Основы теории машин и механизмов

    Теория машин и механизмов  (ТММ) –   это научная дисциплина об общих методах исследования, построения, кинематики и динамики механизмов и машин и о научных основах их проектирования.

Механизм – это устройство, предназначенное для преобразования движения одних тел (деталей, звеньев) в требуемые движения других тел (деталей, звеньев).

Машина– это техническое устройство, выполняющее преобразова-ние энергии, материалов и информации с целью облегчения физического и умственного труда человека, повышения его качества и производитель-ности.

Кинематический анализ механизма

Синтез механизма – проектирование – имеет значительные трудности теоретического характера, поэтому при выполнении прикладных инженерных задач менее распространен, чем анализ.

Анализ механизма – исследование из ряда типовых, наиболее подходящих механизмов с целью изучения законов изменения их основных параметров и на основе этого выбор из этого ряда известных наилучшего механизма. Как правило, при этом исследуются не сами механизмы, а их схемы. По сравнению с синтезом, анализ механизма более широко используется в практике, поэтому на нём остановимся более подробно.

Цели кинематического анализа:

1.Определение кинематических характеристик звеньев:

-перемещений;

-скоростей;

-ускорений;

-траекторий движения;

-функций положения при известных законах движения входных (ведущих) звеньев.

2.Оценка кинематических условий работы рабочего (выходного) звена.

3.Определение необходимых численных данных для проведения силового, динамического, энергетического и других расчётов механизма.

Задачи кинематического анализа:

1.Задача о положениях звеньев механизма. Определение траекторий движения звеньев или их отдельных точек.

2.Задача о скоростях звеньев или отдельных точек механизма.

3.Задача об ускорениях звеньев или отдельных точек механизма.

Методы кинематического анализа:

1.Графический (или метод графиков и диаграмм).

2.Графоаналитический (или метод планов скоростей и ускорений).

3.Аналитический.

4.Экспериментальный.

2.1.1.Графоаналитический метод кинематического анализа – метод планов скоростей и ускорений.

    Задача о положениях решается графическим методом, то есть

построением нескольких совмещённых планов механизма в выбранном масштабе длин.

Задачи о скоростях и ускорениях решаются построением планов скоростей и ускорений звеньев механизма при определённых (заданных) положениях ведущего звена на основе заранее составленных векторных уравнений скоростей и ускорений звеньев механизма.

Преимущества этого метода по сравнению с графическим методом следующие: он менее трудоёмок, так как позволяет определять скорости и ускорения (их величину и направление) на одном плане скоростей или плане ускорений для множества точек механизма.

Недостатком  этого метода является то, что требуется построить планы скоростей и ускорений для нескольких положений механизма (если необходимо определять скорость и ускорение при различных положениях механизма и, соответственно, его звеньев).

Планы скоростей и ускорений механизма шарнирного четырёхзвенника

Как правило, при решении задач такого типа известны угловая скорость     ведущего звена 1 – кривошипа, длины звеньев и координаты неподвижных точек.

Последовательность решения задачи следующая (рис.2.1):

1). Строится план механизма в выбранном масштабе длин , м/мм,

где l_OA – длина кривошипа, м; AO – длина отрезка, изображающего кривошип на плане механизма, мм.

Для построения плана механизма остальные длины звеньев и координаты неподвижных точек шарнирного четырехзвенника (рис. 2.1) переводятся масштабом длин m _l в отрезки

AB = l _AB / m _l, мм, BC = l_BC / m _l, мм, OC = l_OC / m _l, мм.

2). Составляются векторные уравнения линейных скоростей отдельных точек, принадлежащим звеньям механизма.

Векторное уравнение скоростей для звена 2 (шатуна):

,                                    (2.1)

где  = _АО – скорость точки А, которая равна скорости точки А относительно центра (или оси) вращения кривошипа – точки О;  – вектор относительной скорости точки В шатуна относительно А, он имеет направление, перпендикулярное отрезку АВ на плане механизма.

Векторное уравнение для звена 3 (коромысла):

                                  (2.2)

Так как точка С (центр вращения коромысла 3) неподвижна, то её скорость равна нулю (), а вектор относительной скорости точки В относительно С ( _ВС)   имеет направление, перпендикулярное отрезку ВС на плане механизма.

