Розповсюдження пружних хвиль у свердловині

 

Для вивчення акустичних властивостей гірських порід необхідно в свердловині збуджувати пружні хвилі та спостерігати за ними після проходження їх через гірські породи, які складають геологічний розріз.

Найпростіший свердловинний прилад, що використовується в акустичному каротажі, складається із одного випромінювача В і одного приймача П, які розділені між собою акустичним ізолятором (Рис. 2). Відстань L між випромінювачем та приймачем називається базою зонда або довжиною зонда.

Фронти хвиль у послідовні моменти часу t ₁, t ₂,…, t _n+2 (ізохрони хвиль): 1 – падаючої (прямої) Р₁, 2 – проходячої Р₁₂, 3 – головної Р₁₂₁, 4 – відбитої Р₁₁.

Розглянемо випадок, коли є два середовища I і II з різними акустичними властивостями, які розділені плоскою границею. Припустимо, що в середовищі I поширюється поздовжня пружна хвиля. Коли пружна хвиля P₁ у середовищі I, яка називається падаючою, досягає границі розділу, відбувається її відбивання та заломлення (Рис. 3). За рахунок енергії падаючої хвилі утворяться вторинні хвилі, якими є відбиті хвилі – поздовжня Р₁₁ і поперечна P₁S₁ та проходячі хвилі – поздовжня Р₁₂ і поперечна P₁S₂. У фізиці проходячі хвилі інакше називаються заломленими. Вторинні хвилі, які мають такий же тип, як і падаюча називаються монотипними, а які відрізняються від типу падаючої хвилі – обмінними.

При відбиванні та заломленні змінюється напрямок фронту та променя хвилі (Рис. 3). Між напрямками падаючої та заломленої хвиль існує наступне співвідношення (закон заломлення):

 

,                                (9)

де a ₁ – кут падіння; b – кут заломлення; V ₁ і V ₂ – швидкості поширення хвиль у середовищах I і II.

При V ₁ і V ₂ та деякому критичному куті падіння a ₁= і, що задовольняє умові:

,                                       (10)

кут заломлення b = 90° і промінь заломленої хвилі ковзає в середовищі II вздовж границі розділу. Такий випадок заломлення називається повним внутрішнім відбиттям. При акустичному каротажі найбільший інтерес представляють хвилі, які виникають у результаті повного внутрішнього відбиття.

Відбиті хвилі утворяться в тому випадку, якщо добуток швидкості на щільність (хвильовий опір) одного середовища більший ніж в іншому. Кути a ₁ і a ₂ (a _1P і a _2S Рис. 3), які складають падаючий і відбитий промені з перпендикуляром до границі розділу (кут падіння і кут відбиття) зв’язані між собою наступною формулою:

,                           (11)

де V _від – швидкість відбитої хвилі.

У випадку відбиття монотипної хвилі (V _від =V ₁) кут відбивання дорівнює куту падіння.

Переважно більша частина енергії падаючої хвилі витрачається на утворення вторинних хвиль того ж типу, тому енергія обмінних хвиль, особливо відбитих, значно менша, ніж монотипних.

Співвідношення між амплітудами падаючої, відбитої та заломленої хвиль визначається хвильовими опорами середовищ I і П.

При наявності декількох середовищ зазначені явища виникають на кожній границі розділу, причому як для прямих хвиль, що йдуть безпосередньо від джерела збудження, так і для відбитих та заломлених. Усе це значно ускладнює розподіл хвиль у досліджуваних середовищах.

У середовищах з поверхнями розділу існують особливі хвилі, що поширюються в тонкому шарі в границі розділу. На відміну від розглянутих вище об’ємних хвиль, ці хвилі називаються поверхневими.

Розглянемо поширення пружних хвиль від невеликого сферичного випромінювача В, розташованого на осі свердловини; при цьому будемо вважати, що пересічений свердловиною пласт має необмежену потужність (Рис. 2).

У буровому розчині можуть проходити тільки поздовжні хвилі, швидкість яких V _P1 звичайно менша швидкості поздовжньої V _P2 і поперечної V _S2 хвиль у пласті. В цьому випадку спостерігається наступне.

