Синтез оптимального демодулятора в канале

 с неопределенной фазой (некогерентный прием)

Постановка задачи:

Известны:

1. Ансамбль сигналов на выходе модулятора

{ s_i (t)} _m; i = 1, 2,…, m; t Î (0, T).

2. Непрерывный канал с неопределенной фазой

,

где t - случайная задержка сигнала в канале,

,

 - случайная фаза с равномерным распределением ,

N (t) – квазибелый нормальный шум, т. е.

.

3. В качестве критерия качества приема используем критерий максимального правдоподобия (6.6), в котором отношение правдоподобия , зависящее от Q _k, является случайной величиной. Поэтому потребуем максимизации его математического ожидания

(6.24)

 

Требуется синтезировать оптимальный демодулятор, иначе говоря, найти алгоритм оптимальной обработки входного сигнала и принятия решения о передаваемом сообщении.

Решение

Исходя из ранее полученного выражения для L _i (6.10), с учетом (6.13) можно записать

.

Для дальнейшего удобно сигнал разложить на квадратурные составляющие по углу Q _k

Тогда

,

где

,                            (6.25)

.

Вернемся к отношению правдоподобия

.

Найдем математическое ожидание отношения правдоподобия (6.24)

.

Учитывая, что  – модифицированная функция Бесселя 0-го порядка, получим

.

Окончательно искомый алгоритм можно записать в виде

.

В таком виде алгоритм сложен для реализации. Для его упрощения можно применить любую монотонную функцию к выражению, стоящему в прямоугольных скобках [ x ], например, ln [ x ], что не изменит его суть

.                      (6.26)

Из алгоритма (6.26) вытекает схема демодулятора, показанная на рис. 6.33. Такая схема сложна для реализации, а сам алгоритм чувствителен к . Снятие этой проблемы и упрощение схемы демодулятора возможно при выборе сигналов равных энергий Е ₁ = Е ₂ =,,, = Е _m, что обеспечивает равенство h ₁ = h ₂ =,,, = h_m. Это позволяет исключить в ветвях демодулятора сумматоры и нелинейные преобразователи со сложной монотонной функциональной характеристикой вида ln[I₀(x)] (рис. 6.34), а алгоритм (6.26) принимает вид

        (6.27)

 

Способ приема сигналов, при котором не используется информация о его фазе, называют некогерентным, как и соответствующие демодуляторы. Его алгоритм был впервые получен Л.М.Финком.

Выше введенная функция V_i, как это следует из выражения (6.25), представляет собой не что иное, как огибающую реакции СФ для соответствующего сигнала s_i (t). Отсюда вытекает возможность реализации оптимального демодулятора, содержащего в каждой своей ветви СФ и детектор огибающей (ДО) (рис. 6.25). Решение о переданном символе принимается по максимум огибающей в моменты kT.

Из выражения (6. 25) очевидно, что максимальная помехоустойчивость некогерентного приема достигается при минимальном (нулевом) значении огибающей V_j (в моменты отсчетов) на выходах ветвей j ≠ i при передаче сигнала s_i (t). Для этого необходимо выбирать сигналы равных энергий, удовлетворяющие требованию ортогональности в усиленном смысле

.

Примеры ортогональных в усиленном смысле сигналов:

1. Сигналы с ЧМ при соответствующем выборе частот

.

2. Сигналы с время-импульсной модуляцией (ВИМ) (рис. 6.36,а)

.

3. Сигналы с ОФМ обладают ортогональностью в усиленном смысле на интервале – Т ÷ Т (рис. 6.36,б). На этом интервале сообщения «0» и «1» передаются сигналами:

 Рекомендуется доказать ортогональность этих сигналов самостоятельно.