Властивості перетворення Фур'є

Під властивостями перетворення Фур'є розуміється взаємна відповідність трансформацій сигналів і їх спектрів. Добре знання властивостей перетворення Фур'є дозволяє передбачати приблизний (а іноді і точний) вид спектру аналізованого сигналу і таким чином контролювати правдоподібність результату, що видається при обчисленнях на комп'ютері.

У цьому розділі ми розглядатимемо два абстрактні сигнали, f (t) і g (t), і вважати, що їх спектральні функції рівні F (ω) і G (ω).

 

Лінійність

Перетворення Фур'є є лінійним інтегральним перетворенням. Сенс властивості лінійності можна сформулювати так: спектр суми дорівнює сумі спектрів. Говорячи математичною мовою, лінійна комбінація сигналів має спектр у вигляді такої ж (з тими ж коефіцієнтами) лінійної комбінації їх спектральних функцій (густин):

якщо s (t) = α f (t) +β g (t), тоді S (ω) = α F (ω) + β G (ω). 

 

Затримка

А тепер подивимося, як позначається на спектральній функції затримка сигналу в часі. Отже, нехай τ - час затримки: якщо s (t) = f (t - τ) тоді спектральна функція зміниться таким чином:

.

 

 

Результат показує, що спектр вихідного сигналу виявився помноженим на комплексну експоненту виду . Таким чином, амплітудний спектр сигналу не змінюється (оскільки модуль такої комплексної експоненти дорівнює 1; до того ж здоровий глузд підказує, що співвідношення між амплітудами спектральних складових із-за зсуву сигналу в часі змінитися не повинно). Фазовий спектр набуває додаткового доданку , який лінійно залежить від частоти.

 

ЗАУВАЖЕННЯ

Якщо в результаті якого-небудь перетворення сигналу його спектр множитися на деяку не залежну від перетворюваного сигналу функцію, це означає, що таке перетворення може бути виконане лінійною системою з постійними параметрами. Мова про системи цього класу піде на наступних заняттях.

 

Зміна масштабу осі часу

Розглядаючи конкретні приклади, ми вже вказали загальне на практиці правило: чим коротше сигнал, тим ширше його спектр. Тепер поглянемо та це правило з боку строгих теоретичних позицій. Якщо змінити тривалість сигналу f (t), зберігаючи його форму, то новий сигнал s (t) слід записати як s (t) =f (at).

При  сигнал стискується, при  - розтягується, якщо , додатково відбувається дзеркальне відображення сигналу відносно вертикальної осі. Подивимося, як таке перетворення позначається на спектрі:

.

Отже, зміна тривалості сигналу призводить до зміни ширини спектру в протилежний бік (аргумент t на а множиться, а ω - ділиться) у сполученні із збільшенням (при розтягуванні, а < 1) або зменшенням (при стискуванні, а > 1) рівня спектральних складових.

Отримана формула справедлива для а > 0. При а < 0 використана заміна змінної t на а t викличе перестановку меж інтегрування і, як наслідок, зміну знаку у результаті:

, а < 0.

Об'єднуючи обидва випадки, можна записати

У окремому випадку а =-1 формула дає наступне:

.

Отже, дзеркальне відображення сигналу відносно початку відліку часу призводить до дзеркального відображення спектру відносно нульової частоти. Для дійсного сигналу це відповідає комплексному сполученню спектру.

 

ЗАУВАЖЕННЯ

В даному випадку результат не зводиться до множення вихідного спектру на деяку функцію. У відповідності з попереднім зауваженням це означає, що зміна тривалості сигналу не може бути здійснена лінійною системою з постійними параметрами.

Диференціювання сигналу

 

Подивимося, як впливає на спектр диференціювання сигналу в часовій області. Для цього нам доведеться скористатися визначенням поняття похідної:

 

.

 

Застосуємо до цього виразу перетворення Фур’є:

.

Спектр похідної обчислюється множенням спектру вихідного сигналу на j ω. Таким чином, при диференціюванні низькі частоти ослабляються, а високі посилюються. Фазовий спектр сигналу зсувається на 90° для позитивних частот і на - 90° для негативних. Множник j ω називають оператором диференціювання сигналу в частотній області.

Звідки випливає Теорема множення сигналу на t:

Інтегрування сигналу

Інтегрування, як відомо, є операцією, зворотною до диференціювання. Тому, виходячи з результатів, отриманих в попередньому розділі, здавалося б, можна очікувати наступний результат:

 

.

 

Проте усе не так просто. Детальний аналіз, виконаний, наприклад, в [1], показує, що ця формула справедлива лише для сигналів, що не містять постійної складової, у яких

.

В загальному ж випадку результат повинен містити також доданок у вигляді дельта-функції на нульовій частоті. Множник перед дельта-функцією пропорційний постійній складовій сигналу

.

Отже, при інтегруванні вихідного сигналу високі частоти ослабляються, а низькі посилюються. Фазовий спектр сигналу зміщується на - 90° для позитивних частот і на 90° для негативних. Множник 1/(j ω) називають оператором інтегрування в частотній області.

 

6. Спектр згортки сигналів

Згортка сигналів є дуже часто використовуваною в радіотехніці інтегральною операцією, оскільки вона описує, зокрема, проходження сигналу через лінійну систему з постійними параметрами (детальніше це обговорюватиметься в розділі 6):

Піддамо таку конструкцію перетворенню Фур'є:

Отриманий результат дуже важливий, він часто використовується на практиці: спектр згортки дорівнює добутку спектрів.

У випадку, коли сигнал  можна кожну з цих функцій представити їх зворотними перетвореннями Фур’є від відповідних спектральних густин кожного з сигналів

,

і отримати наступне співвідношення

 

Інтеграл у квадратних дужках по змінній t є спектральною густиною функції  при частоті , тобто , звідки маємо

.

Таким чином, спектр добутку двох функцій часу  дорівнює (з коефіцієнтом 1/2π) згортці їх спектрів  і , де

або інакше

.

Неважко переконатися, що операція згортки комутативна

.