Прохождение случайных процессов через линейные цепи

 

Общей процедуры определения закона распределения реакции линейного ФУ на произвольное случайное воздействие не существует. Однако, возможен корреляционный анализ, т. е. расчет корреляционной функции реакции по заданной корреляционной функции воздействия, который удобно проводить спектральным методом по схеме, показанной на рис. 5.5.

Для вычисления энергетического спектра G_Y (f) реакции линейного ФУ с передаточной функцией H (j ω) воспользуемся его определением (4.1)

.

Функцию корреляции B_Y (t) определим преобразованием Фурье энергетического спектра G_Y (f)

.

Вернемся к определению закона распределения реакции линейного ФУ в отдельных частных случаях:

1. Линейное преобразование нормального СП порождает также нормальный процесс. Измениться могут только параметры его распределения.

2. Сумма нормальных СП (реакция сумматора) есть также нормальный процесс.

3. При прохождении СП с произвольным распределением через узкополосный фильтр (т.е. при ширине полосы пропускания фильтра D F существенно меньшей ширины энергетического спектра воздействия D f_X) наблюдается явление нормализации распределения реакции Y (t). Оно заключается в том, что закон распределения реакции приближается к нормальному. Степень этого приближения тем больше, чем сильнее неравенство D F << D f_X (рис. 5.6).

Объяснить это можно следующим образом. В результате прохождения СП через узкополосный фильтр происходит существенное уменьшение ширины его энергетического спектра (с D f_X до D F) и, соответственно, увеличение времени корреляции (c t _X до t _Y). В результате между некоррелированными отсчетами реакции фильтра Y (k t _Y) располагается примерно D f_X / D F некоррелированных отсчетов воздействия X (l t _X),, каждый из которых дает вклад в формирование единственного отсчета реакции с весом, определяемым видом импульсной характеристики фильтра.

Таким образом, в некоррелированных сечениях Y (k t _Y) происходит суммирование большого числа также некоррелированных случайных величин X (l t _X) с ограниченными математическими ожиданиями и дисперсиями, что в соответствии с центральной предельной теоремой (А.М. Ляпунова) обеспечивает приближение распределения их суммы к нормальному с увеличением числа слагаемых.

 

5.3. Узкополосные случайные процессы

 

СП X (t) с относительно узким энергетическим спектром (D f_X << f_c) как и узкополосные детерминированные сигналы удобно представлять в квазигармонической форме (см. раздел 2.5)

,

где огибающая A (t), фаза Y(t) и начальная фаза j(t) являются случайными процессами, а ω_с – частота, выбираемая произвольно (обычно как средняя частота его спектра).

Для определения огибающей A (t) и фазы Y(t) целесообразно воспользоваться аналитическим СП

.

Тогда

,                     (5.3) 

,                (5.4)

,                      (5.5)

.  (5.6)

Основные моментные функции аналитического СП :

1. Математическое ожидание

.

2. Дисперсия

.

3. Функция корреляции

,

при этом

,

.

Аналитический СП называют стационарным, если

,

,

откуда .

Рассмотрим типичную в технике связи задачу прохождения нормального СП через полосовой фильтр (ПФ), амплитудный (АД) и фазовый (ФД) детекторы (рис. 5.7). Сигнал на выходе ПФ становится узкополосным , а это означает, что его огибающая A (t) и начальная фаза j(t) будут медленно меняющимися функциями времени по сравнению с , где  – средняя частота полосы пропускания ПФ. По определению, сигнал на выходе АД будет пропорционален огибающей входного сигнала A (t), а на выходе ФД – его начальной фазе j(t). Таким образом, для решения этой задачи достаточно вычислить распределение огибающей A (t) и фазы Y(t) (распределение начальной фазы  отличается от распределения Y(t) только математическим ожиданием ).

X (t) = A (t)cosY(t)                       K АД А (t)                     ПФ                                               АД                                                                                                                                 K ФДj(t)                                                                          ФД                                                                                            Рис. 5.7. Прохождение СП через полосовой фильтр и детекторы.

Постановка задачи

Дано:

1) X (t) = A (t)cosY(t) – узкополосный центрированный стационарный нормальный СП (на выходе ПФ),

2) .

Определить:

1) w (A) – одномерную плотность вероятности огибающей,

2) w (Y) – одномерную плотность вероятности фазы.

Для решения этой задачи наметим три этапа:

1. Переход к аналитическому СП  и определение совместной плотности вероятности .

2. Расчет совместной плотности вероятности  по вычисленной на первом этапе  и связям A (t), Y(t) с  (5.3) ÷ (5.6).

3. Определение одномерных плотностей вероятности w (A) и w (Y) по вычисленной совместной плотности вероятности .

