Задача 8. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к исследованию движения механической системы

Механическая система находится в вертикальной плоскости и приводится в движение силой  из состояния покоя. Учитывая трение скольжения и трение качения, определить скорость груза 1 в тот момент, когда он пройдет путь S = 2 м. Расчетные схемы представлены на рис. 20 (а, б, в). Исходные данные приведены в таблице 10. Нити, соединяющие тела системы, считать невесомыми и нерастяжимыми. Тела, для которых радиус инерции ρ не указан, следует считать однородными дисками.

У казания

В этой задаче для динамического расчета механической системы используется теорема об изменении кинетической энергии:

,

Здесь: Т и Т ₀ – кинетическая энергия системы в текущий и начальный моменты времени. Так как движение начинается из состояния покоя, Т ₀ = О.  и  – суммы работ внешних и внутренних сил. Так как система неизменяемая, то = 0_. Таким образом, .

Для тела, совершающего поступательное движение, , где т и V – масса и скорость тела. При вращательном движении , где I – момент инерции тела относительно оси вращения, ω –угловая скорость тела. Для тела, совершающего плоское движение, , где  – скорость центра масс тела,  – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Перемещения катка и шкива нужно выразить через перемещение груза 1, составив уравнения связи этих тел, и подставить полученные соотношения в выражение суммы работ внешних сил. Угловые скорости катка и шкива и скорость центра масс катка нужно выразить через скорость груза, дифференцируя по времени уравнения связи, и получить кинетическую энергию системы как функцию скорости груза.

    Пример решения задачи

Механическая система начинает движение из состояния покоя под действием силы F = 2кН, приложенной к грузу 1 (см. рис. 19). Определить скорость груза 1 в тот момент, когда он переместится на величину S ₁ = 2 м.

m ₁ = 300 кг, m ₂ = 200 кг, m ₃= 100 кг, R ₂ = 0,6 м, r ₂ = 0,2 м, R ₃ = 0,4 м, ρ₂=0,5 м, f =0,3, δ =0,2 см, α = 30º, β = 60º.

Рис. 19

    Решение:

Составим уравнения связи груза 1, шкива 2 и катка 3:

; ;

Определим кинетическую энергию системы в текущий момент времени, т. е. когда груз 1 пройдет путь S₁:

Т = Т ₁ + Т ₂ + Т ₃.

Здесь:  – кинетическая энергия груза 1;  – кинетическая энергия колеса 2;  – кинетическая энергия катка 3.

Дифференцируя по времени уравнения связи, получим:

; ; .

Подставляя эти соотношения в уравнение теоремы, получим

Находим сумму работ внешних сил системы:

= A ()+ A ()+ A ()+ A ()+ A ().

Здесь: ; ; ; ; .

Подставив в уравнение работ s ₃ и φ₃, выраженные через s ₁, получим:

Находим скорость груза V ₁:

227,78 =4948,16.

=4,66 м/с.

 

Рис. 20, a

 

 

Рис. 20, б

 

Рис. 20, в

Таблица 10

№ Вар.	m 1,  кг	m 2,  кг	m 3,  кг	R 2, м	r 2, м	R 3, м	r 3,  м	ρс2,   м	ρс3,   м	f	δ, cм	F, H
1 2 3 4 5 6 7 8 9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30	100  50 50 300 100 400 100 200 100 100 100 200 100 300 100 150 200 200 150 150 100 100 100 200 100 200 300 200 100 200	200 150 100 100 150 100 100 100 100 100 100 300 100 200 200 300 250 200 100 300 200 200 100 200 50 300 100 100 200 300	300 200 300 200 300 200 300 100 300 200 300 500 200 100 300 100 150 100 300 200 200 300 300 100 50 100 150 200 300 100	0,6  0,6  0,6  0,6  0,6  0,5  0,5  0,5  0,6  0,5  0,8  0,5  0,6  0,6  0,6  0,5  0,4  0,5  0,6  0,5  0,6  0,5  0,6  0,6  0,5  0,6  0,4  0,6  0,5  0,6	0,3  0,3  0,3  0,3  0,3 0,25 0,25  0,3  0,2  0,3  0,6  0,3  0,3  0,3  0,3  0,3  0,2  0,3  0,3  0,3  0,3  0,3  0,2  0,3  0,3  0,3  0,2  0,3  0,3  0,3	0,2  0,2  0,4  0,2  0,2  0,2  0,2 0,4  0,5  0,2  0,4  0,2 0,4  0,2  0,2  0,4 0,15  0,2  0,2  0,4  0,4  0,2  0,5  0,4  0,2  0,25  0,15  0,4  0,4  0,2	0,3     0,2 0,2   0,2     0,3   0,2  0,2    0,2  0,2        0,2 0,25	0,5  0,5  0,5  0,4  0,5  0,4  0,4  0,4  0,4  0,4  0,5  0,4  0,5  0,5  0,5  0,4  0,3  0,4  0,5  0,4  0,5  0,4  0,4  0,5  0,4  0,5  0,3  0,5  0,4  0,5	0,35     0,3 0,4   0,3     0,35   0,3  0,3    0,4  0,3        0,3 0,35	0,1  0,2  0,1  0,1  0,2  0,2   0,2      0,3  0,2  0,3  0,2  0,1     0,3   0,2          0,3  0,1  0,2  0.3	0,5  0,6  0,5  0,4  0,6  0,5  0,6  0,4  0,8  0,4  0,8  0,6  0,5  0,4  0,3  0,6  0,5  0,6  0,2  0,5  0,5  0,6  0,8  0,6  0,4  0,8  0,5  0,8  0,6  0,8	3000 1000 1500 1500 1000 1500 2000 2000 2000 2000 2500 2000 3000 2000 2000 2500 1800 2500 3000 1500 2000 2000 2000 3000 3000 500 2500 2000 1500 1500

 

 

 

Список литературы

 

1. Яблонский, А. А. Курс теоретической механики: учебник / А. А. Яблонский, В. А. Никифорова.– М.: Издат. «КноРус», 2010. – 603 с.

2. Никитин, Н. Н. Курс теоретической механики: учебник / H. H. Никитин. – СПб.: Издат. «Лань», 2011. – 718 с.

3. Бутенин, Н. В. Курс теоретической механики: учебник / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц, Д. Р. Меркин. – СПб.: Издат. «Лань», 2009. – 736 с.

 

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Методика выбора варианта контрольных работ. 3

Раздел «Статика». 4

Задача 1. Определение реакций опор тела, находящегося под действием произвольной плоской системы сил. 4

Задача 2. Определение реакций опор составной конструкции. 11

Раздел «Кинематика». 17

Задача 3. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях. 17

Задача 4. Кинематический расчет плоского механизма. 24

Задача 5. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки при сложном движении. 30

Раздел «Динамика». 39

Задача 6. Дифференциальные уравнения движения материальной точки. 39

Задача 7. Исследование поступательного и вращательного движений твердого тела 46

Задача 8. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к исследованию движения механической системы.. 55

Список литературы.. 62

 

 

 

У ч е б н о е и з д а н и е

 

 

Ирина Петровна Вершинина

Виктор Викторович Жога