Вывод : сечение в точке в  бруса расположено неподвижно в заделке, также, как и сечение в точке а, оно не может смещаться и его перемещение равно нулю.

Задание №3 для курсового проектирования

«Статически неопределимая задача деформации растяжения-сжатия»

Для бруса (рис.3.18), имеющего различные площади поперечных сечений участков и находящегося под действием продольных сил, используя метод сечений, построить эпюру нормальных сил N(y). Из условия прочности определить размеры поперечных сечений. Построить эпюры нормальных напряжений σ(y) и абсолютных деформаций отдельных участков бруса Δℓ(y). Провести  анализ напряженного состояния для опасных сечений. Принять материал стержня – сталь с допускаемым напряжением [σ]=140 МПа и  модулем продольной упругости Е=2·10⁵ МПа.

 

 

 

 

 

Рис.3.18. Расчетные схемы балок переменного сечения при деформации растяжения-сжатия

Деформация кручения  вала

Правило знаков при построении эпюр крутящих моментов

     Вал нагружен внешними крутящими моментами M(рис. 3.19 а). Если рассечь вал и заменить отсеченную часть внутренним крутящим моментом M_Z, то крутящий момент M_Z считаем положительным, если его вращение происходит против часовой стрелки, если смотреть на него со стороны внешней нормали к сечению (рис.3.19 б – при рассмотрении правой части, рис. 3.19 в – при рассмотрении левой части). Для построения эпюры внутренних крутящих моментов M_Z необходимо составить уравнение равновесия отсеченной части вала.

 

 

Рис. 3.19. Правило знаков внутренних крутящих моментов M_Z  при деформации кручения: а – схема нагружения вала; б – при рассмотрении правой части вала; в – при рассмотрении левой части вала

 

Условие прочности при кручении вала с круглым поперечным сечением:

,

 

где   – допускаемое касательное напряжение; – полярный момент сопротивления сечения.

Для круглого поперечного сечения: .

Для кольцевого поперечного сечения: .

Условие прочности при кручении вала с прямоугольным поперечным сечением:

,

 

где а – большая сторона прямоугольника; b – малая сторона прямоуголь-ника; α – коэффициент, который зависит от отношения сторон а/ b.

Угол поворота поперечного сечения стержня

φ =φ⁰+ ,

где φ⁰ – угол поворота левого торцевого сечения в начале координат, G ⋅ – жесткость при кручении; G – модуль сдвига Кулона;  – полярный момент инерции сечения.

Если  = const  , то φ = φ ⁰ +    .

Если сечение прямоугольное, то формула принимает вид

φ = φ ⁰ +  .

где β – коэффициент, который зависит от отношения сторон а/ b.

Числовые значения коэффициентов α и β приведены в таблице 3.1.

 

  Таблица 3.1. Значения коэффициентов α, β, γ

a/b	1	1,5	1,75	2	3	5	10	∞
α	0,208	0,231	0,239	0,246	0,276	0,299	0,313	1/3
β	0,141	0,196	0,214	0,229	0,263	0,299	0,313	1/3
γ	1	0,859	0,820	0,795	0,753	0,743	0,742	0,742

 

Пример 5. Деформация кручения вала

     Для стального вала постоянного поперечного сечения, нагруженного внешними крутящими моментами (рис. 3.20 а), требуется, используя метод сечений, построить эпюру внутренних крутящих моментов M_Z, из условия прочности подобрать размеры круглого, кольцевого и прямоугольного поперечных сечений, если [τ] = 80 МПа, D/d = 1,5. В опасном сечении построить эпюры касательных напряжений τ и сравнить массы валов.

Дано:

ℓ₁ = 1 м; ℓ₂ = 1,8 м; ℓ₃ = 1,2 м; М = 20 кН·м; [τ] = 80 МПа; D/d = 1,5;

a / b = 2; G = 0,8·10⁵ МПа.

