Умови існування спектральної густини сигналу.

Для існування спектральної густини сигналу s (t) (3), , як це доведено в математиці, необхідне виконання двох умов:

1) на будь-якому кінцевому інтервалі функція s (t) повинна задовольняти умовам Діріхле;

2) функція s (t) абсолютно інтегрована на усій числовій осі, тобто

Остання умова значно звужує клас допустимих сигналів. Наприклад, гармонійний сигнал, який існує на нескінченній осі часу не є абсолютно інтегрованим. Однак, завдяки застосуванню узагальнених функцій (Хевісайда, Дірака), також вдається обчислювати спектральні густини неінтегрованих сигналів, в тому числі періодичних сигналів, що буде застосовуватись нами в подальшому.

Якщо аналізований сигнал s (t) - дійсна функція, то відповідна йому спектральна густина (функція) S (ω) є "спряжено-симетричною" відносно нульової частоти. Це означає, що значення спектральної густини (функції) на частотах ω і – ω із є комплексно-спряженими по відношенню один до одного:

S (- ω) = S * (ω).

Якщо s (t) - парна функція, то, як і у разі ряду Фур'є, спектр буде чисто дійсним (і, отже, буде парною функцією). Якщо, навпаки, s (t) - функція непарна, то спектральна функція S (ω) буде чисто уявною (і непарною).

Модуль спектральної функції часто називають амплітудним спектром, а її аргумент - фазовим спектром. Легко показати, що для дійсного сигналу амплітудний спектр є парним, а фазовий - непарною функцією частоти:

| S (- ω) |=| S (ω) |,θ(- ω) = -θ(ω).

Отже, перетворення Фур'є (3) ставить у відповідність сигналу, заданому в часі, його спектральну функцію (густину). При цьому здійснюється перехід з часової області в частотну. Перетворення Фур'є є взаємно-однозначним, тому представлення сигналу в частотній області (спектральна функція) містить рівно стільки ж інформації, скільки і вихідний сигнал, заданий в часовій області.

 

Розглянемо приклади розрахунку перетворення Фур'є для деяких сигналів, що часто зустрічаються при рішенні різних задач.

 

Прямокутний імпульс

Почнемо з прямокутного імпульсу, що центрується відносно початку відліку часу (рис. 1):

               Рис. 1. Прямокутний імпульс

Рис. 2. Спектральна густина прямокутного відеоімпульсу

з параметрами: τ=π с; A =5 В

При побудові графіка , ,

Обчислюємо спектральну функцію:

.

 Остаточно маємо

                                                       .                                        (5)

Як бачите, спектр є функцією виду sіn(х)/х (рис. 2). Амплітудний спектр має пелюстковий характер, і ширина пелюсток рівна 2π/τ, тобто зворотно пропорційна тривалості імпульсу. Значення спектральної густини на нульовій частоті дорівнює площі імпульсу - А τ. Спектральна функція є дійсною, тому фазовий спектр набуває лише два значення - 0 і π, залежно від знаку функції sіn(х)/х. Значення фази π і –π невиразні, різні знаки для фазового спектру при ω > 0 і ω < 0 використані лише з метою представити його у вигляді непарної функції.

Тепер подивимося, що зміниться після зміщення імпульсу в часі. Нехай імпульс починається в нульовий момент часу (рис. 3):

Рис. 3. Прямокутний імпульс із затримкою у часі

 

Обчислимо перетворення Фур’є і побудуємо графіки амплітудного і фазового спектрів (рис. 4), ураховуючи, що sin x = (e ^jx - e^{- jx})/2 j.

.(6)

Цей приклад демонструє прояв властивості перетворення Фур’є, що стосується зміни спектру при зміщенні сигналу в часі. Ця властивість в загальному вигляді буде розглянута далі, в розділі "властивості перетворення Фур’є".

 

 

 

 

Рис. 4. Амплітудний і фазовий спектри прямокутного імпульсу із затримкою

 

З формули (6) і графіків (рис. 4) видно, що після зміщення імпульсу в часі його амплітудний спектр залишився тим самим, а фазовий отримав лінійно залежний від частоти зсув.

Строго кажучи, спектр цього сигналу тягнеться до нескінченності, лише поступово затухаючи. Тому вводять поняття ефективної ширини спектру. Як видно з графіків, спектр має пелюстковий характер і ширина головного пелюстка дорівнює 2π/τ. При пелюстковому характері спектру за ефективну ширину спектру можна прийняти ширину головного пелюстка. З графіків видно, що вона складає 2π/τ, тобто зворотно пропорційна тривалості імпульсу. Це загальне співвідношення: чим коротше сигнал, тим ширше його спектр. Добуток же ефективних значень тривалості сигналу і ширини його спектру (він має назву бази сигналу) залишається рівним деякій константі, залежній від конкретного способу визначення цих параметрів. У нашому прикладі цей добуток, очевидно, дорівнює 2π. Взагалі, для сигналів простої форми (що не мають складної внутрішньоімпульсної структури) величина бази незалежно від способу визначення ефективних значень тривалості і ширини спектру складає декілька одиниць.

Тривалість сигналу і ширина його спектру підкоряються співвідношенню невизначеності, тобто добуток цих параметрів (база сигналу) не може бути меншим за одиницю. Обмежень максимального значення бази сигналу не існує. Звідси витікає, що можна сформувати сигнал великої тривалості, що одночасно має і широкий спектр (такі сигнали називають широкосмуговими, або складними, або сигналами з великою базою). А ось короткий сигнал з вузьким спектром, згідно із співвідношенням невизначеності, існувати не може.