С постоянными коэффициентами

Рассмотрим однородное ЛДУ -го порядка

,      (3.16)

где . Будем искать его решение в виде

,                   (3.17)

где - пока неизвестное постоянное число. Такая замена называется подстановкой Эйлера и используется потому, что при дифференцировании сохраняется ее форма. Для того, чтобы найти неизвестное число , продифференцируем  раз:

 

- - - - - - -

и подставим в уравнение (5.16)

.

Внесем  за скобку и сократим на него, так как

.     (3.18)

Относительно неизвестной  получили алгебраическое уравнение -ой степени. Уравнение (3.18) называется характеристическим уравнением для ЛДУ (3.16). В силу основной теоремы алгебры характеристическое уравнение (3.18) имеет ровно  корней (различных, кратных, комплексных). Поэтому рассмотрим отдельно каждый случай.

а) Корни характеристического уравнения действительные, различные . Тогда общим решением однородного уравнения (3.16) является

  (3.19)

Пример: Найти общее решение уравнения

.

Ему соответствует характеристическое уравнение

,

имеющее корни , , . Общим решением является 

.

б) Пусть у характеристического уравнения (3.18) корни действительные, среди них есть кратные. Пусть  есть корень кратности - . Тогда этому корню соответствует  решений из ФСР вида .

Пример. Найти общее решение ; ; ; ; .

Тогда .

в) Пусть некоторые корни являются комплексными. Предположим, что один некратный корень равняется . Тогда, как известно, вторым корнем будет сопряженное число . Тогда ему соответствует пара решений ФСР , .

Пример. Найти общее решение однородного ЛДУ

.

Его характеристическое уравнение

.

Нетрудно заметить, что один корень  тогда, разделив уравнение на , получим квадратное уравнение

.

Его корни , т.е. , .

Значит, общим решением исходного уравнения является функция

.

д) Пусть корни характеристического уравнения (3.18) комплексные кратные. Предположим, что корень есть  кратности . Тогда  также является корнем кратности . В этом соответствующая часть общего решения однородного ЛДУ (3.16) имеет вид

.

Пример. Решить уравнение .

Характеристическое уравнение     или .

Корнями будут комплексные числа кратности 2:

;

.

И общим решением является функция

.

Сформулируем теорему, описывающую общее решение однородного ЛДУ в наиболее часто встречающемся в приложениях случае .

Теорема. Пусть  и - корни характеристического уравнения для ЛДУ с постоянными коэффициентами .

Тогда возможны три случая.

1) Если  и -действительные и различные - то общее решение ЛДУ  есть .

2) Если , то .

3) Если , то .

Рассмотрим теперь методы нахождения частного решения неоднородного ЛДУ.

 Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных)

Пусть дано неоднородное ЛДУ -го порядка

,     (3.20)

.

Предположим, что найдена или известна фундаментальная система решений однородного уравнения

.                    (3.21)

Решением уравнения (3.20) будем искать в виде

,        (3.22)

т.е. предполагая  не постоянными, а переменными и дифференцируемыми на  величинами. Эти функции пока неизвестные произвольные, для нахождения их нужно иметь  условий. Продифференцируем  еще раз

.

Предполагая каждый раз, что сумма в квадратных скобках также равна нулю, найдем  производную

.

Полагая выражение в квадратных скобах равным нулю, продифференцируем

.

Подберем  так, чтобы функция (3.22) являясь решением уравнения (3.20). Подставляя функцию (3.22) и ее производные левую часть линейного дифференциального уравнения (3.20), получим

.

Так как - частные решения однородного ЛДУ, то получим последнее  условие относительно . Таким образом, для нахождения неизвестных функций  получили систему линейных алгебраических уравнений

(3.23)

Решая ее методом Крамера (что можно сделать, т.к. главный определитель системы равен вронскиану , ибо - ФСР), имеем

, ,

где определители  получаются из главного  заменой элементов -го столбца свободными членами системы.

