Спектральний аналіз оцінки технічного стану електронної апаратури

План лекції

 

1. Аналітичне представлення гармонійних функцій.

2. Класифікаційний аналіз рядів Фур’є.

3. Практичне застосування методу спектрального аналізу.

 

На практиці для оцінки технічного стану блоків ЕА часто використовують метод, який базується на теорії швидких перетворень Фур’є. Розглянемо більш детально зазначений метод. Періодична функція може бути представлена у вигляді

                      (1)

 - будь-яке ціле число позитивне чи від’ємне,  - будь-яка змінна величина, яка характеризує функцію.

Хвиля напруги, яка вимірюється при оцінці технічного стану може бути, як функція , графічно представлена на рис.1

 

Рис.1. Графік періодичної функції

 

Аналітично графічну залежність на рис.1 можна представити

,                    (2)

де  - амплітуда,  - циклічна частота,  - довжина хвилі (період),  - фазовий здвиг. Як видно із (2) маємо періодичну функцію. Як відомо, любу періодичну функцію  можливо аналітично представити у вигляді суми деякого постійного члену і графічно у вигляді елементарних хвиль сигналу, а саме:

,             (3)

або у вигляді еквівалентного рівняння:

,     (4)

де  - середнє значення періодичної функції для всіх точок періоду ,.

                                  (5)

Тригонометричні ряди (3) і (4) будуть відповідати властивостям періодичності функцій лише у тому випадку, якщо циклічні частоти  є кратними першій частоті , тобто:  і т.д.

Враховуючи викладене, ряди (3) і (4) можна записати у вигляді:

;               (6)

. (7)

Ряди у вигляді (6) і (7) забезпечують приблизний розрахунок значень періодичної функції . Для визначення похибки розрахунків за формулами (6) і (7) застосовується метод оцінки найменшої середньоквадратичної похибка ().

Така похибка буде мінімальною , якщо в якості коефіцієнтів  будуть застосовані коефіцієнти Фур’є, які можуть бути представлені наступним чином:

                (8)

Нескінченний тригонометричний ряд (7) при , в якому параметри  представлені коефіцієнтами Фур’є називається рядом Фур’є. Періодична функція  може бути розкладена в ряд Фур’є у тому випадку, якщо її властивості гармонійності відповідають умовам Дирихле. Якщо з практичної точки зору розглядати періодичний сигнал  (рис.1), як періодичну функцію , для якої достеменно виконуються умови Дирихле, то для ряду Фур’є цієї функції наявність властивості сходимості очевидна. Зазначимо, що для досягнення мінімуму середньоквадратичної похибки  при розрахунках достатньо розрахувати значення декількох перших членів цього ряду.

Враховуючи викладений теоретичний матеріал, проілюструємо його практичне застосування.

При проведенні процесу діагностування деякого блоку електронного обладнання, в якому спостерігається відмова ФЕ, контрольний параметр представлений у вигляді сигналу .

В такому випадку початковий контрольований сигнал може бути розкладений на окремі гармоніки вигляду  або функції

.                  (9)

Процес класифікації функції на окремі гармоніки, сума значень яких визначається членами ряду Фур’є, носить назву гармонічного або спектрального аналізу.

 

Рис.2. Графік зміни величини параметру контролю при наявності в блоці відмови ФЕ

Враховуючи, що функціонал (9) має період , а також враховуючи умову дотримання властивості частотної циклічності, частоту  для функції (9) вибирають із умови

.                            (10)

З чого очевидно, що , де  - ціле число.

Враховуючи викладене і на підставі рівняння (7), представимо функцію (9) у вигляді ряду:

,(11)

або в скороченому вигляді можна записати:

.    (12)

В результаті отримали нескінченний тригонометричний ряд при  з коефіцієнтами Фур’є .

Таким чином, функція (12) може бути розкладена в ряд Фур’є. Члени зазначеного ряду представляють собою прості гармонічні складові стаціонарного випадкового процесу.

Розглянемо метод застосування гармонійного (спектрального) аналізу для функції стаціонарного випадкового процесу, графічна інтерпретація якого представлена на рис.2.

Із експерименту відомо, що вигляд представленого контрольного сигналу характеризує відмову блоку регулювання напруги через причину відмови визначеної сукупності його ФЕ. Необхідно провести спектральний аналіз графічного представлення контрольного сигналу з метою виявлення ФЕ, який відмовив. Якщо такі елементи визначені, їх легко буде замінити, виконавши при цьому відповідні ремонтні роботи.

Для проведення аналізу, на осі  виділимо  точок через рівні проміжки  та побудуємо часовий ряд.

 

Таблиця 1.

Часовий ряд значень функції

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	+21	+30	+22	+30	+22	0	+7	+10	+8	0
	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
	-9	-12	-6	0	-20	-30	-20	-30	-20	-10

 

Із часового ряду і представленого графіку видно, що позитивні і від’ємні значення напруг симетричні відносно абсцис. Тому, достатньо провести аналіз для періоду  (перших 10 значень).

Враховуючи дані часового ряду та рівняння (12), для представленого гармонічного сигналу, ряд Фур’є буде мати вигляд:

,        (13)

де - постійна ряду,  - амплітуда сигналу в і-тій точці графіка,  - відповідно частота та фаза сигналу; кількість членів ряду .

При цьому, враховуючи умови (8), можна представити аналітичні залежності для параметрів рівняння (13):

;

.

Як результат обчислювань, дані для  заносимо в таблицю 2.

 

Таблиця 2

Дані параметрів розрахунку функції U(t)

	5	8.7	9.9	0.8	0.314
	6.4	6.4	8.9	1	0.349
	0	0	0	0	0.393
	0	0	0	0	0.449
	8	0	8	0	0.523
	0	0	0	0	0.628
	0	0	0	0	0.785
	0	0	0	0	1.047
	0	0	0	0	1.573
	5	0	5	0	3.142

 

Розрахунки та табличні дані показують, що зі складного гармонійного сигналу (рис.2) можемо виділити чотири гармонійні складові (перший, другий, п’ятий та десятий рядок таблиці 2) – ті складові, які мають числові значення амплітуди .

Тоді, згідно з рівнянням (13), отримаємо:

.          (14)

В результаті формуємо систему рівнянь:

        (15)

На рис. надамо графічну інтерпретацію кожному із рівнянь системи (15).

 

          

 

    а)                                        б)

           

 

       в)                                         г)

Рис.3. Графіки гармонійних складових контрольного параметру

 

Результати експериментальних досліджень показали, що в блоці регулювання напруги форма контрольного параметру  буде мати такий вигляд, який представлений на рис.2, у разу відмови модуля вимірювання напруги. В самому модулі до такої ситуації однаково призводить відмова таких функціональних елементів, які складають або місток діодів, або місток стабілітронів. Здійснивши спектральний аналіз контрольного сигналу , можна ідентифікувати ті функціональні елементи, які відмовили. Так, графіки функцій  (рис.3а) і  (рис.3б) характеризують відмову містка стабілітронів, а графіки функцій  (рис.3в) і  (рис.3г) характеризують відмову містка діодів.

Викладена процедура оцінки технічного стану ЕА методом спектрального аналізу легко автоматизується.

 

Контрольні питанні

1. Якими ознаками характеризується процес побудови ряду Фур’є?

2. В чому полягає сутність процесу розкладання періодичної функції на гармонічні складові?

3. Із яких етапів складається методика практичного застосування засобу перетворення Фур’є?

 

Рекомендована література [2].