3). Строится план скоростей механизма. План скоростей – это не что иное, как графическое изображение на чертеже векторных уравнений (2.1) и (2.2) в каком-либо масштабе.

 

Рис. 2.1. Пример плана механизма шарнирного четырехзвенника, планов скоростей и ускорений

План скоростей механизма и его свойства

План скоростей желательно строить рядом с планом механизма (рис. 2.1.).

Предварительно рассчитывается скорость точки А кривошипа 1:

, м/с.

Затем выбирается масштаб плана скоростей m _u по соотношению

, ,

где  – скорость точки А, м/с,    – длина отрезка, изображающего на будущем плане скоростей скорость , выбирается произвольной длины в мм.

  При выборе желательно придерживаться следующих условий: во-первых, чтобы план скоростей разместился на отведённом месте чертежа и, во-вторых, чтобы численное значение масштаба  было удобно для расчётов (другими словами – чтобы  был «круглым числом»).

После этого можно приступать к построению плана скоростей механизма. Его желательно проводить в последовательности, соответствующей написанию векторных уравнений (2.1) и (2.2).

Сначала проводится из произвольно выбранной рядом с планом механизма точки  (полюса плана скоростей) вектор скорости , который перпендикулярен отрезку ОА на плане механизма и имеет длину  , выбранную нами при определении масштаба плана скоростей . Затем через точку a проводится линия, перпендикулярная отрезку АВ плана механизма, а через полюс плана скоростей   – линия, перпендикулярная отрезку ВС. Пересечение этих линий даёт точку b. В соответствии с векторными уравнениями (2.1) и (2.2) на построенном плане скоростей наносятся направления (стрелки) векторов  и . 

 Определим скорость точки К, принадлежащей шатуну 2. Для неё можно записать следующие векторные уравнения скоростей:

Здесь вектор скорости  перпендикулярен отрезку АК на плане механизма, а вектор  – отрезку КВ. Построением этих векторных уравнений получаем точку k на плане скоростей. При этом из точки a плана ускорений проводим линию, перпендикулярную отрезку АК, а через точку b плана ускорений – линию, перпендикулярную отрезку ВК плана механизма. Величину скорости точки К можно вычислить по формуле

,

где  – длина соответствующего вектора на плане скоростей.

Можно заметить, что треугольники на плане скоростей и плане механизма подобны

,

так как стороны их взаимно перпендикулярны. Это свойство можно использовать для определения скорости любой другой точки, принадлежащей какому либо звену механизма. Отсюда следует теорема подобия: отрезки относительных скоростей на плане скоростей образуют фигуру, подобную фигуре соответствующего звена на плане механизма. Стороны фигур взаимно перпендикулярны.

Значения угловых скоростей шатуна 2 и коромысла 3 ассчиты-ваются по формулам

 , c^-1,

, c^-1.

Направления угловых скоростей и  определяются по направле-ниям векторов  и  соответственно. Для этого необходимо вектор  условно перенести в точку В плана механизма и посмотреть, куда он будет вращать шатун 2  относительно точки А. В ту сторону и будет направлена угловая скорость шатуна  .

Аналогично поступают со скоростью  _ВА, условно перенеся ее в точку В  плана механизма и наблюдая, в каком направлении будет вращаться коромысло относительно точки С. Туда и будет направлена угловая скорость .

План ускорений механизма и его свойства

План ускорений желательно строить рядом с планом механизма.

Последовательность построения плана ускорений рычажного механизма аналогична построению плана скоростей. Рассмотрим её на примере механизма шарнирного четырехзвенника (рис.2.1). Примем угловую скорость кривошипа 1 постоянной (w ₁ = const, что является наиболее распространённым и рациональным видом движения в реальных механизмах).

Векторное уравнение ускорений для звена 1 (кривошипа ОА):

где нормальная составляющая ускорения точки A относительно O

рассчитывается по формуле

.

Вектор  параллелен отрезку ОА на плане механизма. Тангенциальная составляющая ускорения  рассчитывается по формуле

.