Пример. Найдем общее решение неоднородного ЛДУ второго порядка .

Найдем вначале ФСР однородного уравнения .

Из характеристического уравнения  получим

, т.е. , , поэтому , .

Подставив эти функции в (3.23) получим

Отсюда     , ,

.

Следовательно , , , , . Окончательно получим общее решение исходного уравнения (см.3.13)

.

 Метод неопределенных коэффициентов

Метод вариации можно использовать для любых линейных дифференциальных уравнений с любой непрерывной правой частью. А метод неопределенных коэффициентов можно применять только для уравнений с постоянными коэффициентами и только с правой частью определенных видов. Преимущество этого метода в том, что можно находить частное решение неоднородного уравнения, не прибегая к операции интегрирования.

Рассмотрим неоднородное ЛДУ -го порядка с постоянными коэффициентами

.      (3.24)

1) Пусть первая часть , где - многочлен степени .

а) Если  не является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение неоднородного уравнения ищется в той же форме, т.е.

,

где - не определены. Для их нахождения нужно продифференцировать  раз и подставить его в уравнение (3.24). А дальше коэффициенты находятся аналогично способу неопределенных коэффициентов при интегрировании, т.е. приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях .

Пример: Найти частное решение уравнения

.

Составляем характеристическое уравнение , корни его , . Значит,  не является корнем характеристического уравнения.

Будем искать частное решение в виде .

Найдем первую и вторую производные

,

.

Подставим  в уравнение:

.

Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях справа и слева, получим

,  

;

б) Пусть  является корнем характеристического уравнения кратности . Тогда частное решение ищется в той же форме, но с сомножителем , т.е.

.

И далее аналогично пункту а).

Пример. .

Характеристическое уравнение  имеет корни его , . Значит,  является корнем характеристического уравнения кратности один. Поэтому частное решение надо искать в виде

.

Пример: .

Характеристическое уравнение  имеет корни корень  кратности два, т.е. . Поэтому решение ищем в виде

.

Продифференцируем его дважды:

,

и подставим в уравнение. Вынося  и экспоненту, получим

,

Частным решением является функция

.

2) Пусть правая часть уравнения (3.24) есть

.

а) Если комплексное число  не является корнем характеристического уравнения, тогда частное решение неоднородного уравнения ищется в виде

,

где - многочлены степени  с неопределенными коэффициентами.

Пример: .

Характеристическое уравнение  можно представить виде , т.е. , значит  не является корнем характеристического уравнения. Решение будем искать в виде .

,

,

.

Подставляя эти производные в уравнение, после сокращения получим

.

Следовательно, частным решением является функция

.

б) Если  является корнем характеристического уравнения кратности , тогда частное решение неоднородного ЛДУ (3.26) ищется в виде

, .

Пример: .

Характеристическое уравнение

имеет корни , следовательно,  является корнем кратности . Поэтому решение следует искать в виде

.

3) Пусть правая часть неоднородного ЛДУ представляет сбой сумму числа функции, т.е. .

Для наглядности рассмотрим, когда правая часть сумма двух функций

.

Будем решение искать в виде .

Тогда, подставляя его в уравнение и пользуясь свойством линейного дифференциального оператора, получим

или

.

Таким образом, если правая часть уравнения представляет собой сумму  функций, то уравнение разбивается на  уравнений с этими новыми правыми частями. Найдя частное решение каждого неоднородного уравнения, получим частное решение исходного уравнения в виде суммы частных решений этих  уравнений.

Основная литература: [1] стр. 60-89

Дополнительная литература: [15] частьII стр. 31-58

Контрольные вопросы:

1. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задачи Коши.

2. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Задачи Коши

3. Свойства решений однородного дифференциального уравнения и структура общего решения.

4. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. 

5. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера. Характеристическое уравнение.

6. Составление частного решения неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами методом подбора.