Надежности и безопасности ССС

Впервые схемно-логический метод был опубликован в 1971 г. Оноснован на обобщённой теореме разложения произвольной функции алгебры логики по любым   X_i аргументам  (формула Д.А.Поспелова):

= (5)

Для повышения наглядности использования этой теоремы было предложено все расчёты сопровождать специальной релейно-контактной схемой (РКС), являющейся графической моделью условий работоспособности исследуемой системы.

На РКС каждый элемент изображается электрическим контактом, а провода, связывающие элементы, заменяют логические операции «И» и «ИЛИ». При таком изображении РКС она всегда получается в виде последовательно-параллельных контактных цепей (а не мостиковых структур!) со многими повторяющимися контактами.

РКС даёт наглядное представление о комбинации «выгодных» переменных, по которым следует делать разложение ФАЛ, и о наиболее целесообразной последовательности преобразований, которая приводит схему к простейшему виду.

Для упрощения графической части работы условимся контакты на схемах не изображать и обозначать не буквами X_i  (замыкающий) и X_i ^′ (размыкающий), а просто их номерами: i (замыкающий) и i′ (размыкающий).

Алгоритм схемно-логического метода преобразования ФАЛ для расчёта надежности ССС:

1. По условиям работоспособности системы, записанным в ДНФ, изображается релейно-контактная схема; при этом контакты, входящие в несколько параллельных цепей, одновременно выносим в общую для них последовательную цепь;

2. Выбираем для вынесения в последовательную цепь такую комбинацию контактов, которая обеспечивает размыкание всех или большей части параллельных цепей РКС (опыт расчёта надёжности ССС показывает, что при числе параллельных цепей не более 20 для их одновременного размыкания обычно достаточно комбинации, состоящей из 2 - 5 контактов). После вынесения группы из r контактов РКС распадается на 2^r параллельных схем.

3. В каждой их 2^r полученных параллельных схем производим преобразования, вытекающие из теоремы разложения, а именно: контакты, одинаковые с вынесенными, замыкаем, а отрицания вынесенных контактов размыкаем.

4. В схемах, полученных в результате преобразований, удаляем все разомкнутые цепи и заменяем все группы контактов, оказавшиеся короткозамкнутыми, проводом (линией). Кроме того, контакты, имеющиеся во всех параллельных цепях, выносим в общую последовательную цепь, а цепи, поглощаемые другими, параллельными им цепями, удаляем.

5. Изучаем каждую из 2^r преобразованных схем (последовательная цепь, состоящая из r контактов и контактов, вынесенных в эту цепь дополнительно, не рассматривается).

Если схема оказалась постоянно разомкнутой, то она из дальнейшего рассмотрения исключается.

Если схема оказалась постоянно замкнутой, то она дальнейшим преобразованиям не подвергается.

Если схема оказалась бесповторной, то на этом процесс её преобразования также заканчивается. Бесповторную функцию, соответствующую данной схеме, записываем в конъюнктивной форме.

Если схема не является бесповторной, то переходим к п.2 и производим дальнейшие преобразования в соответствии с п.п.2,3,4,5.

6. По полученным по результатам преобразований схемам записываем ФАЛ.

7. От ФАЛ переходим к вероятностной функции и вычисляем вероятность безотказной работы системы как вероятность равенства ФАЛ единице.

Пример 8. Рассчитать структурную надежность системы схемно-логическим методом, схема которой представлена на рис.1.

Условия работоспособности системы имеют вид:

                       (6)

На рис. 4 построена РКС, в которой контакт 7, имеющийся во всех параллельных цепях, вынесен в общую для них последовательную цепь. Кроме того, вынесены в последовательную цепь контакты 1,3 и 2,4.

В соответствии с алгоритмом преобразования применим разложение схемы по контактам (переменным) 5 и 6, которые входят во все параллельные цепи. Так как число r выносимых контактов равно двум, то можно составить четыре ортогональные конъюнкции:

Х′₅ Х′₆; Х′₅ Х₆ ; Х₅ Х′₆; Х₅ Х₆                         (7)

Результат разложения схемы, представленной на рис.1, показан на рис.9. При вынесении контактов 5′ и 6′ и размыкании в схеме на рис.8? контактов 5 и 6 схема превращается в постоянно разомкнутую цепь (схема I). Схемы II  и III на рис.9 после вынесения контактов 4 и 3 в общую последовательную цепь с контактами 5′,6 и 5,6′ соответственно становятся бесповторными. В схеме IV на рис.9 контакты 4,8 и 3,8 оказались короткозамкнутыми, и оставшаяся часть схемы после удаления этих контактов будет также бесповторной.

По схемам II, III, IV запишем ФАЛ в виде суммы трёх ортогональных слагаемых, заменив цифры соответствующими переменными:

   (7)

Теперь бесповторные ДНФ в каждом слагаемом запишем в конъюнктивной форме:

       (8)

Откуда имеем:

           (9)

При условии получим

                         (10)

 

Использование схемно-логического метода преобразования ФАЛ для расчёта надёжности (безопасности) ССС даёт возможность найти вероятностную функцию (ВФ) значительно быстрее, чем предыдущими методами. Это объясняется тем, что в данном методе используется разложение повторной ФАЛ не по одному аргументу, а сразу по целой комбинации повторяющихся аргументов, и кроме того, все преобразования проводятся по РКС, что даёт возможность избежать многих необходимых промежуточных преобразований, неизбежных при других методах ортогонализации.

Задание. Графическим иллюстрациям, изображенным на рис. с помощью РКС поставить в соответствие операции алгебры логики.