В нашем случае угловое ускорение кривошипа   = 0, тогда

Векторное уравнение ускорений для звена 2 (шатуна AB):

где нормальная составляющая ускорения точки В относительно точки А рассчитывается по формуле

,

Вектор нормальной составляющей ускорения  параллелен отрезку АВ и направлен от В к А, а тангенциальная составляющая ускорения  перпендикулярна АВ.

Векторное уравнение ускорений для звена 3 (коромысла ВС): 

  

где  – ускорение точки С, при этом точка С принадлежит опоре, следовательно, неподвижна и _С = 0, а нормальная составляющая ускорения точки В относительно точки С рассчитывается по формуле

.

Вектор нормальной составляющей ускорения направлен парал-лельно отрезку ВС плана механизма от   В к С, а вектор тангенциальной составляющей ускорения  – перпендикулярно отрезку ВС.

Выбираем масштаб плана ускорений: , , где Р_аа^’ – длина отрезка, изображающего ускорение на плане ускорений. Его длина выбирается произвольно из расчета, чтобы, во-первых, план ускорений разместился на отведенном месте чертежа и, во-вторых, чтобы численное значение μ_а было удобным для расчетов (другими словами – чтобы μ_а был круглым числом). Тогда ускорение ⁿ _ВА будет изображаться на плане ускорений вектором, имеющим длину , мм, а ускорение ⁿ _ВС – вектором длиной , мм. Затем строится план ускорений (рис.2.8) с использованием составленных векторных уравнений ускорений, в следующей последовательности. 

Из произвольно выбранного полюса плана ускорений   Р_а параллельно отрезку ОА плана механизма проводится вектор ускорения , длина которого Р_аа′ была выбрана произвольно при расчете масштаба μ_а. Из конца этого вектора (точки а’) проводится вектор ускорения  длиной а′ n ₂, который должен быть параллелен отрезку АВ плана механизма и направлен от точки В к точке А. Перпендикулярно ему через точку n ₂ проводят прямую. Затем из полюса Р_а проводят вектор ускорения  длиной Р_а n ₃. Перпендикулярно ему через точку n ₃ проводят прямую до пересечения с прямой, проведенной через точку n ₂ перпендикулярно отрезку АВ. Точка пересечения обозначается буквой b ′, которая, будучи соединена с полюсом Р_а, образует отрезок Р_а b ′, изображающий вектор полного ускорения точки В.

Используя план ускорений, можно вычислить значения ускорений:

,

Можно записать так:   

где w ₂ и e ₂ – значения угловой скорости и углового ускорения шатуна 2 соответственно. Из этого уравнения следует

В этом уравнении w ₂ и e ₂ не зависят от выбора (расположения) полюса Р_а  плана ускорений, а отношение масштабов постоянно m _l / m _a = const  для данного плана ускорений. Поэтому для любой точки (например К, принадлежащей шатуну) можно записать пропорции

Отсюда формулируется теорема подобия: отрезки полных относительных ускорений на плане ускорений образуют фигуру, подобную соответствующей фигуре звена на плане механизма.

Величину ускорения точки К можно вычислить по формуле

Угловые ускорения звеньев:

шатуна:  c^-1, – направление углового ускорения  определяется по направлению вектора тангенциальной составляющей ускорения ^t _ВА;

коромысла:  c^-1; направление углового ускорения   определяется по направлению вектора тангенциальной составляющей ускорения ^t _{В C}.

Так как угловая скорость  и угловое ускорение  направлены в противоположные стороны, вращение шатуна 2 является замедленным.

Силовой анализ механизмов

При проведении силового анализа решаются две основные задачи:

1. Определение  сил реакций в кинематических парах механизмов, находящихся под действием заданных внешних сил. Эти реакции затем используются для расчета звеньев и элементов кинематических пар (подшипников, например) на прочность, жесткость, долговечность и т. д.

2. Определение уравновешивающей силы  или уравновешива-ющего момента , приложенных к ведущему звену. Они уравнове-шивают внешние силы, приложенные к механизму. Эти величины нужны, например, для выбора двигателя, приводящего в движение данный механизм.

Силы, действующие в механизмах

Различают две большие группы сил:

1. Движущие силы    или моменты движущих сил , которые:

совершают положительную работу;

направлены в сторону скорости точки приложения силы или под острым углом к ней;

задаются посредством механической характеристики двигателя.

