Визначення в рядах динаміки загальній тенденції розвитку .

 

Визначення рівнів ряду динаміки впродовж тривалого періоду часу обумовлене дією ряду чинників, які неоднорідні по силі і напряму дії, що надається на явище, що вивчається.

Розглядаючи динамічні ряди, намагаються розділити ці чинники що постійно діють і надають визначальну дію на рівні ряду, що формують основну тенденцію розвитку, і випадкові чинники, що приводять до короткочасних змін рівнів ряду динаміки. Найбільш важлива при аналізі ряду динаміки його основна тенденція розвитку, але часто поодинці лише зовнішньому вигляду ряду динаміки її встановити неможливо, тому використовують спеціальні методи обробки, що дозволяють показати основну тенденцію ряду. Методи обробки використовуються як прості, так і достатньо складні. Простий спосіб обробки ряду динаміки, вживаний з метою встановлення закономірностей розвитку, - метод укрупнення інтервалів.

Суть методу в тому, щоб від інтервалів, або періодів часу, для яких визначені початкові рівні ряду динаміки, перейти до триваліших періодів часу і подивитися, як рівні ряду змінюються в цьому випадку.

Приклад. Дані про реалізацію молочної продукції в магазинах міста по місяцях представлені таблицею (у тоннах)

 

місяць	1987	1988	1989
січень	5,3	5,3	5,4
лютий	5,3	5,1	5,2
березень	7,9	8,3	8,2
квітень	8,2	9,0	9,3
травень	9,8	9,5	10,1
червень	12,5	13,0	13,1
липень	11,8	12,2	12,5
серпень	10,3	10,4	10,8
вересень	8,2	8,0	8,3
жовтень	6,5	6,6	6,8
листопад	5,4	5,5	5,7
грудень	5,5	5,5	5,6
разом за рік	96,7	98,4	101

Початкові рівні ряду динаміки схильні до сезонних змін; для визначення загальної тенденції розвитку переходять від щомісячних рівнів до річних рівнів:

1987г. - 96,7 тонн

1988г. - 98,4 тонн

1989г. - 101 тонна

Ці цифри, отримані в результаті переходу до річних рівнів ряду динаміки, показують загальну тенденцію зростання реалізації молочної продукції.

Інший спосіб визначення тенденції у ряді динаміки — метод ковзаючих середніх. Суть методу полягає в тому, що фактичні рівні ряду замінюються середніми рівнями, обчисленими за певним правилом, наприклад:

 — початкові або фактичні рівні ряду динаміки замінюються середніми рівнями:

 

 

...

...

...

В результаті виходить згладжений ряд, що складається з ковзаючих пятизвенных середніх рівнів . Між розташуванням рівнів  і  встановлюється відповідність:

— —  —

згладжений ряд коротше початкового на число рівнів де до - число рівнів, вибраних для визначення середніх рівнів ряду.

Згладжування методом ковзаючих середніх можна проводити по чотирьох, п'яти або іншому числу рівнів ряду, використовуючи відповідні формули для усереднювання початкових рівнів.

Отримані при цьому середні рівні називаються четырехзвенными ковзаючими середніми, пятизвенными ковзаючими середніми і так далі

При згладжуванні ряду динаміки по парному числу рівнів виконується додаткова операція, звана центруванням, оскільки, при обчисленні ковзаючого середнього, наприклад по чотирьох рівнях  відноситься до тимчасової крапки між моментами часу, коли були зафіксовані фактичні рівні  і . Схема обчислень і розташувань рівнів згладженого ряду складніша:

 ... — початкові рівні;

— — ... — згладжені рівні;

— — ... — центровані згладжені рівні;

 

.

Метод ковзаючих середніх не дозволяє отримати чисельні оцінки для виразу основній тенденції у ряді динаміки, даючи лише наочне графічне уявлення (приклад 1).

Приклад.

                                                                 

Роки	Валовий збір бавовни-сирцю, млн. т.	Ковзаюча середня по 5 рівням
1960	4,3	—
1961	4,5	—
1962	4,3	4,72
1963	5,2	5,00
1964	5,3	5,30
1965	5,7	5,64
1966	6,0	5,78
1967	6,0	5,86
1968	5,9	6,10
1969	5,7	6,32
1970	6,9	6,58
1971	7,1	6,94
1972	7,3	7,48
1973	7,7	7,68
1974	8,4	7,92
1975	7,9	8,22
1976	8,3	8,38
1977	8,8	8,54
1978	8,5	8,94
1979	9,2	9,18
1980	9,9	9,30
1981	9,6	—
1982	9,3	—

 

На рис. 6.1 показаний графік, побудований по даним про валовий збір бавовни-сирцю в країні за ряд років спостереження і за розрахунковими даними, представленими в таблиці 1.

Рисунок 6.1. Валовий збір бавовни - сирцю.

 

Найбільш досконалим способом визначення тенденції розвитку у ряді динаміки є метод аналітичного вирівнювання. При цьому методі початкові рівні ряду динаміки  замінюються теоретичними або розрахунковими які вдають із себе деяку достатньо просту математичну функцію часу, що виражає загальну тенденцію розвитку ряду динаміки. Найчастіше як така функція вибирають пряму, параболу, експоненту і ін.

 

Наприклад _

де  - коефіцієнти, визначувані в методі аналітичного вирівнювання;

 - моменти часу, для яких були отримані початкові і відповідні теоретичні рівні ряду динаміки, створюючі пряму, визначувану коефіцієнтами .

 

Розрахунок коефіцієнтів  ведеться на основі методу найменших квадратів:

 

Якщо замість   підставити  (або відповідний вираз для інших математичних функцій)отримаємо:

 

Це функція два змінних  (все і  відомі), яка при визначених  досягає мінімуму. З цього виразу на основі знань, отриманих в курсі вищої математики про екстремум функцій n змінних, набувають значень коефіцієнтів .

Для прямій:

 

де n — число моментів часу, для яких були отримані початкові рівні ряду .

Якщо замість абсолютного часу вибрати умовний час так, щоб то записані вирази для визначення  спрощуються: