Сокращенное описание случайных процессов

Полное описание СП не всегда возможно, да и не всегда требуется. Во многих случаях достаточно знать основные его характеристики. В качестве таковых широко используют:

1. Математическое ожидание СП – начальный момент первого порядка

2. Дисперсия СП – центральный момент второго порядка

Здесь использовано понятие центрированного СП .

3. В общем случае можно использовать моменты k -го порядка:

Начальные

 ,

Центральные

.

Нетрудно видеть, что моменты полностью определяются одномерным распределением и в общем случае произвольного СП являются детерминированными функциями времени. Для стационарных в узком смысле СП моменты от времени не зависят.

1. Корреляционная (автокорреляционная) функция – центральный смешанный момент второго порядка

.

Случайные процессы называют стационарными в широком смысле, если выполняются следующие условия:

,

,

, где τ = t ₂ – t ₁

Очевидно, что стационарность СП в узком смысле влечет его стационарность в широком смысле, но не наоборот.

Некоторые свойства корреляционной функции СП:

1.

2.

Доказательство:

,

   откуда следует вышеуказанное неравенство

3. Корреляционная функция характеризует статистическую связь сечений СП (внутри процесса). Если связи между сечениями  и  нет (сечения статистически независимы), то .

    Доказательство:

.

Отсутствие связи влечет отсутствие корреляции, но не наоборот. Обратное утверждение справедливо лишь в случае нормального (гауссовского) процесса.

Нормальным называют СП, у которого одномерная плотность вероятности имеет вид

,

где , ,

а любая n -мерная плотность вероятности описывается выражением

,

где A_n, c_ij, a_i, a_j – константы, определяемые выбором сечений t ₁, t ₂,,, t_n.

4. Корреляционная функция стационарного случайного процесса является четной .

Доказательство:

.

Подставляя , получим

.

5. Чтобы абстрагироваться от дисперсии и учитывать только связи внутри СП удобно пользоваться нормированной функцией корреляции (коэффициентом корреляции)

.

Очевидно, что .

6. Интервал корреляции – грубую числовую оценку связи внутри СП – чаще всего определяют методом равновеликого прямоугольника

.

7. Взаимная корреляционная функция двух процессов X (t) и Y (t)

.

8. Корреляционная функция суммы независимых случайных процессов  есть сумма корреляционных функций каждого из слагаемых СП в отдельности

Доказательство:

.

Вместо усреднения по множеству реализаций случайного процесса можно ввести его усреднение по времени, определяя:

 

- постоянную составляющую СП,

 

- переменную составляющую СП,

 

- мощность переменной состав-

ляющей СП.

 

Нетрудно видеть, что эти характеристики являются случайными величинами, не зависящими от времени.

Случайные стационарные процессы называют эргодическими, если их усреднение по множеству и по времени приводит к одинаковым результатам:

,

Эргодическое свойство СП заключается, грубо говоря, в том, что все его реализации «похожи» друг на друга. Отсюда следует возможность получения вышеуказанных характеристик эргодического СП усреднением по времени единственной его реализации x (t), что существенно облегчает построение аппаратуры для их измерений. В частности, функцию корреляции эргодического СП можно вычислить по одной реализации с помощью следующего выражения:

из которого вытекает схема коррелометра, приведенная на рис. 4.2.