2. Силы сопротивления и моменты сил сопротивления , которые:

совершают отрицательную работу;

направлены противоположно скорости.

Они подразделяются на силы:

полезного сопротивления  и их моменты   (например, силы тяжести при подъеме груза);

вредного сопротивления:

а) трения в кинематических парах;

б) сопротивления среды (жидкости, воздуха);

в) внутреннего сопротивления (например, силы упругости звеньев).

Кроме того, существуют силы веса , где r – плотность материала, V – объем звена детали; силы инерции  и моменты от сил инерции , где m, J_S – масса и массовый  момент инерции звена;  – линейное и угловое ускорения; силы реакций в кинематических парах .  

Силы инерции звеньев и моменты от сил инерции

Из теоретической механики известно, что все силы инерции звена, совершающего плоскопараллель­ное движение и имеющего плоскость симметрии, па­раллельную плоскости движения, могут быть сведены:

к силе инерции , приложенной в центре масс S звена, и к паре сил инерции, момент которой обозначим :

 – главный вектор сил инерции, который в дальнейшем будем называть силой инерции.

 – главный момент сил инерции, который в дальнейшем будем называть моментом сил инерции, где m – масса звена, J_S – массовый момент инерции относительно центра масс,  – ускорение центра масс,  – угловое ускорение звена.

Знаки «минус» показывают, главный вектор сил инерции  и главный момент сил инерции  направлены в стороны, противопо-ложные ускорениям  и  соответственно.

Удобно для дальнейших расчетов заменить  и  одной силой. Для этого можно использовать метод переноса силы  на плечо  (рис. 2.2). При этом момент сил инерции  заменяется парой сил  с плечом h_u (см. рис. 2.2), причем одна из этой пары сил приложена к центру масс звена S и направлена противоположно преобразуемой силе , а другая сила смещена на плечо h_u и приложена к точке К. Здесь К – центр качания звена.

Рис. 2.2. Перенос силы на плечо

при замене силы и момента силы одной силой

Статическая определимость кинематической цепи

При силовом анализе механизмов (определении неизвестных сил, действующих на движущиеся звенья) можно использовать уравнения (законы) статики. Это положение докажем ниже.

Проанализируем реакции в кинематических парах (табл. 2.1).

Таблица 2.1.Виды кинематических пар 5-го и 4-го классов

Кинематические пары 5-го класса	Равновесие каждого звена	Известные параметры	Неизвестные параметры
Вращательная		Точка приложения	Величина, направление
Поступательная		Направление	Величина, точка приложения
Кинематические пары 4-го класса		Направление,  точка приложения	Величина

 

Из приведенной таблицы следует, что в кинематических парах 5-го класса известен лишь один параметр  сил реакций, неизвестны два.            В кинематических же парах 4-го класса известны два параметра, а неизвестен один.

Таким образом, плоская кинематическая цепь, состоящая из кинематических пар 5-го и 4-го классов, имеет 2 Р ₅ + Р ₄ неизвестных величин сил реакций. Здесь Р₅ и Р₄  - численность кинематических пар 5-го и 4-го классов. Как известно из статики, для одного звена в плоскости можно составить 3 уравнения равновесия, а для n звеньев – 3 n уравнений статики.  

Кинематическая цепь будет статически определима, если число неизвестных величин сил реакций не превышает числа возможных уравнений статики, то есть

3 n = 2 P ₅ + Р ₄.

Это есть условие статической определимости кинематической цепи.     

Полученное равенство можно записать в следующем виде:

3 n – 2 Р ₅ – Р ₄ = 0.

Но запись слева от знака равенства является числом степеней свободы кинематической цепи W, то есть

W = 3 n – 2 Р ₅ – P ₄ = 0.

Как известно из разделов о структуре механизмов (см. п. 2.1 и         п. 2.2), таким свойством (W = 0) обладают структурные группы (или группы Ассура).

То есть группы Ассура являются статически определимыми кинематическими цепями.

Поэтому метод силового анализа, приведенный ниже, называется кинетостатическим, так как для определения сил реакций в кинематических парах, возникающих при движении звеньев, используются уравнения статики.

