Тема: «определённый интеграл и его свойства»

Что такое определённый интеграл и почему он есть площадь?

Пусть функция определена на промежутке . Для определённости и простоты считаем, что функция положительна и непрерывна на данном отрезке. Поставим задачу найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми и осью . Обращаю внимание на тот факт, что непрерывность функции на отрезке заведомо гарантирует существование конечной площади .

Разобьём отрезок на частей следующими точками:
(красные точки):

В результате получено частичных промежутков с длинами соответственно. В общем случае длины различны – какие-то отрезки короче, какие-то длиннее. Максимальную длину называют диаметром разбиения и обозначают буквой «лямбда»: .

Примечание: последняя запись читается, как «максимальное значение из множества (набора) »

В каждом из полученных промежутков опять же произвольно выбираем точки (синие квадратики).

Примечание: («кси») – 14-я буква греческого алфавита

Рассмотрим промежуток . Его длина, очевидно, равна (зелёная обоюдоострая линия). Значению аргумента соответствует значение функции (синие пунктирные линии), и произведение в точности равно площади соответствующего коричневого прямоугольника.

Аналогично устроен каждый отрезок. Составим сумму, которая равна площади коричневой ступенчатой фигуры:

Данная сумма называется интегральной суммой, и её часто записывают в свёрнутом виде:

Примечание: – это значок суммы, а переменная – своеобразный «счётчик», т.е. сначала , затем , потом , … и, наконец,

Что означает прилагательное «интегральной»? В широком смысле слова, интегрировать – это значит, что-то объединять. В данном случае интегральная сумма объединяет площади коричневых прямоугольников и с некоторой точностью приближает площадь криволинейной трапеции:

Теперь зададимся вопросом: как улучшить точность приближения? Действия очевидны – увеличиваем и увеличиваем значение . При этом количество отрезков растёт, а их длины – уменьшаются, в том числе неизбежно уменьшается и максимальная длина . Количество точек тоже возрастает и ступенчатая фигура всё больше и больше напоминает криволинейную трапецию.

И, если количество отрезков разбиения устремить к бесконечности , то интегральная сумма (площадь ступенчатой фигуры) будет стремиться к площади криволинейной трапеции: .

Таким образом, площадь криволинейной трапеции равна пределу интегральной суммы при диаметре разбиения, стремящемся к нулю:

1) В рассматриваемом контексте сумму ещё с 17 века обозначали растянутой буквой S (Summa). Это обозначение известно как значок интеграла:

2) Если (и, следовательно, ), то значения стремятся «покрыть» все значения функции из промежутка , то есть:

, при этом пределы интегрирования:

3) И, наконец, длина любого промежуточного отрезка становится бесконечно малой Обозначение этой бесконечно малой длины мы тоже хорошо знаем, оно указывает, что объединение ведётся по переменной «икс»:

В результате, площадь криволинейной трапеции:

Определение: конечный предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа дробления отрезка , ни от выбора точек , называется определённым интегралом функции по промежутку и обозначается символом .

При этом функция называется интегрируемой в промежутке . Для интегрируемости (а, значит, существования конечной площади),

В общем виде определенный интеграл записывается так:

Что прибавилось по сравнению с неопределенным интегралом? Прибавились пределы интегрирования.

Нижний предел интегрирования стандартно обозначается буквой .
Верхний предел интегрирования стандартно обозначается буквой .
Отрезок называется отрезком интегрирования.

Что значит решить определенный интеграл? Решить определенный интеграл – это значит, найти число.

Как решить определенный интеграл? С помощью знакомой со школы формулы Ньютона – Лейбница                         

Формулу лучше переписать на отдельный листочек, она должна быть перед глазами на протяжении всего урока.

Этапы решения определенного интеграла следующие:

1) Сначала находим первообразную функцию (неопределенный интеграл). Обратите внимание, что константа в определенном интеграле не добавляется. Обозначение является чисто техническим, и вертикальная палочка не несет никакого математического смысла, по сути – это просто отчёркивание. Зачем нужна сама запись ? Подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

2) Подставляем значение верхнего предела в первообразную функцию: .

3) Подставляем значение нижнего предела в первообразную функцию: .

4) Рассчитываем (без ошибок!) разность , то есть, находим число.

 

Свойства определенного интеграла:

1) В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак:

Например, в определенном интеграле перед интегрированием целесообразно поменять пределы интегрирования на «привычный» порядок:

– в таком виде интегрировать значительно удобнее.

:

2)  - постоянный множитель выносится за знак интеграла

 

3) – это справедливо не только для двух, но и для любого       количества функций.

Пример 1

Вычислить определенный интеграл

Решение:

(1) Выносим константу за знак интеграла.

(2) Интегрируем по таблице с помощью самой популярной формулы . Появившуюся константу целесообразно отделить от и вынести за скобку. Делать это не обязательно, но желательно – зачем лишние вычисления?

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница . Сначала подставляем в верхний предел, затем – нижний предел. Проводим дальнейшие вычисления и получаем окончательный ответ.

Пример 2

Вычислить определенный интеграл

Решение:

(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.

(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим – они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.

(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница: