Разложение функции, заданной на отрезке в ряд Фурье

Если функция продолжена четным образом

Если нечетным

 

 

Ряды Фурье в комплексной форме

 

 

 

Спектральные характеристики периодической функции

-свойство линейности

- свойство дифференцирования

-свойство интегрирования

-спектр смещенной функции

-изменение масштаба

Интегралы по фигуре

Понятие фигуры, её диаметра, меры. Вычисление массы фигуры. Понятие интеграла по фигуре, его свойства и приложения.

“фигура” – отрезок , дугу , плоскую область , поверхность , тело . Отрезок и дугу назовем одномерной фигурой, плоскую область и поверхность – двумерной фигурой, тело – трехмерной фигурой.

Мерой одномерной фигуры длина, мерой двумерной фигуры площадь, мерой трехмерной фигуры объем.

Назовем диаметром фигуры наибольшее из расстояний между ее точками

Вычисление массы фигуры

 

Понятие интеграла по фигуре

Лямда – диаметр фигуры.

Свойства интеграла по фигуре:

· Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов. Выполняется при условии, что обе функции интегрируемы

· Вынесение константы за знак интеграла

· Разбие области на части соответсвует сумме интегралов

· Если подынтегральная функция равна 1, то интеграл по фигуре численно равен мере фигуры

 

Приложения интеграла по фигуре

 

Конкретные виды интеграла по фигуре: криволинейный, двойной, тройной,

Поверхностный.

Мы рассматривали фигуры пяти видов: отрезок, дугу кривой, поверхность, плоскую область и тело. Следовательно, мы получим пять видов интегралов по фигуре:

 

1.  Если фигура (Ф) является отрезком [a,b], то интеграл называют определенным интегралом и обозначают . По определению

 

Здесь x_k – координаты выбранных точек P_k, Dx_k – меры ячеек разбиения, т.е. длины частичных отрезков, d – максимальный из Dx_k.

 

 

2. Если фигура (Ф) является дугой кривой (l), то интеграл по такой фигуре называют криволинейным интегралом 1-го рода и обозначают . По определению

Здесь Dl_k – меры ячеек, в данном случае длины частичных дуг (Dl_k); d – максимальный из diam (Dl_k).

 

 

3. Если фигура (Ф) является поверхностью (s), то интеграл по такой фигуре называют поверхностным интегралом 1-го рода и обозначают  . По определению

Здесь Ds_k – меры ячеек, в данном случае их площади; d – максимальный из diam (Ds_k).

 

 

4. Если фигура (Ф) является плоской областью (S), то интеграл по такой фигуре называют двойным интегралом и обозначают . По определению

Здесь DS_k – меры ячеек, в данном случае их площади; d – максимальный из diam (DS_k).

 

 

5. Если фигура (Ф) является телом (V), то интеграл по такой фигуре называют тройным интегралом и обозначают . По определению

Здесь DV_k – меры ячеек, в данном случае их объёмы; d – максимальный из diam (DV_k).

 

 

Рассмотрим еще одну часто употребляемую форму записи двойного интеграла. Двойной интеграл – это интеграл по плоской области (S). Пусть эта область лежит в плоскости XOY. Так как интеграл не зависит от способа разбиения фигуры на ячейки, то разобьём фигуру на ячейки прямыми, параллельными оси OY, с расстояниями Dx между ними и прямыми, параллельными оси OX, с расстояниями Dy между ними (рис. 19). Тогда площадь любой ячейки, кроме приграничной, равна DS = Dx × Dy. Поэтому dS и интеграл записывают в следующем виде:

dS = dx × dy,

Аналогичная форма записи принята и для тройного интеграла