Абсолютная и условная сходимость

Знакопеременный ряд

называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

Если же знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин расходится, то ряд называется условно сходящимся.

 

Комплексные числовые ряды

Числовым рядом с комплексными членами называется ряд

Где С_n=a_n + ib_n, a и b – действительные числа.

 

1.2 Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

или вида

где x_0, a₀, a₁, a₂,... — действительные числа.

Областью сходимости степенного ряда всегда является некоторый интервал, который, в частности, может вырождаться в точку.

 

Теорема Абеля

1) Если степенной ряд сходится при  , то он абсолютно сходится при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству

2) Если ряд расходится при некотором значении х₀', то он расходится при всяком x, для которого

 

 

Свойства степенных рядов

Пусть дан некоторый степенной ряд (1)

1) Сумма степенного ряда (1) есть функция непрерывная во всех внутренних точках интервалов сходимости ряда

2) Степенной ряд (1) можно почленно интегрировать если пределы интегрирования являются внутренними точками интервала сходимости ряда.

3) Если степенной ряд (1) почленно проинтегрировать на отрезке (-R; R) [0;х] |x|<R,

           то полученный степенной ряд будет иметь тот же радиус сходимости R, что и  степенной ряд (1).

4)  Степенной ряд (1) внутри его интервала сходимости можно почленно дифференцировать сколь угодно раз.

Получаем, что степенные ряды имеют тот же радиус сходимости R, что и ряд (1).

Ряды Тейлора и их применение к вычислению

Значений функции, к вычислению определенных интегралов, к решению

Дифференциальных уравнений.

Пусть f (x) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в этой точке производные всех порядков, тогда степенной ряд

                                          

Называется рядом Тейлора функции f(x) в точке x0

В случае x0 = 0 ряд называется рядом Маклорена в точке x0=0

                             

 

                                 

 

Применение ряда Тейлора к вычислению

Значений функции

Применение ряда Тейлора к вычислению определенных интегралов

При вычислении определенных интегралов мы можем воспользоваться стандартными разложениями функций. Члены ряда отбрасывают учитывая погрешность вычисления.

 

 

Разложение периодической функции в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье для четной и нечетной функции. Разложение функции, заданной на отрезке в ряд Фурье. Ряд Фурье в комплексной форме. Спектральные характеристики периодической функции.

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=a_o+ a₁cosx+a₂cos2x+a₃cos3x+...+b₁sinx+b₂sin2x+b₃sin3x+...,

где a_o, a₁,a₂,...,b₁,b₂,.. - действительные константы, т.е.

(1)

Ряд Фурье для четной и нечетной функции