Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

             (6.1)

где правая часть есть произведение функции, зависящей только от , на функцию, зависящую только от .

Предполагая, что , преобразуем его следующим образом:

.     (6. )

Считая  известной функцией от , равенство (6. ) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым.

Интегрируя левую часть по , а правую по , получим

.

Мы получили соотношение, связывающее решение , независимое переменное  и произвольную постоянную , т.е. получили общий интеграл уравнения (6.1).

Дифференциальное уравнение типа (6. ) или вида

       (6.2)

называют уравнением с разделенными переменными.

Общий интеграл его есть

.

Пример.

, , , , .

Это- семейство концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусами .

Уравнение вида

,   (6.3)

в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от  и только от , называется уравнением с разделяющимися переменными.

Путем деления обеих частей на произведение  они приводятся к уравнениям с разделенными переменными:

или

,

т.е. к уравнению вида (6.2). Общий интеграл этого уравнения имеет вид

.

Примеры:

1) . Разделяем переменные ;

; ; ;  - общее решение;

2) ;

; ; ; ; ;

.

 

 Однородные уравнения первого порядка

Определение 1. Функция  называется однородной функцией -го измерения относительно переменных  и , если при любом  справедливо тождество

   .

Примеры:

1) ;

- однородная функция первого измерения.

2) ;

- однородная функция третьего измерения.

3) ;

- однородная функция нулевого измерения.

Определение 2. Уравнение первого порядка

              (7.1)

называется однородным уравнением, если функция  есть однородная функция нулевого измерения относительно  и .

Метод решения однородного уравнения следующий. По условию . Положим в этом тождестве , получим , т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов.

Уравнение (7.1) в этом случае примет вид

                      (7.2).

Сделаем подстановку

,          т.е. .

Тогда будем иметь

.

Подставляя это выражение производной в уравнение (7.2) получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными:

, .

Интегрируя, найдем

.

Подставляя после интегрирования вместо  отношение , получим интеграл уравнения (7.2).

Пример. .

Справа стоит однородная функция нулевого измерения, следовательно, это однородное уравнение.

Делаем замену . Тогда ;

; ; ; .

Разделяя переменные, получим

; .

Отсюда, интегрируя находим

; ; .

Подставляя , получим общий интеграл исходного уравнения

.

Замечание. Уравнение вида  будет однородным в том и только в том случае, когда  и  являются однородными функциями одного и того же измерения. Это вытекает из того, что отношение двух однородных функций – функций одного и того же измерения является однородной функцией нулевого измерения.

Пример. .

Переходить к виду, разрешенному относительно производной, не обязательно.

, , .

Подставляем эти значения в уравнение.

, .

Разделяя переменные, получим

, , , .

Подставляя вместо , получим

, , - общее решение.

 Линейные уравнения первого порядка.

Определение.Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной вида

,                (9.1)

где  и - непрерывные функции от .

Будем искать решение уравнение (9.1) в виде произведения двух функций от

.                        (9.2).

Дифференцируя обе части равенства (9.2), находим

.

Подставляя полученное значение производной  в уравнение (9.1.), имеем

,

или

.         (9.3).

Выберем функцию  такой, чтобы

       (9.4).

Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении, находим

, .

Интегрируя, получим

, 

или

.

Так как нам достаточно какого-нибудь отличного нуля решения уравнения (9.4), то за функцию  возьмем

.          (9.5).

Очевидно, что .

Подставляя найденное значение  в (9.3) и, учитывая (9.4), получим

или ; .

Подставляя значения  и  в формулу (9.2), получаем

.          (9.6).

Пример. Решить уравнение  

; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ;

; ; .

Замечание: При нахождении решения линейного уравнения (9.1) можно пользоваться формулой (9.6).

Уравнение Бернулли

Уравнение вида

(1)

называется уравнением Бернулли.

Прежде всего отметим, что при   уравнение (1) принимает вид

то есть является уравнением с разделяющимися переменными, общее решение которого

Разумеется, считаем, что   и  непрерывны на некотором интервале .

Область изменения величины  в (1) определяется значением , то есть областью существования функции .

Для решения д.у. (1) делаем замену

,   (2)

то есть вместо одной неизвестной функции вводим две! Но появляется возможность при этом выбрать одну функций  или , как будет удобнее. Постановка (2) в (1) дает

. (3)

Найдем  из уравнения

(4)

то есть положим

. (5)

При этом среди первообразных для  выберем наиболее удобную. С учетом (4) уравнение (3) принимает вид

Это уравнение с разделяющимися переменными  и общее решение

(6)

его с учетом (5) имеет вид

(7)

По (2) окончательно

Разумеется, не следует запоминать формулу (7). Надо использовать алгоритм, описанный в (2) – (5).

