Задача 5. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки при сложном движении

 

На рис. 15 (а, б, в) показано тело, совершающее вращательное движение по закону j _е = f ₁(t). По поверхности этого тела перемещается точка М по закону S_r = f ₂(t). В момент времени t = t ₁ найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М. Исходные данные приведены в таблице 8. Положение точки М показано при положительном значении естественной координаты ОМ.

Указания

В задаче рассматривается сложное движение точки.

Согласно теореме о сложении скоростей абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей:

.

Величина абсолютной скорости:

.

Согласно теореме о сложении ускорений абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:

.

    Величина абсолютного ускорения определяется по проекциям на оси выбранной системы координат.

Алгоритм решения задач:

1. Выбрать точку, движение которой рассматривается как сложное. Разложить абсолютное движение точки на относительное и переносное. Дать характеристику обоим движениям.

2. Выбрать подвижную и неподвижную системы отсчета.

3. Определить положение точки в заданный момент времени .

4. Определить абсолютную скорость точки при .

5. Определить абсолютное ускорение точки при .

Для расчетов абсолютной скорости и абсолютного ускорения необходимо выполнить отдельные рисунки.

Пример решения задач

Пластина вращается вокруг горизонтальной оси по закону , рад. По криволинейному каналу радиуса R = 30 см, перемещается точка М по закону S_r = OM = 2,5p t ², см (см. рис. 14 а). В момент времени t₁ = 2 с найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки.

Решение:

Рис. 14, а

Рассмотрим сложное движение точки М. Относительным движением точки М является движение точки по дуге окружности радиусом R. Переносным движением системы является вращательное движение пластины вокруг горизонтальной оси. Переносным движением точки М является движение по окружности радиусом R_e в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Подвижную систему отсчета связываем с пластиной, неподвижную – с опорами оси вращения.

Находим положение точки на пластине при t₁ = 2 с:

OM₁ = 2,5pt₁² = 2,5p·2² = 10p см; 60º.

Определяем абсолютную скорость точки М ₁ (рис. 14 а):

.

Здесь, относительная скорость точки М ₁: , см/с.

При t₁ = 2 с.  см/с. Так как , вектор  направлен в сторону положительного отсчета координаты .

Переносная скорость точки М ₁: .

Здесь: = , с^-1 – угловая скорость пластины.

При t₁ =2 с. =  с^-1. Так как >0, направление вращения  совпадает с направлением .

 см.

 см/с,  и направлен в сторону вращения , то есть перпендикулярно плоскости чертежа (вдоль оси x).

Так как вектора  и  перпендикулярны друг другу, то

= =  см/с.

Определяем абсолютное ускорение точки M ₁ (рис. 14 б):

Относительное ускорение складывается из касательного и нормального ускорений: .

= = 15,71 см/с².

Так как , вектор  направлен в сторону положительного отсчета координаты .

= =  см/с².

Переносное ускорение складывается из вращательного и центростремительного ускорений:  .

;

где = , с^-2 – угловое ускорение пластины.

При t ₁ = 2 с  с^-2. Так как >0, направление вращения  совпадает с направлением .

 см/с²,

 и направлен в сторону вращения , т.е. перпендикулярно плоскости чертежа (вдоль оси x).

Рис. 14, б

=  см/с².

Кориолисово ускорение: , где .

=  см/с².

Вектор  направлен согласно правилу Жуковского или векторного произведения, т.е. перпендикулярно плоскости чертежа (вдоль оси x).

Таким образом, векторное равенство для определения абсолютного ускорения имеет вид:

 .

Проецируем его на оси системы координат М ₁ xyz:

a_x = a_e ^вр + a_c = 623,52 + 596,6 = 1220,12 см/с²;

a_y = – a_r ^t sin60^o – a_rⁿ cos60^o = –15,71·0,866 – 32,87·0,5 = –30,04 см/с²;

a_z = –a_e ^ц + a_r ^tcos60^o – a_rⁿ sin60^o= –9378,78+15,71·0,5–32,87·0,866 =

= –9399,39 см/с².

 = =  см/с².

Ответ: =  см/с, a =  см/с².

 

	4
	6

Рис. 15, а

 

11	12
	14
15	16
19

Рис. 15, б

 

21
	30

Рис. 15, в

 

Таблица 8

№ Вар.	Уравнение переносного движения j e = f 1(t), рад	Уравнение относительного движения Sr = f 2(t), см	R, см	a, см	a, град.	t 1, c
1			40	–	–	1
2			–	–	30	1
3			–	–	–	2
4			50	–	–	1
5			–	30	60	1
6			20	–	30	1
7			–	–	30
8			–	20	–	1
9			–	25	–	1
10			–	20	–	1
11			30	–	–	1
12			20	–	–
13			30	–	–	1
14			–	–	60
15			30	20	–	1
16			30	–	–	2
17			30	–	–	1
18			20	30	–	1
19			–	–	45
20			–	–	–	1
21			40	–	–	2
22			–	–	30	1
23			30	–	–	2
24			–	30	45	2
25			30	–	–	2
26			–	10	60
27			20	20	–	1
28			18	–	–	2
29			–	30	60
30			40	–	–	2

 

 

Раздел «Динамика»