Вывод: Полый круглый вал легче сплошного в 1,56 раза.

=  =  = 0,73.

Вывод: Вал круглого поперечного сечения легче вала прямоугольного сечения в 0,73 раза.

 

Задание №4 для курсового проектирования

«Деформации кручения вала»

     Для стального вала постоянного поперечного сечения, нагруженного внешними крутящими моментами (рис. 3.22), требуется, используя метод сечений, построить эпюру внутренних крутящих моментов M_Z, из условия прочности подобрать размеры круглого, кольцевого и прямоугольного поперечных сечений, если [τ] = 80 МПа, D/d = 1,5, а/ b = 2, где D – наружный диаметр вала, d – внутренний диаметр кольца, а – высота прямоугольного сечения вала, b – ширина прямоугольного сечения вала. В опасном сечении построить эпюры касательных напряжений τ и сравнить массы валов.

 

Вариант схемы вала рис.3.22	Значения параметров
	M, кНм	ℓ1, м	ℓ2, м	ℓ3, м
1,15	80	1,0	0,8	1,2
2,16	40	1,5	0,5	1,0
3,17	10	1,8	1,2	1,0
4,18	20	1,0	1,8	1,2
5,19	30	0,5	1,5	1,0
6,20	30	1,2	0,8	1,0
7,21	60	1,0	1,5	0,5
8,22	70	1,2	1,0	0,8
9,23	40	1,2	1,4	1,6
10,24	30	0,6	1,6	1,0
11,25	60	1,4	1,2	0,8
12,26	80	1,0	1,2	1,4
13,27	20	0,8	1,5	1,0
14,28	70	1,6	0,6	1,2

 

 

Рис.3.22. Расчетные схемы валов при деформации кручения

 

Рис.3.22 (продолжение). Расчетные схемы валов при деформации кручения

Изгиб стержневых систем

Правило знаков при построении эпюр перерезывающих сил и изгибающих моментов

На балку действуют внешние нагрузки (сосредоточенные силы Р, изгибающий момент М, распределенная нагрузка q), которые вызывают ее изгиб (рис.3.23 а). Если рассечь балку и заменить отсеченную часть внутренними силовыми факторами (перерезывающей силой Q и изгибающим моментом M_И), то их положительное направление будет:

для перерезывающей силы Q – при вращении отсеченной части по часовой стрелке (рис.3.23 б – при рассмотрении правой части, рис. 3.23 в – при рассмотрении левой части);

для изгибающего момента М_И – при сжатии верхних волокон отсеченной части (рис.3.23 б – при рассмотрении правой части, рис. 3.23 в – при рассмотрении левой части).

Для построения эпюр перерезывающих сил и изгибающих моментов необходимо составит уравнения равновесия отсеченной части балки.

 

 

Рис. 3.23. Правило знаков внутренних перерезывающих сил Q  и изгибающих моментов M_И  при деформации изгиба: а – схема нагружения балки; б – при рассмотрении правой части балки; в – при рассмотрении левой части балки

Дифференциальные уравнения равновесия Д. Журавского

Эти уравнения (зависимости) используются для контроля правильности построения эпюр:

1.На незагруженном участке балки (q_z = 0; q_y = 0) нормальная сила N и перерезывающая силы Q_y постоянны; изгибающий момент M_x – прямая линия, возрастающая с ростом z,  если угловой коэффициент в уравнении M_x – сила Q_y > 0, и убывающая, если Q_y < 0. В этом случае следует

N = const, Q_y = const, M_x = Q_y z + C,

где С – постоянная интегрирования.

2.На равномерно загруженном участке (q_z= const; q_y = const)эпюры  – прямые линии, возрастающие с ростом , если q_z < 0; q_y < 0, и убывающие, если q_z > 0; q_y > 0. Эпюра моментов – квадратичная парабола, принимающая экстремальное значение (max либо min) в сечении, где  Q_y  = 0, и обращенная выпуклостью к стрелкам распределенной нагрузки  q_y  (по правилу зонтика и дождика). Тогда получаем

   Условие экстремума эпюры  имеет вид:

откуда находим координату  соответствующего сечения. Знак в производной  определяет кривизну графика эпюры изгибающих моментов.

Условие прочности при изгибе:

,

где  - максимальный изгибающий момент;  - момент сопротивления сечения.

   Для круглого поперечного сечения:     .

   Для прямоугольного поперечного сечения: ,

где b, h – соответственно ширина и высота поперечного сечения.

Условие прочности балки по касательным напряжениям (формула Д.Журавского):

,

где Q^max – максимальное значение перерезывающей силы; S^max – максимальный статический момент инерции сечения, J_х – момент инерции сечения, b – ширина сечения.

Для балки прямоугольного сечения формула принимает вид

.

 

Пример 6. Деформация изгиба балки

    Для балки постоянного поперечного сечения (рис. 3.24 а), используя метод сечений, построить эпюры внутренних перерезывающих сил Q_y и внутренних изгибающих моментов М_х. Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать размеры круглого поперечного сечения, если [σ] = 210 МПа. В опасном сечении банки построить эпюру нормальных напряжений.

Дано:

q = 10 кН/м; Р = 80 кН; М = 20 кН·м, ℓ₁ = 1 м; ℓ₂ = 1,8 м; ℓ₃ = 1,2 м;

[σ] = 210 МПа.

Решение:

1. Определение опорных реакций

Для определения реакций, отбрасываем внешние связи и заменяем их действие внешними силами (рис. 3.24 б).

