Енергія конденсатора визначається формулами

;           ,                   (2)

де C ₁ і C ₂ – ємність конденсатора до і після розсування обкладок

; .                            (3)

Вважаючи на те, що конденсатор було відключено від джерела, заряд q на його обкладках не змінився, тобто

q = C ₁ U ₁ = C ₂ U ₂.                                 (4)

Підставляючи вираз (3) у (4), легко одержати:

.                                         (5)

Підставивши (2), (3) і (5) у (1), знайдемо:

.                                  (6)

Об’ємну густину енергії електричного поля в конденсаторі можна знайти, розділивши його енергію на об’єм

;                                 (7 а)

.                      (7 б)

У даній задачі зв’язок між напругами конденсатора в двох станах виражається формулою (5). Підставляючи її в (7 б) одержимо

.                         (8)

Обчислення.

= 8,45·10^-4 Дж;

= 0,7 Дж·м^-3.

Відповідь: А = 8,45·10^-4 Дж; w ₂ = w ₁ = 0,7 Дж·м^-3.

Приклад 7. Конденсатор ємністю 3 мкФ було заряджено до різниці потенціалів 40 В. Після відключення від джерела струму конденсатор з’єднали паралельно з іншим незарядженим конденсатором об’ємом 5 мкФ. Яка енергія була витрачена на утворення іскри у момент приєднання другого конденсатора?

Дано: C ₁ = 3·10^-6 Ф; C ₂ = 5·10^-6 Ф; U ₁ = 40 В; U ₂ = 0 В.

Знайти: .

Розв’язок. Енергія, витрачена на утворення іскри

,                              (1)

де  – енергія конденсатора;  – енергія батареї паралельно з’єднаних конденсаторів.

З огляду на те, що заряд після приєднання другого конденсатора залишився попереднім, виразимо різницю потенціалів U ₂ у такий спосіб

.                   (2)

Підставивши вираз для U ₂, знайдемо

 або .      (3

Обчислення.

 Дж = 1,5·10^-3 Дж.

Відповідь:  1,5·10^-3 Дж.

 

Приклад 8. Батарея складається з п’яти однакових гальванічних елементів, з’єднаних послідовно. Кожен з цих елементів має ЕРС 1,4 В и внутрішній опір 0,3 Ом. При якому струмі корисна потужність батареї буде дорівнювати 8 Вт? Яку найбільшу корисну потужність може віддавати ця батарея?

Дано:  = 1,4 В; r = 0,3 Ом; n =5; P_R = 8 Вт.

Знайти: I; P_R,max.

Розв’язок. При послідовному з’єднанні декількох гальванічних елементів їх можна замінити в розрахунках одним еквівалентним елементом. Внутрішній опір цього еквівалентного елемента дорівнює сумі внутрішніх опорів тих елементів, з яких він складений, а його ЕРС дорівнює алгебраїчній сумі ЕРС елементів. Це дозволяє записати закон Ома для даної задачі у такому вигляді

.                                     (1)

Корисна потужність, тобто потужність, що виділяється у навантаженні з опором R, дорівнює

.                                  (2)

Якщо тепер виразити опір R з рівняння (2) і підставити результат у вираз (1), після нескладних перетворень можна одержати таке квадратне (по струму I) рівняння

.                             (3)

Рішення цього рівняння має стандартний вигляд

.                        (4)

Щоб знайти найбільшу корисну потужність, що віддається цією батареєю в зовнішнє коло, спочатку запишемо потужність як функцію опору навантаження, для чого підставимо вираз (1) у (2)

.                                   (5)

Тепер скористаємося умовою екстремуму (максимуму) цієї функції, для чого знайдемо похідну від виразу (5) від змінної R, і дорівняємо її нуля

.                  (6)

З розв’язку цього рівняння випливає

.                                                (7)

Підставляючи це рішення у вираз (5), одержимо остаточну формулу для обчислення максимальної потужності, що віддається даною батареєю в навантаження

.                                      (8)

Обчислення.

