Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

При решении многих задач требуется найти функции , , ..., , которые удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, содержащих аргумент , искомые функции   и их производные.

Рассмотрим систему уравнений первого порядка:

    (1)

где  - искомые функции,  - аргумент.

Такая система, когда в левой части уравнений стоят производные первого порядка, а правые части не содержат производных, называется нормальной.

Проинтегрировать систему – значит определить функции , удовлетворяющие системе уравнений (1) и данным начальным условиям:

, , …,   (2)

Интегрирование системы вида (1) производится следующим образом.

Дифференцируем по  первое из уравнений (1):

.

Заменяя производные  их выражениями  из уравнений (1), будем иметь уравнение

Дифференцируя полученное уравнение и поступая аналогично предыдущему, найдем:

Продолжая далее, таким же образом получим, наконец, уравнение

Итак, мы получаем следующую систему:

(3)

Из первых  уравнений определим , выразив их через  и производные

    (4)

Поставляя эти выражения в последнее из уравнений (3), получим уравнение  - го порядка для определения :

   (5)

Решая это уравнение, определим :

    (6)

Дифференцируя последнее выражение  раз, найдем производные  как функции от

Поставляя эти функции в уравнение (4), определяем :

      (7)

Для того чтобы полученное решение удовлетворяло заданным начальным условиям (2), остается лишь найти из уравнений (6) и (7) соответствующие значения постоянных  (подобно тому, как мы это делали в случае одного дифференциального уравнения).

Замечание 1. Если система (1) линейна относительно искомых функций, то и уравнение (5) будет линейным.

Пример 1. Проинтегрировать систему:

,              (а)

при начальных условиях

,                (б)

Решение.

1) Дифференцируя по  первое уравнение, будем иметь:

.                

Подставляя сюда выражения  и  из уравнений (а), получим:

                 

или

    (в)

2) Из первого уравнения системы (а) находим

   (г)

и подставляем в только что полученное уравнение; получаем:

или

       (д)

Общее решение последнего уравнения есть

         (е)

и на основании (г)

(ж)

 Подберем постоянные  и  так, чтобы удовлетворялись начальные условия (б): , . Тогда из равенства (е) и (ж) получаем:

, ,

откуда , . Таким образом, решение, удовлетворяющее заданным начальным (б), имеет вид

,  .

 

Метод Эйлера

(1)

Система (1) приводится к одному ЛДУ  - го порядка с постоянными коэффициентами

Будем искать решение в виде

      (2)

Найдем их производные

и подставим при   в первое уравнение системы дифференциальных уравнений (1)

Сокращая на exp, получим

Поступая аналогично с остальными уравнениями, получим систему однородных линейных алгебраических уравнений следующего вида

(3)

Данная однородная система линейных алгебраических уравнений имеет нулевое решение тогда, когда главный определитель системы равен нулю, т.е.

        (4)

Уравнение (4) называется характеристическим уравнением  - го порядка системы ЛДУ, это уравнение имеет ровно  корней.

Предположим, что характеристическое уравнение имеет  различных действительных корней

Для одного корня  получим соответствующую однородную систему алгебраических уравнений (3)

которая имеет нулевое решение

Аналогично для второго корня  имеем

Подставляя в однородную систему алгебраических уравнений (3) соответствующие решения характеристического уравнения (4) , будем получать  разных однородных систем алгебраических уравнений относительно неизвестных чисел . Решая эти алгебраические системы, получим соответствующие решения системы дифференциальных уравнений.

Тогда общее решение системы ЛДУ определяется формулами

(5)

 

Примеры 1. Решить систему ЛДУ с постоянными коэффициентами

Составляем характеристическое уравнение (4)

Составим соответствующие однородные системы алгебраических уравнений

            

 

      

Тогда общее решение представляется по формуле (5) в виде

Пример 2. Решить систему трех ЛДУ с постоянными коэффициентами

 

Составляем характеристическое уравнение (4)

Для  получим систему

                  

Для  получим систему

      

        

                    

Для  получим систему

                      

Общее решение системы ЛДУ найдем по формуле (5)

 

Основная литература: [1] стр. 90-114

Дополнительная литература: [15] частьII стр. 59-78

Контрольные вопросы:

1. Системы дифференциальных уравнений. Нормальная система. Автономная система. Линейная            система.

2. Решение системы. Общее решение системы.

3. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами. Структура общего решения однородной системы.

4. Метод исключения.

5.  Метод Эйлера.