Моделирование случайных величин

 

Случайные величины подразделяются на:

-  непрерывные;

-  дискретные;

-  смешанные.

Методы моделирования непрерывных случайных величин:

-  метод обратной функции;

-  метод исключения (фон Неймана);

-  метод композиций.

Методы моделирования дискретных случайных величин:

- метод последовательных сравнений;

- метод интерпретации.

 

Моделирование случайных векторов

 

Случайный вектор (система случайных величин) – совокупность случайных величин, характеризующих случайное явление

,                                                                          (4.5)

где  – случайная величина.

Характеристикой случайного вектора является совместная многомерная функция распределения компонент  или совместная многомерная плотность вероятности .

Методы моделирования случайных векторов с статистически зависимыми компонентами:

- метод условных распределений;

- метод исключения фон Неймана;

- метод линейных преобразований.

 

Практическая работа №3

«Последовательное обслуживание с блокировками и ограниченным буфером»

 

Цель: получить теоретические знания и практические навыки в имитационном моделировании.

Используемые приемы и технологии: технология визуального проектирования и событийного программирования, среда программирования Visual Studio 2010 Professional, язык программирования Visual C++ 2010 Professional.

Ключевые термины: имитационная модель, генератор псевдослучайных чисел, модельное время.

Постановка задачи: Разработайте имитационную модель и программное приложение, формализующее алгоритм решения задачи.

 

 

Варианты заданий 1

 

Производственная поточная линия включает два металлорежущих станка, обрабатывающих заготовки, и два магазина-накопителя, осуществляющих хранение заготовок ёмкостью  и  соответственно (рисунок 4.2).

 

Рисунок 4.2 – Производственная поточная линия

Одновременно на поточной линии могут находиться заготовок, включая обрабатываемые. Обработка заготовок, которые не могут разместиться в пределах линии из-за недостатка свободного пространства, откладывается. Интервалы времени между запросами на обработку заготовок распределены экспоненциально с математическим ожиданием, равным . Времена обработки заготовок распределены экспоненциально. На первом металлорежущем станке обработка занимает  единиц времени, на втором –  единиц времени. Заготовки автоматически транспортируются от первого металлорежущего станка ко второму станку за очень малый промежуток времени. Если очередь ко второму металлорежущему станку заполнена до конца, то первый станок блокируется. На заблокированный металлорежущий станок заготовки не поступают. Для оценки работы поточной линии определяются за период  единиц времени статистические данные:

- загрузка металлорежущих станков;

- время обработки одной заготовки;

-  число заготовок, обработка которых отложена;

-  число заготовок, находящихся в очереди к каждому станку;

- доля времени, в течение которого первый станок заблокирован.

Исходные данные задачи по вариантам представлены в таблице 4.1.

 

Таблица 4.1 – Варианты исходных данных

 

Вариант	Ёмкость 1 магазина-накопителя заготовок , шт.	Ёмкость 2 магазина-накопителя заготовок , шт.	Математическое ожидание,	Время обработки заготовок на 1 станке , ед.	Время обработки заготовок на 2 станке , ед.	Количество заготовок , шт.	Время моделирования , ед.
1	4	2	0,40	0,25	0,5	8	300
2	5	2	0,30	0,35	0,6	9	400
3	3	2	0,50	0,30	0,55	10	350
4	5	3	0,40	0,40	0,5	8	450
5	6	4	0,25	0,25	0,6	7	500
6	6	3	0,35	0,35	0,45	9	350
7	4	3	0,45	0,45	0,5	10	300
8	7	4	0,50	0,30	0,6	12	450
9	7	3	0,40	0,25	0,5	9	400
10	6	5	0,35	0,35	0,6	10	500

 

Исследовать способы улучшения показателей функционирования поточной линии:

- увеличить число мест для ожидания у первого станка:

- повысить производительность первого станка;

- увеличить число мест для ожидания у второго станка:

- повысить производительность второго станка;

Определить влияние указанных параметров на характеристики поточной линии:

- вероятность откладывания поступившей заявки;

- среднее время пребывания заявки в системе;

- вероятность пребывания первого станка в заблокированном состоянии.

