Другими словами, уравнение (11.1) представляется в виде

;                (11.2)

откуда, интегрируя, найдем общий интеграл

.

При каких условиях относительно функцией ,  уравнение (1) будет в полных дифференциалах? Если оно в полных дифференциалах, то как его решить, т.е., как найти функцию ? Ответы на эти вопросы дает следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы уравнение (11.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в области  выполнялось условие

         (11.3)

Примеры:

1. Решить уравнение

.

Сначала определяем, что это за уравнение.

; ;

; .

Из этого соотношения следует, что уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдем его общий интеграл.

1-ый шаг. Используем соотношение (11.5):

; .

Из первого соотношения находим:

,

.      (11.11)

2-ой шаг. Найдем

.

3-й шаг. Используем второе соотношение (11.5)

.

Отсюда , .

4-ый шаг. Подставляем  в (11.11).

5-ый шаг. Окончательно получим общий интеграл

,

 

Основная литература: [1] стр. 9-53

Дополнительная литература: [15] частьII стр. 5-12

Контрольные вопросы:

1. Определение обыкновенных дифференциальных уравнений

2. Дифференциальные уравнения первого порядка.

3. Общее решение дифференциального уравнения.

4. Задачи Коши. Частное решение.

5. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

6. Однородные дифференциальные уравнения.

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод подстановки Бернулли. 

         Метод Лагранжа.

8. Уравнение Бернулли.

9. Уравнение в полных дифференциалах

 2.2.3 Тема: Дифференциальные уравнения высших порядков (3-часа)

 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка

Определение. Уравнение вида

, (3.1)

где , ; , называется линейным дифференциальным уравнением -го порядка. Функция  называется правой частью уравнения (3.1), функции - коэффициентами ЛДУ (3.1).

Если , то уравнение

   (3.2)

называется однородным ЛДУ -го порядка. Уравнение (3.1) с ненулевой правой частью называют неоднородным ЛДУ.

Дифференциальные уравнения (3.1) разделяют на два вида:

1) ЛДУ с переменными коэффициентами .

2) Если все эти функции являются постоянными величинами, то такое ЛДУ называется уравнением с постоянными коэффициентами. Оно имеет вид

.

Рассмотрим задачу Коши. Пусть требуется найти решение ЛДУ (3.1), удовлетворяющее начальным условиям (НУ)

     (3.3)

При каких условиях относительно правой части, ЛДУ (3.1) имеет единственное решение задачи Коши?

Теорема Пикара – Пеано – Коши (существования и единственности решения).

Если  дифференциального уравнения (3.1) ,  и , то линейное дифференциальное уравнение (3.1) имеет единственное решение на  удовлетворяющее начальным условиям (3.3) (без доказательства)

 Линейный дифференциальный оператор и его свойства

Определение. Линейным дифференциальным оператором -го порядка назовем выражение

(3.4)

Тогда линейные дифференциальные уравнения (3.1), (3.2) с учетом линейного дифференциального оператора можно переписать в сокращенном виде

, .

Перечислим свойства этого оператора

2. Постоянный множитель можно вносить за знак линейного дифференциального оператора .

Доказательство. Подставляя вместо  функцию  в линейный дифференциальный оператор и используя свойства дифференцирования, получим

, причем , и т.д.

2) Линейный дифференциальный оператор от сумм конечного числа функций равен сумме линейных дифференциальных операторов слагаемых

.

Доказательство. Рассмотрим левую часть и, используя свойства суммирования и дифференцирования, получим

.

 Однородные линейные дифференциальные уравнения

Рассмотрим однородное ЛДУ

, ,       (3.4)

причем . Однородное ЛДУ обладает следующими свойствами.

2. Если  является решением ОЛДУ (3.4), то функция  также является решением этого уравнения.

Доказательство. По условию , т.к. - решение однородного ЛДУ. Докажем, что  также удовлетворяет уравнению. Подставим  в его левую часть уравнения (3.4) и, использовав первое свойство, получим

.

2) Если  и  являются решениями однородного ЛДУ (3.4), то их сумма также является решением уравнения (3.4).

Доказательство. По условию  и  рассмотрим

 по свойству оператору = .

3) Если функций  являются частными решениями однородного ЛДУ (3.4), то их линейная комбинация

    (*)

также является решением уравнения (3.4).

Доказательство. По условию . Подставим в левую часть уравнения (1.1) линейную комбинацию (*):

= по свойству оператору =

.

 Линейная независимость функций

Определение. Функции  называются линейно независимыми на , если соотношение

     (3.5)

выполняется только при всех  (т.е. если это соотношение не выполняется для отличных от нуля чисел ).

Определение. Система  функций  называется линейно зависимой на , если существует числа , не все равные нулю, такие, что выполняется соотношение (3.5).

Примеры: 1. Функции ,  линейно зависимы, т.к. , , .

2. Функции , , ,  линейно независимы.

Допустим противное – пусть они линейно зависимы. Тогда для  не равных одновременно нулю, выполняется

.    (3.6)

Но, как известно, кубическое уравнение имеет только три решения . Поэтому соотношение (3.6) может выполняться только для трех точек, а не для . Следовательно,  линейно независимы. Пусть .

Определение. Функциональный определитель вида

называется определителем Вронского -го порядка (вронскианом -го порядка).

Теорема (необходимое условие линейной зависимости). Если система  функций  линейно зависима на , то вронскиан, составленный их этих функций, равен нулю.