Тема 4. Інтегральне перетворення Фур’є

Лекція 4

Тема 4. Інтегральне перетворення Фур’є

Пряме перетворення. Зворотне перетворення. Властивості інтегрального перетворення Фур'є.

 

На минулій лекції та лабораторній роботі ми розглядали розкладання періодичних сигналів в ряд Фур’є. Метод рядів Фур’є може бути узагальнений і на випадок неперіодичних сигналів. Для цього згадаємо вигляд комплексної форми представлення ряду Фур'є

Коефіцієнти  обчислюються за формулою 

° .

 

Використаємо цю форму ряду Фур’є для отримання спектрального представлення неперіодичного сигналу.

Нехай аналізований сигнал s (t) є імпульсним сигналом обмеженої тривалості. Якщо уявно доповнити цей сигнал послідовністю таких самих сигналів з періодом Т, тоді такий сигнал може бути представлений рядом Фур’є   

                                                         (1)

з коефіцієнтами .                                                                      (2)

Для повернення до одиночного імпульсу слід спрямувати період Т цієї послідовності до нескінченності при цьому матимемо:

1. Частоти сусідніх гармонік  і  будуть скільки завгодно близькими, тому у попередніх двох формулах дискретну змінну  можна змінити на неперервну  - поточну частоту, а значення частоти .

2. Амплітудні коефіцієнти  стануть необмежено малими, оскільки у знаменнику (2) є нескінченно велике значення  періоду Т.

Запишемо ряд (1) для цього випадку

,

 

тут ураховано, що . Таким чином ми отримали подвійний інтеграл.

Внутрішній інтеграл є спектральною густиною сигналу s (t), яка обчислюється за допомогою перетворення Фур’є:

                                                                   .                                              (3)

Також з цього граничного представлення сигналу s (t) маємо й зворотне перетворення Фур’є для цього сигналу

                                                                   .                         (4)

Якщо використовувати не кругову частоту ω, а звичайну циклічну частоту f, формули прямого і зворотного перетворення Фур'є стають ще більш симетричними, відрізняючись лише знаком у показнику експоненти.

Як ми вже згадували на першій лекції, спектральну густину можна представити через її модуль і аргумент:

Модуль і аргумент спектральної густини визначають відповідно за формулами:

, θ(ω) = arg S (ω)=  ,

де A(ω)=  та  B(ω) .

 

Прямокутний імпульс

Почнемо з прямокутного імпульсу, що центрується відносно початку відліку часу (рис. 1):

               Рис. 1. Прямокутний імпульс

Рис. 2. Спектральна густина прямокутного відеоімпульсу

з параметрами: τ=π с; A =5 В

При побудові графіка , ,

Обчислюємо спектральну функцію:

.

 Остаточно маємо

                                                       .                                        (5)

Як бачите, спектр є функцією виду sіn(х)/х (рис. 2). Амплітудний спектр має пелюстковий характер, і ширина пелюсток рівна 2π/τ, тобто зворотно пропорційна тривалості імпульсу. Значення спектральної густини на нульовій частоті дорівнює площі імпульсу - А τ. Спектральна функція є дійсною, тому фазовий спектр набуває лише два значення - 0 і π, залежно від знаку функції sіn(х)/х. Значення фази π і –π невиразні, різні знаки для фазового спектру при ω > 0 і ω < 0 використані лише з метою представити його у вигляді непарної функції.

Тепер подивимося, що зміниться після зміщення імпульсу в часі. Нехай імпульс починається в нульовий момент часу (рис. 3):

Рис. 3. Прямокутний імпульс із затримкою у часі

 

Обчислимо перетворення Фур’є і побудуємо графіки амплітудного і фазового спектрів (рис. 4), ураховуючи, що sin x = (e ^jx - e^{- jx})/2 j.

.(6)

Цей приклад демонструє прояв властивості перетворення Фур’є, що стосується зміни спектру при зміщенні сигналу в часі. Ця властивість в загальному вигляді буде розглянута далі, в розділі "властивості перетворення Фур’є".

 

 

 

 

Рис. 4. Амплітудний і фазовий спектри прямокутного імпульсу із затримкою

 

З формули (6) і графіків (рис. 4) видно, що після зміщення імпульсу в часі його амплітудний спектр залишився тим самим, а фазовий отримав лінійно залежний від частоти зсув.

Строго кажучи, спектр цього сигналу тягнеться до нескінченності, лише поступово затухаючи. Тому вводять поняття ефективної ширини спектру. Як видно з графіків, спектр має пелюстковий характер і ширина головного пелюстка дорівнює 2π/τ. При пелюстковому характері спектру за ефективну ширину спектру можна прийняти ширину головного пелюстка. З графіків видно, що вона складає 2π/τ, тобто зворотно пропорційна тривалості імпульсу. Це загальне співвідношення: чим коротше сигнал, тим ширше його спектр. Добуток же ефективних значень тривалості сигналу і ширини його спектру (він має назву бази сигналу) залишається рівним деякій константі, залежній від конкретного способу визначення цих параметрів. У нашому прикладі цей добуток, очевидно, дорівнює 2π. Взагалі, для сигналів простої форми (що не мають складної внутрішньоімпульсної структури) величина бази незалежно від способу визначення ефективних значень тривалості і ширини спектру складає декілька одиниць.