 Составляем уравнения равновесия:

.

,

откуда

 кН.

,

 откуда

,

кН.

 

 

Рис. 3.24. Пример расчета балки постоянного поперечного сечения при деформации изгиба: а – расчетная схема нагружения; б – расчетная схема для определения опорных реакций; в – эпюра внутренней перерезывающей силы Q_y; г – эпюра внутреннего изгибающего момента M_x;   д – эпюра нормальных напряжений σ_z  в опасном сечении балки

 

Проверка:

.

.

Вывод: уравнение равновесия выполняется, решение верно.

2. Построение эпюры перерезывающих сил Q_y и изгибающего момента M_x

    Балка имеет три участка (рис.3.25 а), границами которых служат сечения, где приложены внешние сосредоточенные силы Р, силы реакций в опорах Н,V или изгибающие моменты М. Для обнаружения внутренних силовых факторов на этих участках используем метод сечений. Мысленно рассекаем балку на каждом из участков на расстояниях  и рассматриваем равновесие одной из частей рассеченной балки, заменяя действие отброшенных частей перерезывающей силой Q_y и изгибающим моментом M_x.

 

Рис.3.25. Метод сечений для определения внутренней перерезывающей силы Q_y  и внутреннего изгибающего момента M_x:

а – расчетная схема балки; б – определение Q₁ и М₁ ; в – определение Q₂ и М₂; г – определение Q₃ и М₃

         В результате получаем уравнения равновесия:

    Участок АВ () – рис. 3.25 б:

 кН.

.

; .       

    Участок ВС () – рис. 3.25 в:

 кН.

.

;

.

    Участок CD () – рис. 3.26 г:

.

 кН;  кН.

.

; .

 Перерезывающие силы Q_y и изгибающие моменты M_x на каждом из участков известны, что позволяет построить соответствующие эпюры (рис. 3. 24в,г). При этом эпюру изгибающих моментов M_x строим на сжатых волокнах. При составлении уравнений равновесия на каждом из участков мы предположили, что сжатыми будут верхние волокна балки. Соответственно, если полученные числовые значения положительны, их откладываем вверх, в противном случае – вниз.

3. Подбор прочного круглого поперечного сечения балки

Условие прочности имеет вид:

,

где  = 80 кН·м = 8000 кН·см; W_x – момент сопротивления сечения.

   Для круглого поперечного сечения:

.

Откуда диаметр опасного сечения:

.

Принимаем d = 158 мм.       

      При найденном диаметре вычислим максимальные нормальные напряжения:

.

На рис. 3.24 д приведена эпюра нормальных напряжений для найденного круглого сечения.

 

Задание №5 для курсового проектирования

«Изгиб стержневых систем»

    Для балки постоянного поперечного сечения (рис. 3.26), используя метод сечений, построить эпюры внутренних перерезывающих сил Q_y и внутренних изгибающих моментов М_х. Из условия прочности по нормальным напряжениям подобрать размеры круглого поперечного сечения, если [σ] = 210 МПа. В опасном сечении банки построить эпюру нормальных напряжений.

 

Вариант схемы балки рис.3.26	Значения параметров
	q, кН/м	P, кН	M, кНм	ℓ1, м	ℓ2, м	ℓ3, м
1,15	40	40	80	1,0	0,8	1,2
2,16	30	50	40	1,5	0,5	1,0
3,17	25	60	10	1,8	1,2	1,0
4,18	15	80	20	1,0	1,8	1,2
5,19	50	10	30	0,5	1,5	1,0
6,20	60	20	30	1,2	0,8	1,0
7,21	20	50	60	1,0	1,5	0,5
8,22	10	60	70	1,2	1,0	0,8
9,23	15	40	40	1,2	1,4	1,6
10,24	25	30	30	0,6	1,6	1,0
11,25	20	60	60	1,4	1,2	0,8
12,26	10	80	80	1,0	1,2	1,4
13,27	25	20	20	0,8	1,5	1,0
14,28	15	70	70	1,6	0,6	1,2

 

 

 

Рис.3.26. Расчетные схемы балок при деформации изгиба

                               

Рис.3.26(продолжение). Расчетные схемы балок при деформации изгиба

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.  Артоболевский, И.И. Теория механизмов и машин: учебник для вузов / И.И. Артоболевский. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1988. 496 с.

2. Левитская, О.Н. Курс теории механизмов и машин / О.Н. Левитская, Н.И. Левитский. М.: Высшая школа, 1985. 279 с.

3. Пузырев, Н.М. Курсовое проектирование по теории механизмов и машин: учебное пособие / Н.М. Пузырев. Тверь: ТГТУ, 2003.120 с.

4. Зубчанинов, В.Г. Сопротивление материалов: учебное пособие / В.Г. Зубчанинов. 2-е изд. Тверь: ТГТУ, 2005. 352 с.

5.  Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. 592 с.

6. Гараников, В.В. Руководство к практическим занятиям по дисциплине «механика» (раздел «сопротивление материалов»): учебн. пос./ В.В. Гараников, В.В. Щелин. 1-е изд. Тверь: ТГТУ, 2012. 208 с.

7. Митюрев, А.А. Краткий курс прикладной механики: учеб. пособие /        А.А. Митюрев, В.В. Гараников, Н.М. Пузырев, А.П. Панасенков. Тверь: Тверской государственный технический университет, 2018. 260 с.

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В ПРИКЛАДНУЮ МЕХАНИКУ……………………… 3