Построить графики зависимостей:

- зависимость вероятности откладывания от размера буфера первого рабочего места;

- зависимость среднего времени пребывания заявки от размера буфера первого рабочего места;

- зависимость вероятности блокировки от размера буфера первого рабочего места;

- зависимость вероятности откладывания от размера буфера второго рабочего места;

- зависимость среднего времени пребывания заявки от размера буфера второго рабочего места;

- зависимость вероятности блокировки от размера буфера второго рабочего места;

- зависимость вероятности откладывания от быстродействия первого рабочего места;

- зависимость среднего времени пребывания заявки от быстродействия первого рабочего места;

- зависимость вероятности блокировки от быстродействия первого рабочего места;

- зависимость вероятности откладывания от быстродействия второго рабочего места;

- зависимость среднего времени пребывания от быстродействия второго рабочего места;

- зависимость вероятности блокировки от быстродействия второго рабочего места.

 

Варианты заданий 2

 

Вариант 1. Врачи Иванов и Петров ведут с 9.00 утренний приём больных. Приёмная открывается в 8.30, а закрывается в 10.00 утра. Секретарь сохраняет записи об обращениях пациентов за последние десять недель, кроме того врачи ведут учёт пациентов, принятых ими в часы консультаций. Входной поток имеет структуру (таблица 4.2).

 

Таблица 4.2 – Модель входного потока пациентов

 

Промежуток между появлениями пациентов, мин	1	2	3	4	5	6	7	8
Вероятность	0,05	0,05	0,10	0,20	0,40	0,10	0,05	0,05

 

Одна половина регистрируется у доктора Иванова, другая регистрируется у доктора Петрова. Они образуют две отдельные очереди, обслуживаемые по принципу FIFO (First In – First Out). Если свободен другой доктор, то 90% пациентов высказывают желание обратиться к нему, когда подошла очередь, а их доктор занят. Распределение времени консультаций обоих докторов, имеет вид (таблица 4.3).

 

Таблица 4.3 – Продолжительность консультаций

 

Продолжительность консультаций, мин	6	8	10	12	14
Вероятность	0,10	0,20	0,50	0,10	0,10

 

Для каждого пациента отводится время на консультацию независимо от того, какой доктор обслуживает. Можно ввести в модель два типа распределений времени консультаций для каждого врача.

Разработать имитационную модель, оценить входной поток пациентов в часы утреннего приёма и ответить на вопросы:

1 Какое число пациентов ожидает в приёмной в 9.00 часов утра?

2 Чему равно среднее время ожидания пациентов приёма в очереди?

3 В котором часу каждого доктора покидает последний пациент?

Вариант 2. Ремонтная мастерская производит продажу и ремонт покрышек к автомобилям. Приход клиентов носит случайный характер, система предварительной записи отсутствует. Временные интервалы между последовательными моментами прихода клиентов представлены в таблице 4.4

 

Таблица 4.4 – Временные интервалы появления клиентов

 

Временные интервалы между прибытием клиентов, мин	0	5	10	15	20	25	30	35
Вероятность	0,04	0,08	0,15	0,30	0,20	0,13	0,08	0,02

 

Время, необходимое для осмотра и замены покрышек, изменяется от 21 до 40 минут равновероятно. В ремонтной мастерской используется одна оборудованная монтажная площадка и место для парковки ещё одного автомобиля. Вне мастерской есть ещё место для парковки только одного автомобиля. Стоянка на близлежащей дороге запрещена, поэтому водитель, который подъехал в тот момент, когда заняты монтажная площадка и оба отведённых для парковки места, вынужден будет уехать и является потерянным клиентом. Потеря каждого клиента для мастерской обходится в 50 у.е. Если сделать реконструкцию, то внутри ремонтной мастерской можно оборудовать вторую монтажную площадку, но место для парковки внутри мастерской придётся демонтировать. Это не представляет проблемы, т. к. длина очереди и порядок продвижения клиентов останутся неизменными. Стоимость эксплуатации второй монтажной площадки составляет 35 у.е. в час.