,

звідки

I ₁ = 2,66 A; I ₂ = 2,0 A; = 8,16 Вт.

Відповідь: I ₁ = 2,66 A; I ₂ = 2,0 A; P _R,max = 8,16 Вт.

 

Приклад 9. З яким коефіцієнтом корисної дії працює акумулятор, ЕРС якого 2,15 В, якщо у зовнішньому колі опором 0,25 Ом тече струм 5 А?

Дано:  = 2,15 В; R = 0,25 Ом; I = 5 А.

Знайти: .

Розв’язок. Корисна потужність P_R, що виділяється у навантаженні опором R, може бути визначена з виразом

.                                       (1)

Повну потужність P _Σ, що віддається акумулятором, знайдемо з виразу

P _Σ = I .                                               (2)

Коефіцієнт корисної дії, мабуть, дорівнює відношенню корисної потужності до повної. Таким чином, з (1) і (2) легко одержати остаточну розрахункову формулу

.                                      (3)

Обчислення.

= 0,58.

Відповідь:  = 58 %.

 

Приклад 10. У провіднику опором 20 Ом сила струму зростає за лінійним законом від нуля до 6 А за 2 с. Визначити кількість теплоти, що виділяється в цьому провіднику за першу секунду і за другу секунду. У скільки разів теплота, виділена за другу секунду, більша від теплоти, виділеної за першу секунду?

Дано: R = 20 Ом; t ₀ = 0; t _k = 2 c; I ₀ = 0; I = 6 А;  = 2 c.

Знайти: Q ₁, Q ₂, Q ₂, Q ₁.

Розв’язок. Закон Джоуля-Ленца у виді  справедливий для постійного струму. Якщо сила струму в провіднику змінюється, то цей закон справедливий для нескінченно малого інтервалу часу і записується так

.                                        (1)

Тут сила струму I є деякою функцією часу , де k – коефіцієнт пропорційності, що характеризує швидкість зміни сили струму

 А/с = 3 А/с.                               (2)

Тоді .

Для визначення теплоти, що виділяється за час Δ t, проінтегруємо цей вираз

.      (3)

Тоді

 Дж = 60 Дж;

 Дж = 420 Дж.

Отже, , тобто за другу секунду виділяється теплоти в 7 разів більше, ніж за першу.

Відповідь: Q ₁ = 60 Дж; Q ₂ = 420 Дж; n = 7.

 

Приклад 11. Визначити силу струму в усіх ділянках кола, вказаного на рис. 3.5, і що включають ЕРС (  =  = 3 В,  = 1 В), а також провідники, що мають опори R 1 = 5 Ом, R 2 = 3 Ом, R 3 = 1 Ом.

Рис. 3.5.

Дано:  =  = 3 В;  = 1 В; R ₁ = 5 Ом; R ₂ = 3 Ом; R ₃ = 1 Ом.

Знайти: I ₁, I ₂, I ₃.       

Розв’язок. Для розв’язку задачі використовуються закони Кірхгофа. Якщо напрямок струмів вибрати так, як показано на рис. 3.5, то за першим законом Кірхгофа для вузла а одержимо

I ₂ – I ₁ – I ₃ = 0.                            (1)

За другим законом Кірхгофа для контуру (, , R ₂ і R ₃), лівого на схемі, можна записати рівняння

.                         (2)

Для іншого контуру (e ₁, R ₁ і R ₃), правого на схемі, маємо аналогічне рівняння

.                                         (3)

Отримані рівняння являють собою систему трьох рівнянь із трьома невідомими, котру нескладно розв’язати. Зокрема, із другого рівняння можна вивести струм I ₂ через струм I ₃ і відомі величини, а з третього – струм I ₁ через струм I ₃ і відомі величини

;                                  (4 а)

.                              (4 б)

Після підстановки цих виразів у перше рівняння легко одержати остаточну формулу для струму I ₃

.                      (4 в)