При виникненні в момент t =0 імпульсу пружних коливань від випромінювача починає поширюватися пряма поздовжня хвиля P ₁, що має сферичний фронт (лінії 1 на рис. 2). Після досягнення в момент t ₁ фронтом прямої хвилі стінки свердловини, яка є границею розділу двох середовищ, відбувається утворення вторинних хвиль – відбитої P ₁ (її фронт показаний лінією 4) і заломлених. Виникають дві заломлені хвилі: поздовжня P ₁₂ (її фронт показаний лінією 2), яка поширюється зі швидкістю V _P2 й обмінна поперечна хвиля P ₁ S ₂ (на рис. 2 не показана), швидкість якої V _S2< V _P2.

У момент t ₂ фронт прямої хвилі утворить зі стінкою свердловини критичний кут i _P, внаслідок чого, починаючи від точки А, фронт минаючої хвилі P ₁₂ стає перпендикулярним до границі розділу і дальше ця хвиля ковзає вздовж стінки свердловини (положення фронтів t ₃, t ₄,…, t _n+2), тому що V _P2> V _P1 хвиля Р ₁₂ з віддаленням по свердловині від точки А все більше обганяє пряму P ₁ і відбиту Р ₁₁ хвилі, як видно на рис. 2 за розміщенням фронтів, починаючи з моменту t ₃.

При подальшому своєму русі заломлена хвиля Р₁₂, ковзаючи вздовж границі розділу, викликає коливання в розчині, тому в свердловині утвориться нова хвиля Р ₁₂₁, яка називається головною (фронти зображені лінією 3). У сейсморозвідці для неї застосовують також термін переломлена хвиля. Фронт цієї хвилі має конічну поверхню, вісь якої збігається з віссю свердловини, а найбільший діаметр дорівнює, діаметру свердловини. Тому при переміщенні від джерела форма та розміри фронту не змінюються. Поширення коливань від випромінювача В до приймача П можна зобразити променем п (Рис. 2), який проходить шлях свердловина–порода–свердловина.

Аналогічна картина спостерігається при поширенні заломленої поперечної хвилі Р ₁ S ₂, яка, починаючи з деякого моменту t > t ₂, викликає утворення головної хвилі Р ₁ S ₂ Р ₁.

Таким чином, на порівняно невеликій відстані від випромінювача в свердловині будуть спостерігатися головні хвилі Р ₁₂₁ і Р ₁ S ₂ Р ₁, швидкості яких рівні відповідно V _P2 і V _S2. Тому до приймача П, якщо він достатньо віддалений від випромінювача, послідовно приходять хвилі Р ₁₂₁, Р ₁ S ₂ Р ₁ і потім пряма хвиля Р ₁. Відбита хвиля Р ₁₁ не спостерігається – внаслідок великих кутів падіння (a ₁»90°) та її малої енергії.

З акустики і сейсморозвідки відомо, що при наявності плоскої границі розділу амплітуда головної хвилі обернено пропорційна квадрату відстані до випромінювача, якщо ця відстань значно більша віддаленню випромінювача від площини розділу. Більш інтенсивніше, чим для прямої хвилі, послаблення головної хвилі пояснюється тим, що вона є розбіжною, а енергія на її утворення надходить від заломленої хвилі, фронт якої на великих віддаленнях від випромінювача близький до сферичного. При акустичному каротажі границя розділу циліндрична, внаслідок чого фронт головної хвилі не розходиться з віддаленням від випромінювача. Тому можна вважати, що амплітуда головної хвилі і, відповідно, амплітуда викликаної її ковзаючої хвилі становить:

,                         (12)

де A ₀ – амплітуда поблизу випромінювача; с – коефіцієнт, який залежить від величини критичного кута i та акустичних жорсткостей бурового розчину і породи; z – відстань від випромінювача до приймача; n – показник степеня, який близький до одиниці на великих віддаленнях від джерела.

Таке послаблення коливань спостерігається у випадку ідеально пружного середовища. Гірські породи не є абсолютно пружними, тому в них відбувається поглинання енергії пружної хвилі внаслідок внутрішнього тертя між сусідніми частинками середовища і розсіювання хвиль, яке обумовлене неоднорідністю середовища.

У результаті поглинання енергії амплітуда всіх хвиль на інтервалі l послаблюється в е^{- a l} раз, де a – коефіцієнт поглинання, який визначає здатність порід гасити коливання (м^-1).

Внаслідок спільного впливу розбіжності і переломлення хвилі, а також поглинання її енергії амплітуда коливань головних хвиль у свердловині змінюється з відстанню відповідно виразу:

 

.                              (13)

 

Величина коефіцієнта поглинання a залежить від частоти коливань w. В області ультразвукових частот для всіх порід коефіцієнт поглинання зростає з частотою.