Пример 1. Иллюстрируем сказанное примером:

Очевидно, что это д.у. имеет вид (1), если положить

Решать данное уравнение Бернулли можно лишь при условии

Замена  приводит его к виду (3)

Если положить, как в (4)

то есть считать  каким-то ненулевым решением уравнения с разделяющимися переменными, например   (любое решение последнего д.у. очевидно есть ), то для  получаем дифференциальное уравнение

или

откуда

 и

Окончательно

Как было отмечено,   что влечет ограничение

Пример 2. Решим следующее уравнение Бернулли, требующее дополнительных исследований:

    (8)

Это уравнение Бернулли с  Очевидно, что ,   и  - решение данного уравнения. Отметим, что  - решение любого уравнения Бернулли с . Таким образом, достаточно рассматривать решения (8) в первом   и во втором квадратах. Так как (8) можно записать в виде

(9)

и функции

непрерывные в указанных квадрантах, то в них имеет место существование и единственность решения задачи Коши для д.у. (8), (9). Так как правая часть (9) нечетная по   функция, то если  а , очевидно, глобальная картина интегральных линий симметрична относительно оси   (вертикальной). Поэтому достаточно решать уравнение (8) или (9) в первом квадранте .

Произведя в (8) замену (2), получаем

. (10)

Положим [как в (4)] . Для  (так как ) это уравнение равносильно

- уравнение с разделенными переменными, откуда .

Проще всего считать  и выбрать . Тогда для  получаем из (10) уравнение

или

. (11)

Здесь следует сделать важное замечание: . Уравнение (11) – с разделяющимися переменными и

.

В силу сделанного замечания  и

.       (12)

Для . Имеем

и

.    (13)

Решение  является особым.

Если не отмечать в (13) условие , то функция  оказывается определенной на всей прямой .

Очевидно, что нарушена единственность решения задачи Коши в первом и втором квадрантах. Следует из того, что по (9) при  производная  и  возрастает на интервале определения для положительных значений .

Метод Эйлера

(1)

Система (1) приводится к одному ЛДУ  - го порядка с постоянными коэффициентами

Будем искать решение в виде

      (2)

Найдем их производные

и подставим при   в первое уравнение системы дифференциальных уравнений (1)

Сокращая на exp, получим

Поступая аналогично с остальными уравнениями, получим систему однородных линейных алгебраических уравнений следующего вида

(3)

Данная однородная система линейных алгебраических уравнений имеет нулевое решение тогда, когда главный определитель системы равен нулю, т.е.

        (4)

Уравнение (4) называется характеристическим уравнением  - го порядка системы ЛДУ, это уравнение имеет ровно  корней.

Предположим, что характеристическое уравнение имеет  различных действительных корней

Для одного корня  получим соответствующую однородную систему алгебраических уравнений (3)

которая имеет нулевое решение

Аналогично для второго корня  имеем

Подставляя в однородную систему алгебраических уравнений (3) соответствующие решения характеристического уравнения (4) , будем получать  разных однородных систем алгебраических уравнений относительно неизвестных чисел . Решая эти алгебраические системы, получим соответствующие решения системы дифференциальных уравнений.

Тогда общее решение системы ЛДУ определяется формулами

(5)

 

Примеры 1. Решить систему ЛДУ с постоянными коэффициентами

Составляем характеристическое уравнение (4)

Составим соответствующие однородные системы алгебраических уравнений

            

 

      

Тогда общее решение представляется по формуле (5) в виде

Пример 2. Решитьсистему трех ЛДУ с постоянными коэффициентами

 

Составляем характеристическое уравнение (4)

Для  получим систему

                  

Для  получим систему

      

        

                    

Для  получим систему

                      

Общее решение системы ЛДУ найдем по формуле (5)

 

Основная литература: [1] стр. 90-114

Дополнительная литература: [15] частьII стр. 59-78

Контрольные вопросы:

1. Системы дифференциальных уравнений. Нормальная система. Автономная система. Линейная            система.

2. Решение системы. Общее решение системы.

3. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами. Структура общего решения однородной системы.

4. Метод исключения.

5.  Метод Эйлера. 