Решение

1 этап. Найдем одномерную плотность вероятности  процесса . На основе линейности преобразования Гильберта  делаем вывод о том, что  – нормальный СП. Далее, учитывая, что , получаем , а следовательно

.

Таким образом, имеем

.

Докажем некоррелированность  в совпадающие моменты времени, т. е. что .

.

После подстановки , , , учитывая, что при , получим

.

Некоррелированность сечений нормальных процессов влечет их независимость, следовательно

.

2 этап. Расчет совместной плотности вероятности

,

где согласно (5.2), (5.5) и (5.6)

.

Следовательно, с учетом (5.3) имеем

.                (5.7)

3 этап. Определение одномерных плотностей вероятности

,

Окончательно

,                       (5.8)

.                        (5.9)

 

Выражение (5.8) известно как распределение Рэлея, его график приведен на рис. 5.8. На рис. 5.9 приведен график равномерного распределения фазы (5.9).

Выражение (5.7) можно представить в виде произведения (5.8) и (5.9)

,

из чего следует независимость огибающей A (t) и фазы w (Y) нормального СП.

Рассмотрим более сложную задачу прохождения аддитивной смеси выше рассмотренного нормального СП с гармоническим сигналом через АД и ФД. Постановка задачи сохраняется прежней за исключением исходного процесса Y (t), который приобретает вид

,

где X (t) – центрированный нормальный СП.

Поскольку

,

то

.

Запишем Y (t) в квазигармонической форме

и будем решать задачу определения плотностей вероятности w (A) и w (j) по выше приведенному плану.

Предварительно запишем X (t) в квазигармонической форме и через его квадратурные компоненты

.

Тогда

,

где

Отсюда

,                            (5.10)

(5.11)

Для нахождения  обратимся к аналитическому СП

.

Из его выражения видно, что  являются линейными преобразованиями центрированного нормального СП X (t):

и, следовательно, имеют нормальное распределение с дисперсиями

.

Докажем их некоррелированность (а следовательно и независимость) в совпадающие моменты времени

.

Здесь учтено, что B (t) и θ(t) – огибающая и фаза нормального СП являются, как выше установлено, независимыми.

Таким образом,

и с учетом (5.10) и (5.11) получаем

.                      (5.12)

Поскольку выражение (5.12) невозможно представить в виде произведения одномерных функций , то можно сделать вывод о зависимости процессов .

Для нахождения распределения огибающей суммы центрированного нормального СП с гармоническим сигналом проинтегрируем (5.12) по всем возможным значениям случайной фазы j(t)

.

Интеграл вида

известен в математике как модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. С его учетом окончательно имеем

.         (5.13)

Выражение (5.13) называют обобщенным распределением Рэлея или распределением Райса. Графики этого выражения приведены на рис. 5.10 для следующих частных случаев:

1) U = 0  – обычное распределение Рэлея,

2)  – случай отсутствия в Y (t) СП X (t),

3) – обобщенное распределение Рэлея (Райса).

 

Из графиков видно, что чем больше отношение сигнал/шум  тем правее смещен максимум плотности вероятности и тем симметричнее (ближе к нормальному распределению) кривая .

 

Выводы

1. Если мгновенные значения центрированного СП X (t) имеют нормальное распределение, то его огибающая A (t) распределена по закону Релея

,

а фаза Y(t) равномерно

.

2. Распределение огибающей аддитивной смеси центрированного нормального СП и гармонического сигнала подчиняется обобщенному распределению Рэлея (оно же распределение Райса)

.

 

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте задачу анализа прохождения СП через заданный функциональный узел.

2. Как вычисляют плотность вероятности w (y) реакции безынерционной цепи по известной плотности вероятности w (x) воздействия?

3. Как вычисляют математическое ожидание реакции безынерционной цепи на случайное воздействие X (t)?

4. Как вычисляют дисперсию реакции безынерционной цепи на случайное воздействие X (t)?

5. Как вычисляют функцию корреляции реакции безынерционной цепи на случайное воздействие X (t)?

6. Как вычисляют совместную плотность вероятности w (у ₁, у _2­; t) двух СП Y ₁(t) и Y ₂(t), связанных известными функциональными зависимостями  и  с двумя другими СП X ₁(t) и X ₂(t)?

7. Как меняется распределение нормального СП при его прохождении через линейную цепь?

8. Как меняется произвольное распределение СП при его прохождении через узкополосный фильтр?

9. В чем суть явления нормализации широкополосного процесса при его прохождении через узкополосный фильтр? Дайте математическое обоснование этому явлению.

10.  Опишите процедуру корреляционного анализа прохождения СП через линейную цепь.

11.  Дайте определение огибающей и фазы СП.

12.  Дайте определения аналитическому СП, его математическому ожиданию, дисперсии и функции корреляции.