Порядок (последовательность) силового анализа рычажного механизма:

1).Выделяем из механизма последнюю (крайнюю, наиболее удаленную от ведущего звена) структурную группу и проводим ее силовой расчет, используя уравнения статики.

2). Выделяем из механизма следующую структурную группу и проводим ее силовой расчет.

3). Силовой расчет заканчиваем силовым расчетом ведущего звена.

     Например, пусть задан шестизвенный рычажный механизм (рис. 2.3).

Механизм состоит из начального механизма (звенья 0 и 1) и структурных групп, образованных звеньями 2 и 3 (двухповодковая структурная группа 2-го класса 1-го вида) и звеньями 4, 5 (структурная группа 2-го класса 2-го вида). 

 

Рис. 2.3. Шестизвенный рычажный механизм

Последовательность силового анализа механизма

1).Проводим силовой расчет структурной группы 4–5 (то есть определяем неизвестные реакции, если известны внешние силы, действующие на звенья 4 и 5):

2).Проводим силовой расчет структурной группы 2–3:

 

3).Проводим силовой расчет ведущего звена 1:

2.2.1. Силовой анализ характерной структурной группы  2-го класса  1-го вида

Дано: Внешние силы инерции  и , а также точки их приложения К ₂ и К ₃.

Найти: Реакции в кинематических парах А, В и С (рис. 2.4).

Рис. 2.4. План структурной группы 2-го класса 1-го вида                                                                                     

Решение:

1).Строим структурную группу в масштабе длин m _L (см. рис. 2.4).

2).Наносим на нее все внешние силы и .

3).В кинематических парах А и С действие отброшенных звеньев (например, кривошипа 1 и стойки 0) заменяем силами реакций  и , разложив каждую из них на нормальную и тангенциальную составляющие: 

4).Составляем уравнение равновесия структурной группы:

(2.3)

5).Вычисляем величины тангенциальных сил. Для этого используем условие, что моменты сил относительно точки В, приложенные к звеньям    2 и 3, равны нулю:

Следует учитывать, что если в процессе решения эти тангенциальные силы получились с отрицательным знаком, то на плане структурной группы их предварительно выбранное направление следует поменять на противоположное.

6).Неизвестные  и  находим путем графического изображения векторного уравнения (2.3) в масштабе, то есть строим план сил структурной группы.

Для построения плана сил выбираем масштаб плана сил: , Н/мм, где  – длина вектора в мм, изображающего силу  на плане сил, выбирается произвольно. При выборе учитываются два условия: чтобы план сил разместился на отведенном месте чертежа, а масштаб был удобен для расчетов («круглое» число).

Переводим (пересчитываем) силы уравнения (2.3) в векторные отрезки с длинами: , мм; , мм;  мм.

Тогда уравнение (2.3) запишется в виде

.           (2.4)                              

Построение плана сил ведем в последовательности написания уравнения (2.4), рис. 2.5.

 

Рис. 2.5. План сил структурной группы

7).Вычисляем величины сил реакции:    

где длины отрезков  и  берем в мм из плана сил (рис.2.5).

8).Определяем силу реакции в кинематической паре В, для этого состав-ляем векторное уравнение равновесия шатуна 2 или коромысла 3, например, условие равновесия шатуна 2 можно записать в виде

,                              (2.5)

где – сила реакции в кинематической паре В.

Так как силы  и  известны, то, построив план сил шатуна 2           (рис. 2.6), т.е. графически изобразив уравнение (2.5), получим направле-ние силы реакции  и её величину

	Начало

 

Рис. 2.6. План сил шатуна 2

      2.2.2. Силовой анализ ведущего звена

Вариант: ведущее звено – зубчатое колесо или кривошип.

На изображенном плане кривошипа 1 (рис. 2.7) сила реакции в кинематической паре А .

 

 

Рис. 2.7. План кривошипа 1 с приложенными силами

Силу реакции  берем из силового анализа, проведенного ранее для присоединенной к кривошипу 1 структурной группы. Сила реакции  || OA (исходя из теоремы о трех силах, в соответствии с которой линии сил, действующих на тело, находящееся в равновесии, пересекаются в одной точке. В данном случае это точка А.

 

Условие равновесия ведущего звена 1 (кривошипа):

.                            (2.6)

Строим план сил кривошипа 1 в масштабе  (рис. 2.8).