 

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

             (6.1)

где правая часть есть произведение функции, зависящей только от , на функцию, зависящую только от .

Предполагая, что , преобразуем его следующим образом:

.     (6. )

Считая  известной функцией от , равенство (6. ) можно рассматривать как равенство двух дифференциалов, а неопределенные интегралы от них будут отличаться постоянным слагаемым.

Интегрируя левую часть по , а правую по , получим

.

Мы получили соотношение, связывающее решение , независимое переменное  и произвольную постоянную , т.е. получили общий интеграл уравнения (6.1).

Дифференциальное уравнение типа (6. ) или вида

       (6.2)

называют уравнением с разделенными переменными.

Общий интеграл его есть

.

Пример.

, , , , .

Это- семейство концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусами .

Уравнение вида

,   (6.3)

в которых коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от  и только от , называется уравнением с разделяющимися переменными.

Путем деления обеих частей на произведение  они приводятся к уравнениям с разделенными переменными:

или

,

т.е. к уравнению вида (6.2). Общий интеграл этого уравнения имеет вид

.

Примеры:

1) . Разделяем переменные ;

; ; ;  - общее решение;

2) ;

; ; ; ; ;

.

 

 Однородные уравнения первого порядка

Определение 1. Функция  называется однородной функцией -го измерения относительно переменных  и , если при любом  справедливо тождество

   .

Примеры:

1) ;

- однородная функция первого измерения.

2) ;

- однородная функция третьего измерения.

3) ;

- однородная функция нулевого измерения.

Определение 2. Уравнение первого порядка

              (7.1)

называется однородным уравнением, если функция  есть однородная функция нулевого измерения относительно  и .

Метод решения однородного уравнения следующий. По условию . Положим в этом тождестве , получим , т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов.

Уравнение (7.1) в этом случае примет вид

                      (7.2).

Сделаем подстановку

,          т.е. .

Тогда будем иметь

.

Подставляя это выражение производной в уравнение (7.2) получим

.

Это уравнение с разделяющимися переменными:

, .

Интегрируя, найдем

.

Подставляя после интегрирования вместо  отношение , получим интеграл уравнения (7.2).

Пример. .

Справа стоит однородная функция нулевого измерения, следовательно, это однородное уравнение.

Делаем замену . Тогда ;

; ; ; .

Разделяя переменные, получим

; .

Отсюда, интегрируя находим

; ; .

Подставляя , получим общий интеграл исходного уравнения

.

Замечание. Уравнение вида  будет однородным в том и только в том случае, когда  и  являются однородными функциями одного и того же измерения. Это вытекает из того, что отношение двух однородных функций – функций одного и того же измерения является однородной функцией нулевого измерения.

Пример. .

Переходить к виду, разрешенному относительно производной, не обязательно.

, , .

Подставляем эти значения в уравнение.

, .

Разделяя переменные, получим

, , , .

Подставляя вместо , получим

, , - общее решение.

 Линейные уравнения первого порядка.

Определение.Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной вида

,                (9.1)

где  и - непрерывные функции от .

Будем искать решение уравнение (9.1) в виде произведения двух функций от

.                        (9.2).

Дифференцируя обе части равенства (9.2), находим

.

Подставляя полученное значение производной  в уравнение (9.1.), имеем

,

или

.         (9.3).

Выберем функцию  такой, чтобы

       (9.4).

Разделяя переменные в этом дифференциальном уравнении, находим

, .

Интегрируя, получим

, 

или

.

Так как нам достаточно какого-нибудь отличного нуля решения уравнения (9.4), то за функцию  возьмем

.          (9.5).

Очевидно, что .

Подставляя найденное значение  в (9.3) и, учитывая (9.4), получим

или ; .

Подставляя значения  и  в формулу (9.2), получаем

.          (9.6).

Пример. Решить уравнение  

; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ;

; ; .

Замечание: При нахождении решения линейного уравнения (9.1) можно пользоваться формулой (9.6).

Уравнение Бернулли

Уравнение вида

(1)

называется уравнением Бернулли.

Прежде всего отметим, что при   уравнение (1) принимает вид

то есть является уравнением с разделяющимися переменными, общее решение которого

Разумеется, считаем, что   и  непрерывны на некотором интервале .

Область изменения величины  в (1) определяется значением , то есть областью существования функции .

Для решения д.у. (1) делаем замену

,   (2)

то есть вместо одной неизвестной функции вводим две! Но появляется возможность при этом выбрать одну функций