13.  Каким условиям удовлетворяет стационарный аналитический СП?

14.  Каково распределение огибающей центрированного нормального СП?

15.  Каково распределение фазы центрированного нормального СП?

16.  Каково распределение огибающей суммы центрированного нормального СП и гармонического сигнала?

17.  Напишите аналитическое выражение закона Рэлея. Распределение какого СП он характеризует?

18.  Напишите аналитическое выражение обобщенного закона Рэлея (закона Райса). Распределение какого СП он характеризует?

 

Рекомендации по проведению экспериментальных исследований

 прохождения случайных процессов через различные ФУ

 

Для закрепления знаний, полученных при изучении данного раздела рекомендуется выполнить в рамках виртуальной лаборатории работу № 20 «Прохождение случайных процессов через различные функциональные узлы» в полном объеме (рис. 5.11).

Обратите внимание на характер распределения СП на выходах одностороннего и двустороннего ограничителей - реальное проявление d-функций в виде выбросов на гистограммах плотности вероятности распределения, соответствующих порогам ограничения. Убедитесь в нормализации СП с произвольными распределениями после их прохождения через ФНЧ и ПФ и в отсутствии нормализации после прохождения СП через ФВЧ (объясните почему?).

6. Оптимальный прием дискретных сообщений

Постановка задачи

Дано:

1. Источник дискретных сообщений. Это значит, что известен ансамбль передаваемых сообщений

, где m  – объем алфавита источника

   и их статистика (распределение вероятностей) .

2. Модулятор. Это значит, что известны правила преобразования каждого сообщения в непрерывный сигнал и длительность сигнала T

b_i ® s_i (t); i = 1, 2,…, m; t Î (0, T).

3. Непрерывный канал. Канал задается своей математической моделью, описывающей связь его реакции Z (t) с воздействием s_i (t) и канальными помехами N (t), например

4. Тактовая синхронизация осуществляется идеально. Вопросы синхронизации не рассматриваются в рамках курса ТЭС, поэтому здесь и в дальнейшем всегда будем считать, что границы между сигналами s_i (t) в приемнике определяются точно, иначе говоря, в нем осуществляется дискретизация времени функцией d(t - kT), при которой границы тактов совпадают с границами сигналов.

Требуется:

Определить правило решения (решающую схему) вида

,

т.е. указать, каким образом на основе анализа принятой реализации z (t) СП Z (t) на каждом интервале Т следует принимать решение  о переданном символе b_i (при j = i имеет место правильный прием, иначе (при j ≠ i) – ошибочный).

Дадим геометрическую трактовку этой постановке задачи (рис. 6.1). Совокупность всех возможных реализаций z (t) образует пространство принимаемых колебаний (обычно бесконечномерное пространство Гильберта L ₂(T)) в котором присутствуют m различных векторов  передаваемых сигналов s_i (t) (i = 1, 2,…, m). Выбор правила решения таким образом сводится к разбиению этого пространства на m непересекающихся областей , каждая из которых соответствует принятию решения о передаче конкретного сообщения b_i (сигналом s_i (t)). На рис. 6.1. показаны две ситуации: 1) конец вектора колебания  попадает в область  отведенную под решение о передаче сообщения b_k сигналом s_k (t), что соответствует правильному приему; 2) конец вектора колебания  попадает в область , отведенную под решение о передаче сообщения b_j сигналом s_j (t), что соответствует ошибочному приему.

 Разные правила решения (разные приемные устройства) различаются способом разбиения пространства принимаемых колебаний на области . В этой связи возникает задача наилучшего разбиения, которое, очевидно, всегда существует в определенном смысле. Например, если сообщение b_i передается чаще сообщения b_j и важно, чтобы как можно меньше передаваемых символов принимались ошибочно, то следует область  расширить за счет области . Наилучшее разбиение пространства принимаемых сигналов (оптимизация решающей схемы) может быть найдено на основе критерия качества приема, разработка которого требует отдельного рассмотрения на основе теории статистический решений.

В такой постановке задача приема дискретных сообщений в канале с аддитивной, нормальной помехой была решена В.А. Котельниковым (1946 г.), заложившим основы теории потенциальной помехоустойчивости. Приемник, реализующий наилучшее разбиение пространства принимаемых сигналов по выбранному критерию качества приема, Котельников назвал идеальным, а достигаемую им помехоустойчивость, при которой обеспечивается максимум средней вероятности правильного приема при заданной модуляции, –­­­ потенциальной помехоустойчивостью. Мы будем в дальнейшем такой идеальный приемник называть оптимальным демодулятором, как это часто принято в современной теории связи.

Теория потенциальной помехоустойчивости конструктивна, т.к. позволяет не только определить пределы достигаемой помехоустойчивости, но и указывает пути реализации соответствующих демодуляторов.