Множення сигналу на гармонійну функцію

Помножимо вихідний сигнал f (t), спектр якого нам відомий, на гармонійну функцію:  і  подивимося, що сталося із спектром сигналу:

.

 

Як бачите, спектр "роздвоївся" - розпався на два доданки удвічі меншого рівня (множник 1/2), зміщених на  праворуч  і ліворуч  по осі частот. Крім того, при кожному доданку є множник, що враховує початкову фазу гармонійного коливання. З практичним застосуванням цієї властивості ми вже певною мірою стикалися на лабораторній роботі і ще матимемо справу при обговоренні властивостей сигналів з амплітудною модуляцією.   

 

Зв'язок перетворення Фур'є і коефіцієнтів ряду Фур'є

Нехай s (t) - сигнал кінцевої тривалості, а S (ω) - його спектральна густина. Отримаємо на основі s (t) періодичний сигнал, узявши період повторення Т не менше тривалості сигналу: s_Т (t) = s (t-kT).

З порівняння формул для розрахунку перетворення Фур'є сигналу s (t)

 і

 для розрахунку коефіцієнтів ряду Фур'є сигналу s_T (t), можна помітити, що ці формули передбачають обчислення одного і того ж інтегралу. Відмінність полягає в тому, що для розрахунку коефіцієнтів ряду Фур'є в підінтегральний вираз підставляються не довільні, а дискретні значення частоти ω _k =2π k / T і, крім того, результат інтегрування ділиться на період сигналу T. Таким чином, між спектральною функцією  поодинокого імпульсу і коефіцієнтами  ряду Фур'є для періодичної послідовності таких імпульсів існує простий зв'язок:

ЗАУВАЖЕННЯ

Ця формула справедлива і у тому випадку, якщо період повторення імпульсів менше їх тривалості (тобто якщо сусідні імпульси періодичної послідовності перекриваються).

Далі розглянемо приклади Фур'є-аналізу неінтегрованих сигналів.

 

Фур'є-аналіз неінтегрованих сигналів

При введенні поняття перетворення Фур'є були вказані умови його застосовності: виконання умов Діріхле і абсолютна інтегрованість сигналу. Проте у ряді випадків можна застосувати перетворення Фур'є і до сигналів, що цим умовам не задовольняють, і отримати при цьому цілком осмислений і практично корисний результат.

Отже, зараз ми скористаємося перетворенням Фур'є для спектрального аналізу таких сигналів, до яких воно формально непридатне.

Дельта-функція

Передусім обчислимо перетворення Фур'є для сигналу у вигляді дельта-функції (про її властивості йшла мова в розділі "Класифікація сигналів", і її фільтрувальна властивість (1.1) зараз нам знадобиться):

.

Спектр дельта-функції є константою, тобто є рівномірним в нескінченній смузі частот.

Це цілком узгоджується із загальним співвідношенням між тривалістю сигналу і шириною його спектру: дельта-імпульс має нескінченно малу тривалість, а його спектр нескінченно широкий. З отриманого результату виходить, що дельта-функцію можна записати у вигляді зворотного перетворення Фур'є таким чином

.

Це корисне співвідношення використаємо при аналізі наступного сигналу.

 

Постійний за часом сигнал (константа)

Оскільки ми вже знаємо, що спектром дельта-функції є константа, завдяки дуальності перетворення Фур'є, можна відразу ж сказати, що спектром константи (s (t) = А) буде дельта-функція частоти. Перевіримо це, скориставшись тільки що отриманим співвідношенням:

Наші припущення повністю підтвердилися. Тут знову добре простежується зворотна пропорційність між тривалістю сигналу і шириною його спектру: нескінченно протяжний сигнал має нескінченно вузький спектр.

 

Функція одиничного стрибка

Функція одиничного стрибка (див. розділ "Класифікація сигналів") є інтегралом від дельта-функції, тому, відповідно до властивостей перетворення Фур'є, ми отримаємо

.

Оскільки функція  має ненульову (рівну 1) постійну складову, то в повній відповідності з формулою

приведеною для даного випадку в розділі 5 "Властивостей перетворення Фур'є", в спектрі з'являється додатковий доданок у вигляді дельта-функції на нульовій частоті.

 

Гармонійний сигнал

Розрахуємо спектр гармонійного сигналу загального вигляду: .

Помножимо вихідний сигнал f (t), спектр якого нам відомий, на гармонійну функцію:  і  подивимося, що сталося із спектром сигналу:

.

Для розрахунку спектральної функції представимо косинус у вигляді півсуми комплексних експонент і скористаємося формулою :

Результат, як бачимо, є парою дельта-функцій, розташованих на частотах ±ω₀. Множники при них відбивають амплітуду і початкову фазу (тобто комплектую амплітуду) гармонійного сигналу.

 

ЗАУВАЖЕННЯ          

Той же результат можна було б отримати, застосувавши до спектру постійного за часом сигналу властивість перетворення Фур'є, що стосується множення сигналу на гармонічну функцію.

 

Комплексна експонента

Цей сигнал, на відміну від попередніх, є уявним:

.

Результат обчислення його спектру легко передбачити: тільки що розглянутий гармонійний сигнал дав спектральну функцію у вигляді двох дельта-функцій, а косинус за допомогою формули Ейлера можна представити у вигляді півсуми двох комплексних експонент. Тому, спектром комплексної експоненти повинна бути поодинока дельта-функція

.

Результат, як бачите, відповідає очікуванню. Зверніть увагу на те, що оскільки сигнал не є дійсним, його спектр втрачає властивість симетрії.

На перший погляд, користь від розгляду комплексних сигналів невелика. Однак вони виявляються дуже зручним засобом для аналізу модульованих сигналів, особливо коли у них одночасно міняються і амплітуда, і початкова фаза.