Тема: Системы линейных дифференциальных уравнений

с постоянными коэффициентами (3-часа)

 

Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений

                           (1)

 

относительно неизвестных функций , где

 - постоянная матрица, а функции   считаем непрерывными на .

Система (1) называется линейной неоднородной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Если     для всех , то система (1 называется) однородной.

К системе (1) легко сводится линейное уравнение го порядка с постоянными коэффициентами

    (2)

 

Достаточно положить

       (3)

 

Получаем

(4)

 

Разумеется, и линейное дифференциальное уравнение го порядка с переменными коэффициентами сводится к системе вида (4), естественно также с переменными коэффициентами, но мы ограничимся изучением лишь систем с постоянными коэффициентами, причем для частного случая  то есть систем

              (5)

 

Покажем, что не только уравнение второго порядка вида (2) сводится к системе вида (5), но и наоборот – система (5) может быть сведена к уравнению вида (2). Для этого продифференцируем первое, например, уравнение из (5) по   и подставим в результат  и  из (5). Получим

 

 

 

Теперь подставим в последнее выражение значение

полученное из первого уравнения в (5). В итоге будем иметь

или

(6)

Разумеется, при выводе (6) считаем, что существует

Если дифференцировать второе уравнение в (5) и исключить , то получим

 (7)

 

Как видно из (6)и (7), однородные уравнения для функций  получаются одинаковыми:

(8)

 

Следовательно, общее решение в случае однородной системы (5), при , для  и  имеют один вид:

 

(9)

где  - корни характеристического уравнения

, (10)

которые будем считать действительными и различными. Заметим, что коэффициенты в (10) имеют ясный алгебраический смысл:  след матрицы ,  - ее определитель.

В (9) постоянные  не являются независимыми, поскольку  и  связаны уравнениями (5) [при ]. Именно

 

 Из этих соотношений получаем

       (11)

 

Рассмотрим первое и третье уравнения из (11), то есть систему

(12)

Ее определитель

 

в силу того, что  - корень характеристического уравнения (10). Следовательно, одно уравнение в (12) является следствием другого, в данном случае они просто пропорциональны. Достаточно оставить одно из них, например,

откуда

(13)

Аналогично из системы

У которой определитель также нулевой, достаточно оставить одно, скажем, первое

откуда

(14)

По (13) и (14) можно, например, считать

(15)

 

По (9) и (15) имеем

(16)

Если ввести в рассмотрение векторы-столбцы

(17)

то (16) можно записать в виде

(18)

Выясним алгебраический смысл векторов  и . Вычислим

Равенство  означает, что вектор-столбец   является собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному значению

Аналогично справедливо равенство  и  - собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению

Этим полностью выясняется структура общего решения однородной линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

(19)

в случае действительных различных корней характеристического уравнения

то есть когда

(20)

В случае, когда левая часть (20) равна нулю или отрицательна, возникают более сложные формулы для общего решения системы (19). Можно сказать, что проще всего при решении систем (5) или (19) переходить к решению уравнения (6) или (7), а получив (при ) общее решение  уравнения (6) найти   из первого уравнения (5) по формуле

(21)

Если , то обязательно  [иначе решение (5) тривиально] и надо найти  из (7), а затем получить  по формуле

(22)

Рассмотрим пример:

(23)

откуда

(24)

Характеристическое уравнение

имеет корень  кратности 2. Следовательно, общее решение однородного уравнения

имеет общее решение

 

Следовательно,   и

Общее решение д.у. (24) имеет вид

Так как из первого уравнения в (23)

то

Окончательно общее решение системы (23) есть