Алгоритмы расчёта коэффициента живучести системы (методом перебора состояний, через условный закон уязвимости системы).

 

     Необходимым и важным этапом при исследовании живучести технических систем является формирование условий работоспособности системы. Проще всего это осуществить, используя алгоритм формирования ФРС через КПУФ, рассмотренный в разделе надёжность систем ЭЧ ЭС.

Сформировав ФРС в виде матрицы КПУФ, можно определить наличие или отсутствие КПУФ для данного набора отказавших ФЕЖ и получить число работоспособных состояний технической системы для обобщённого отказа n – й кратности методом простого перебора состояний системы. Затем по формуле (1) рассчитать коэффициент живучести системы для данного обобщённого отказа. Этот алгоритм достаточно трудоёмкий, его можно использовать при расчёте на ПВМ, но для этого должна быть разработана соответствующая программа.

Если условия работоспособности системы представлены логической ФРС в ортогональной форме, то число работоспособных состояний системы для обобщённого отказа n – й кратности можно определить, используя следующее аналитическое выражение :

                                                            (2)

где   – число работоспособных состояний системы, определённой одной j – ой ортогональной конъюнкцией ранга _, содержащей  аргументов с отрицанием;

              L - количество ортогональных конъюнкций в ФРС.

При вычислении числа сочетаний следует иметь в виду принятые в математике условия:

                                               (3)

       (4)

   В качестве примера вычислим число работоспособных состояний системы, ФРС которой определена выражением:

                                                   

                                     (5)

для n = 2.

    Для расчёта используем формулу (2):

 

Общее число состояний системы .

   Коэффициент живучести данной системы при обобщённом отказе 2 – ой кратности будет равен:

   Задание 1. Рассчитать коэффициент живучести системы для обобщённого отказа 1-ой и 3-ей кратностей.

При априорных исследованиях живучести технической системы для n – го обобщённого отказа может оказаться, что во всех состояниях она работоспособна. В этом случае для n – го обобщённого отказа коэффициент живучести системы равен единице, то есть К_ж(qⁿ)=1. Возможна такая ситуация, что всей совокупности состояний избыточной системы одна часть соответствует работоспособному состоянию, а другая – состоянию отказа. В этом случае значение коэффициента живучести лежит в пределах 0 < K _ж (qⁿ)  1.

Для некоторого m – го обобщённого отказа при любом сочетании из n функциональных элементов по m, система будет находиться в состоянии отказа. Тогда можно утверждать, что К_ж(q^m) = 0, то есть коэффициент живучести для данного обобщённого отказа равен 0. Таким образом, в общем случае коэффициент живучести изменяется в пределах от нуля до единицы, то есть: 0 < K_ж(qⁿ) 1.

   Величина, обратная коэффициенту живучести, называется коэффициентом деградации К_д(qⁿ) = 1/ K _ж (qⁿ). Очевидно, что К_ж(qⁿ) + K _д (qⁿ) = 1.

Зависимость коэффициента живучести от кратности обобщённого отказа названа функцией живучести системы К_ж= f (qⁿ). Она является интегральной оценкой живучести системы.

  Аналогично зависимость коэффициента деградации от кратности обобщённого отказа названа функцией деградации системы К_д = f (qⁿ).

  Для наглядности поясним сказанное на графиках этих функций.

На рис. 1, 2 изобразим функции живучести и деградации двух систем, каждая из которых имеет десять функциональных единиц живучести (ФЕЖ). Функции живучести и деградации имеют смысл только в точках, соответствующих определённому значению кратности обобщённого отказа. Для большей наглядности соединим эти точки плавной линией.

 

 

K_ж                                                                                     K_д

 1,0 -                                                 1.0 -                 2          *

 0.8 -       * * 1                     0.8 -               *          

 0.6 -                                                 0.6 -         *          1    

 0.4 -        2 *                              0.4 -                     *    

 0.2 -                *  *                 0.2 -       *  *              

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 qⁿ        0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 qⁿ

 

   Из сравнения функций видно, что система 1 более живуча, чем система 2, так как для обобщённого отказа более третьей кратности коэффициенты живучести у системы 1 больше, чем у системы 2.