Решение:

1. Определение опорного момента в заделке А

     Уравнение равновесия вращающих моментов, относительно оси , имеет вид:

Откуда  кН·м.

2. Определение внутренних вращающих моментов  методом сечений и построение эпюры

     Стержень имеет три участка, границами которых служат сечения, где приложены внешние моменты . Для обнаружения вращающих моментов на этих участках используем метод сечений. Мысленно рассекаем стержень на каждом из участков на расстояниях  и рассматриваем равновесие одной из частей рассеченного стержня, заменяя действие отброшенных частей внутренними вращающими моментами  (рис. 3.21 а).

     В результате получаем уравнения равновесия:

Участок АВ () – рис. 3.21 б:

; . Откуда

Участок ВС () – рис. 3.21 в:

; . Откуда

Участок CD () – рис. 3.21 г:

; .

Откуда .

. .

     Вращающие моменты на каждом из участков известны, что позволяет легко построить эпюру вращающих моментов (см. рис. 3.20 б).

     Максимальный вращающий момент .

 

 

Рис. 3.20. Пример расчета вала постоянного поперечного сечения, нагруженного внешними крутящими моментами М: а – расчетная схема нагружения; б –  эпюра внутренних крутящих моментов  M_Z по длине z вала; в – эпюра угловых перемещений поперечных сечений вала φ (z); г – эпюра касательных напряжений вала круглого поперечного  сечения; д – эпюра касательных напряжений вала кольцевого поперечного сечения; е – эпюра касательных напряжений вала прямоугольного поперечного сечения

 

 

 

Рис. 3.21. Метод сечений для определения крутящих моментов М_Z:

а – расчетная схема вала; б – определение М_Z1 ; в – определение М_Z2;

г – определение М_Z3

 

3. Подбор сечения вала из условия прочности

     Условие прочности для вала круглого поперечного сечения имеет вид:

,

откуда  полярный  момент  сопротивления  сечения:

 м³.

Определяем размеры круглого поперечного сечения

 м.

Принимаем d = 157 мм.

 

 

     Определяем размеры кольцевого поперечного сечения

 м.

Принимаем D = 169 мм; d = D/1,5 = 169/1,5 = 113 мм.

     Условие прочности для вала прямоугольного поперечного сечения имеет вид: ,

откуда с учетом, что   а = 2 b, получаем

 м.

Принимаем b = 115 мм; а = 2 b = 2·115 = 230 мм.

4. Построение эпюры угловых перемещений для вала круглого поперечного сечения (d = 157 мм)

     Угловые перемещения сечений определяются по формуле

,

где J_p - полярный момент инерции

.

GJ_p – крутильная жесткость вала

.

     Определяем угловые перемещения сечений, начиная с неподвижного закрепленного конца. Сечение А расположено в заделке, оно не может поворачиваться и его угловое перемещение равно 0.

.

Сечение В:  рад.

Сечение С:  рад.

Сечение D:

5. Построение эпюр касательных напряжений

      Для круглого поперечного сечения:

.

Эпюра касательных напряжений вала круглого поперечного сечения приведена на рисунке 3.20 г.

     Для кольцевого поперечного сечения:

 

.

Напряжения на внутреннем кольце сечения:

 

Эпюра касательных напряжений вала кольцевого поперечного сечения приведена на рисунке 3.20 д.

     Для  прямоугольного поперечногое сечения:

=  =  =  = 40,1⋅  = 40,1 МПа,

 = γ ⋅  = 0,795 ⋅ 40,1 = 32 МПа.

Эпюра касательных напряжений вала прямоугольного поперечного сечения приведена на рисунке 3.20 е.

6. Сравнение масс валов различных поперечных сечений

     Массы валов круглого и кольцевого сечений относятся как площади

их поперечных сечений.

    Площадь круглого сечения – .

     Площадь кольцевого сечения – .

     

Площадь прямоугольного сечения – F_пр = a ⋅ b.

.