Записываем уравнение равновесия (2.6) в виде векторных отрезков:

.                               (2.7)

Уравновешивающая сила вычисляется по формуле

,                                           (2.8)

реакция в кинематической паре О – по формуле

,                                      (2.9)

где величины и берутся измерением на плане сил (см. рис. 2.8).

 

Рис. 2.8. План сил кривошипа 1

Пример 1.Кинематический  и  силовой  анализ  механизма     шарнир-ного  четырехзвенника

    Для механизма шарнирного четырёхзвенника, положение звеньев которого задано углом поворота кривошипа φ ₁ = 30° (рис. 2.9), выполнить структурное, кинематическое и силовое исследование.

Рис. 2.9. Структурная схема механизма шарнирного четырёхзвенника

 

Дано:  частота вращения кривошипа n ₁ = 450 об/мин; линейные размеры звеньев механизма: l_AB = 0,29 м, l_{B С} = 1,4 м, = 0,75 м, l _{С D} = 0,58 м,  = 0,29 м, l_AD = 1,5 м, l_EF = 0,29 м, l _СЕ = 0,55 м, h = 0,18 м; силы веса звеньев: G ₂ = 60 Н, G ₃ = 50 Н; сила полезного сопротивления P _п.с. = 145 Н, приложенная к коромыслу 3 в точке С, противоположно её скорости .

   Кинематическое исследование выполнить графоаналитическим методом.           

     Силовой анализ начального механизма выполнить двумя способами:

1. С помощью плана сил.

2.  С помощью теоремы о «жёстком» рычаге Н.Е. Жуковского.

Решение:

 Структурный анализ механизма

    Заданный механизм состоит из неподвижного звена – стойки  и трёх подвижных звеньев – кривошипа АВ, шатуна ВС и коромысла CD. Стойка представлена двумя шарнирно-неподвижными опорами А и D. На структурной схеме механизма (рис. 2.9) элементы стойки обозначены цифрой 0, а подвижные звенья – цифрами 1, 2, 3 соответственно. 

    Кривошип 1 со стойкой 0 образуют вращательную кинематическую пару (т.е. подвижное соединение двух звеньев) А. Шатун 2 образует вращательную кинематическую пару В с кривошипом 1. Коромысло 3 образует вращательную кинематическую пару С с шатуном 2 и вращательную кинематическую пару D со стойкой 0.

    Результаты структурного анализа механизма шарнирного четырехзвенника оформим в виде схемы (рис.2.10) и таблицы кинемати-ческих пар (табл.2.2):

   

                                    а                                               б

Рис. 2.10. Структурные группы механизма:

  а – двухповодковая; б – начальный механизм                                                       

 

Таблица 2.2. Кинематические пары механизма

№ пары	Наименование пары	Звенья пары	Вид пары	Класс  пары
1	А	0 – 1	вращательная	5
2	B	1 – 2	вращательная	5
3	C	2 – 3	вращательная	5
4	D	0 – 3	вращательная	5

    

Число степеней свободы механизма определим с помощью формулы Чебышева:

W = 3· n – 2· Р₅ – Р₄.

    Согласно структурной схеме число подвижных звеньев n = 3. Согласно таблице структурного анализа число кинематических пар 5-го класса Р₅ = 4, кинематические пары 4-го класса отсутствуют.

 Тогда число степеней свободы механизма:

W = 3·3 – 2·4 – 0 = 1.

   Число 1 указывает, что данный механизм имеет одно ведущее звено, входящее в начальный механизм. Начальный механизм образован кривошипом 1 и стойкой 0 (см. рис. 2.10 б). В структуру заданного механизма  также  входит  двухповодковая  структурная группа, состоящая из шатуна 2 и коромысла 3 (см. рис. 2.10 а).

Кинематический анализ механизма

1.Построение плана положений звеньев механизма (плана механизма)

   Перед построением плана  механизма (рис.2.11) выполним необходимые расчёты.

    Пусть кривошип 1 на плане механизма будет представлен отрезком

АВ = 29 мм. Тогда масштабный коэффициент плана механизма:

μ_l = l_AB / AB = 0,29/ 29 = 0,01 м/мм.