   Для сравнительной оценки живучести систем, содержащих различное количество ФЕЖ, используются относительные функции живучести

К_Ж = f (qⁿ / m),

где m – количество ФЕЖ.

   Функцию живучести технической системы можно разделить на две части. Первая (левая) её часть, у которой К_ж(qⁿ) = 1, характеризует отказоустойчивость технической системы; вторая – показывает способность технической системы постепенно деградировать. Скорость деградации в этой части является основным параметром живучести технической системы. Граница между устойчивостью и постепенной деградацией может перемещаться влево или вправо в зависимости от объёма избыточности и от правильности стратегии использования избыточных средств и способов повышения живучести.

    В заключение следует отметить, что для сложных технических систем коэффициент живучести принимает вероятностное значение, величина которого определяется случайным возникновением последовательности отказов ФЕЖ и случайным порядком назначения способов локализации отказов ФЕЖ. В этом случае он характеризуется математическим ожиданием и дисперсией, для оценки которых могут быть применены точечные и интервальные оценки.

 

Отказоустойчивость системы.

    В предыдущем параграфе были рассмотрены методы расчёта отказоустойчивости структуры, когда элементы выводились из строя по одному, по два и т. д. В реальной жизни і – й элемент за время t окажется в состоянии отказа с вероятностью отказа Q _і (t) и сохранит работоспособность с вероятностью безотказной работы R _і (t) = 1 – Q _і (t). Именно с этими показателями рассчитывали вероятность безотказной работы системы при расчёте надёжности.

    Для расчёта отказоустойчивости системы мы должны получить вероятность сохранения работоспособности системы R_c (n, t) или вероятность её отказа Q_c (n, t) = 1- R_c (n, t) как функции кратности отказавших элементов и времени. Поскольку время является фиксированной величиной, то в дальнейшем будем обозначать указанные характеристики просто Q_c (n) и R_c (n), опуская параметр времени.

Отказоустойчивость системы будем оценивать при допущении о независимости отказов, и при условии, что интенсивность отказов и в работоспособном и в отказовом состояниях сохраняет один и тот же закон.

     Это условие позволяет говорить об n – кратном отказе элемента, вероятность которого обозначим Q _і (n), вероятность сохранения его работоспособности при n – кратном отказе через R _і (n).

    В  приведены две леммы и теорема, на которых базируется методика расчёта отказоустойчивости системы.

      Лемма 1. Вероятность сохранения работоспособности системы при однократных отказах R_c (1) есть вероятность безотказной работы системы R_c (1) = R_c.

     Лемма 2. Вероятность сохранения работоспособности элемента при

  n – кратных отказах равна n – й степени вероятности сохранения работоспособности при однократном отказе:

                R _і (n) = R (1)

      Теорема. Вероятность сохранения работоспособности системы при n – кратных отказах есть вероятность равенства нулевой ФРС единице при n – кратных значениях вероятностей работоспособности её элементов: 

R_c (n) = P { Y (x_m) = 1} при P { X _і = 1} = R _і (n).

 

      Данная теорема позволяет применять для расчёта все методы, используемые при расчёте надёжности.

      В качестве примера оценим отказоустойчивость системы, ФРС которой имеет вид (5),  а вероятностный полином: R_c = 2 R ⁴ + 2 R ⁶ – 5 R ⁷  + 2 R ⁸

     В соответствии с теоремой, рассмотренной выше, запишем вероятность сохранения работоспособности системы при n – кратных отказах в общем виде:

R_c(n) = 2R⁴ⁿ(1) + 2R⁶ⁿ(1) – 5R⁷ⁿ(1) + 2R⁸ⁿ(1)

ЛЕКЦИЯ 4