Тривалість сигналу і ширина його спектру підкоряються співвідношенню невизначеності, тобто добуток цих параметрів (база сигналу) не може бути меншим за одиницю. Обмежень максимального значення бази сигналу не існує. Звідси витікає, що можна сформувати сигнал великої тривалості, що одночасно має і широкий спектр (такі сигнали називають широкосмуговими, або складними, або сигналами з великою базою). А ось короткий сигнал з вузьким спектром, згідно із співвідношенням невизначеності, існувати не може.

Лінійність

Перетворення Фур'є є лінійним інтегральним перетворенням. Сенс властивості лінійності можна сформулювати так: спектр суми дорівнює сумі спектрів. Говорячи математичною мовою, лінійна комбінація сигналів має спектр у вигляді такої ж (з тими ж коефіцієнтами) лінійної комбінації їх спектральних функцій (густин):

якщо s (t) = α f (t) +β g (t), тоді S (ω) = α F (ω) + β G (ω). 

 

Затримка

А тепер подивимося, як позначається на спектральній функції затримка сигналу в часі. Отже, нехай τ - час затримки: якщо s (t) = f (t - τ) тоді спектральна функція зміниться таким чином:

.

 

 

Результат показує, що спектр вихідного сигналу виявився помноженим на комплексну експоненту виду . Таким чином, амплітудний спектр сигналу не змінюється (оскільки модуль такої комплексної експоненти дорівнює 1; до того ж здоровий глузд підказує, що співвідношення між амплітудами спектральних складових із-за зсуву сигналу в часі змінитися не повинно). Фазовий спектр набуває додаткового доданку , який лінійно залежить від частоти.

 

ЗАУВАЖЕННЯ

Якщо в результаті якого-небудь перетворення сигналу його спектр множитися на деяку не залежну від перетворюваного сигналу функцію, це означає, що таке перетворення може бути виконане лінійною системою з постійними параметрами. Мова про системи цього класу піде на наступних заняттях.

 

Зміна масштабу осі часу

Розглядаючи конкретні приклади, ми вже вказали загальне на практиці правило: чим коротше сигнал, тим ширше його спектр. Тепер поглянемо та це правило з боку строгих теоретичних позицій. Якщо змінити тривалість сигналу f (t), зберігаючи його форму, то новий сигнал s (t) слід записати як s (t) =f (at).

При  сигнал стискується, при  - розтягується, якщо , додатково відбувається дзеркальне відображення сигналу відносно вертикальної осі. Подивимося, як таке перетворення позначається на спектрі:

.

Отже, зміна тривалості сигналу призводить до зміни ширини спектру в протилежний бік (аргумент t на а множиться, а ω - ділиться) у сполученні із збільшенням (при розтягуванні, а < 1) або зменшенням (при стискуванні, а > 1) рівня спектральних складових.

Отримана формула справедлива для а > 0. При а < 0 використана заміна змінної t на а t викличе перестановку меж інтегрування і, як наслідок, зміну знаку у результаті:

, а < 0.

Об'єднуючи обидва випадки, можна записати

У окремому випадку а =-1 формула дає наступне:

.

Отже, дзеркальне відображення сигналу відносно початку відліку часу призводить до дзеркального відображення спектру відносно нульової частоти. Для дійсного сигналу це відповідає комплексному сполученню спектру.

 

ЗАУВАЖЕННЯ

В даному випадку результат не зводиться до множення вихідного спектру на деяку функцію. У відповідності з попереднім зауваженням це означає, що зміна тривалості сигналу не може бути здійснена лінійною системою з постійними параметрами.

Диференціювання сигналу

 

Подивимося, як впливає на спектр диференціювання сигналу в часовій області. Для цього нам доведеться скористатися визначенням поняття похідної:

 

.

 

Застосуємо до цього виразу перетворення Фур’є:

.

Спектр похідної обчислюється множенням спектру вихідного сигналу на j ω. Таким чином, при диференціюванні низькі частоти ослабляються, а високі посилюються. Фазовий спектр сигналу зсувається на 90° для позитивних частот і на - 90° для негативних. Множник j ω називають оператором диференціювання сигналу в частотній області.

Звідки випливає Теорема множення сигналу на t:

Інтегрування сигналу

Інтегрування, як відомо, є операцією, зворотною до диференціювання. Тому, виходячи з результатів, отриманих в попередньому розділі, здавалося б, можна очікувати наступний результат:

 

.

 

Проте усе не так просто. Детальний аналіз, виконаний, наприклад, в [1], показує, що ця формула справедлива лише для сигналів, що не містять постійної складової, у яких

.

В загальному ж випадку результат повинен містити також доданок у вигляді дельта-функції на нульовій частоті. Множник перед дельта-функцією пропорційний постійній складовій сигналу

.

Отже, при інтегруванні вихідного сигналу високі частоти ослабляються, а низькі посилюються. Фазовий спектр сигналу зміщується на - 90° для позитивних частот і на 90° для негативних. Множник 1/(j ω) називають оператором інтегрування в частотній області.

 

6. Спектр згортки сигналів

Згортка сигналів є дуже часто використовуваною в радіотехніці інтегральною операцією, оскільки вона описує, зокрема, проходження сигналу через лінійну систему з постійними параметрами (детальніше це обговорюватиметься в розділі 6):

Піддамо таку конструкцію перетворенню Фур'є:

Отриманий результат дуже важливий, він часто використовується на практиці: спектр згортки дорівнює добутку спектрів.

У випадку, коли сигнал  можна кожну з цих функцій представити їх зворотними перетвореннями Фур’є від відповідних спектральних густин кожного з сигналів

,

і отримати наступне співвідношення

 

Інтеграл у квадратних дужках по змінній t є спектральною густиною функції  при частоті , тобто , звідки маємо

.

Таким чином, спектр добутку двох функцій часу  дорівнює (з коефіцієнтом 1/2π) згортці їх спектрів  і , де

або інакше

.

Неважко переконатися, що операція згортки комутативна

.

 

Дельта-функція

Передусім обчислимо перетворення Фур'є для сигналу у вигляді дельта-функції (про її властивості йшла мова в розділі "Класифікація сигналів", і її фільтрувальна властивість (1.1) зараз нам знадобиться):

.

Спектр дельта-функції є константою, тобто є рівномірним в нескінченній смузі частот.

Це цілком узгоджується із загальним співвідношенням між тривалістю сигналу і шириною його спектру: дельта-імпульс має нескінченно малу тривалість, а його спектр нескінченно широкий. З отриманого результату виходить, що дельта-функцію можна записати у вигляді зворотного перетворення Фур'є таким чином

.

Це корисне співвідношення використаємо при аналізі наступного сигналу.

 

Постійний за часом сигнал (константа)

Оскільки ми вже знаємо, що спектром дельта-функції є константа, завдяки дуальності перетворення Фур'є, можна відразу ж сказати, що спектром константи (s (t) = А) буде дельта-функція частоти. Перевіримо це, скориставшись тільки що отриманим співвідношенням:

Наші припущення повністю підтвердилися. Тут знову добре простежується зворотна пропорційність між тривалістю сигналу і шириною його спектру: нескінченно протяжний сигнал має нескінченно вузький спектр.

 

Функція одиничного стрибка

Функція одиничного стрибка (див. розділ "Класифікація сигналів") є інтегралом від дельта-функції, тому, відповідно до властивостей перетворення Фур'є, ми отримаємо

.

Оскільки функція  має ненульову (рівну 1) постійну складову, то в повній відповідності з формулою

приведеною для даного випадку в розділі 5 "Властивостей перетворення Фур'є", в спектрі з'являється додатковий доданок у вигляді дельта-функції на нульовій частоті.

 

Гармонійний сигнал

Розрахуємо спектр гармонійного сигналу загального вигляду: .

Помножимо вихідний сигнал f (t), спектр якого нам відомий, на гармонійну функцію:  і  подивимося, що сталося із спектром сигналу:

.

Для розрахунку спектральної функції представимо косинус у вигляді півсуми комплексних експонент і скористаємося формулою :

Результат, як бачимо, є парою дельта-функцій, розташованих на частотах ±ω₀. Множники при них відбивають амплітуду і початкову фазу (тобто комплектую амплітуду) гармонійного сигналу.

 

ЗАУВАЖЕННЯ          

Той же результат можна було б отримати, застосувавши до спектру постійного за часом сигналу властивість перетворення Фур'є, що стосується множення сигналу на гармонічну функцію.

 

Комплексна експонента

Цей сигнал, на відміну від попередніх, є уявним:

.

Результат обчислення його спектру легко передбачити: тільки що розглянутий гармонійний сигнал дав спектральну функцію у вигляді двох дельта-функцій, а косинус за допомогою формули Ейлера можна представити у вигляді півсуми двох комплексних експонент. Тому, спектром комплексної експоненти повинна бути поодинока дельта-функція

.

Результат, як бачите, відповідає очікуванню. Зверніть увагу на те, що оскільки сигнал не є дійсним, його спектр втрачає властивість симетрії.

На перший погляд, користь від розгляду комплексних сигналів невелика. Однак вони виявляються дуже зручним засобом для аналізу модульованих сигналів, особливо коли у них одночасно міняються і амплітуда, і початкова фаза.

ЛІТЕРАТУРА

1. Цифровая обработка сигналов / А. Б. Сергиенко — СПб.: Питер, 2002. — 608 с: ил.. (Электронный ресурс)/

2. Волощук Ю.І. Сигнали та процеси в радіотехніці том. 1-4. - Харків: «СМІТ», 2003.

3. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Радио и связь, 1986. – 512 с. 43. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: «Высшая школа» 2003. 5. Сато Ю. Обработка сигналов. Первое знакомство. – ОΔЕКА, 1999. – 175 с.

 

Лекція 4

Тема 4. Інтегральне перетворення Фур’є