Построить имитационную модель с 25 клиентами. Ответить на вопрос следует ли ремонтной мастерской вводить в эксплуатацию монтажную площадку?

Вариант 3. Автомобильная фирма производит легковые автомобили. Аккумуляторы для автомобилей компания закупает у внешнего поставщика. Спрос на аккумуляторы за неделю имеет нормальное распределение со средним значением 500 и среднеквадратическим отклонением 10 для промежутка от 470 до 530. Начальный запас аккумуляторов составляет 2000 штук. Администрация фирмы приняла решение о подачах заказов на партии аккумуляторов размером в 2500 штук, каждый раз, когда их запас опускается ниже уровня в 1500 штук. Интервалы времени между подачей заказа и осуществлением поставок изменяется следующим образом (таблица 4.5).

 

Таблица 4.5 – Распределение времени поставки заказа

 

Время поставки заказа, недели	1	2	3	4
Вероятность	0,20	0,50	0,25	0,05

 

Единичная стоимость хранения запасов равна 0,50 у.е. в неделю и рассчитывается для общего размера запаса, оставшегося на конец недели. Стоимость заказа – 50 у.е. Отсутствие аккумуляторов на складе оценивается в 20 у.е. в неделю.

Разработать имитационную модель для периодов 20 недель. Оценить среднюю стоимость проведения изложенной политики в неделю. Расчёты производятся в конце недели, а подачи заказов и поставки по ним – в начале недели.

Вариант 4. Городская администрация контролирует услуги микроавтобусов, которые развозят туристов и покупателей с автобусного и железнодорожного вокзалов в различные районы города. Данные о потоке пассажиров, прибывающих на автобусную остановку, находящуюся около железнодорожного вокзала, приведены в таблице 4.6.

Таблица 4.6 – Интервалы прибытия пассажиров на автобусную остановку

 

Время между моментами прибытия пассажиров, мин	0	1	2	3	4	5	6
Вероятность	0,04	0,16	0,24	0,28	0,16	0,10	0,02

 

По расписанию микроавтобусы должны прибывать каждые 10 минут, однако изменчивость транспортных условий приводит к расписанию прибытия (таблица 4.7).

 

Таблица 4.7 – Интервалы между последовательными прибытиями автобусов

 

Интервалы между последовательными прибытиями автобусов, мин	8	10	12	14	16
Вероятность	0,10	0,38	0,28	0,15	0,09

 

Число мест в автобусе определяется распределением (таблица 4.8).

 

Таблица 4.8 – Распределение числа мест в автобусе

 

Число свободных мест	0	1	2	3	4	5	6
Вероятность	0,06	0,18	0,27	0,34	0,11	0,03	0,01

 

Построить имитационную модель потока из 30 пассажиров, прибывающих на автобусную остановку, в предположении, что моделируемый счётчик времени установлен на нулевой отметке. Оценить среднее время ожидания автобуса пассажиром и среднюю длину очереди.

Вариант 5. Корпорация производит операции со всеми клиентами в 30-дневный срок. Как показывает опыт, 80% всех счетов закрывается в течение одного месяца, а 70% оставшихся счетов – в течение следующего месяца после того, как клиенту посылается стандартное письмо-напоминание о просроченных счетах. Половина счетов остаётся неоплаченной в течение двух месяцев. После того, как было отправлено письмо, содержащее “последнее предупреждение”, выплаты производятся в течение третьего месяца.

Со всеми счетами, которые оказались неоплаченными в течение трёх месяцев, поступают одним из двух возможных способов. Если сумма на счету превышает 1000 у.е., то для того, чтобы вернуть деньги, компания прибегает к законодательным процедурам. Принимая во внимание связанные с судебными процедурами издержки, доля каждой суммы, которую в конечном счёте удаётся вернуть, варьирует следующим образом (таблица 4.9).

 

Таблица 4.9 – Доля исходной денежной суммы, которую удаётся вернуть

 

Доля исходной денежной суммы, которую удаётся вернуть, %	0-40	40-60	60-80	80-100
Вероятность	0,10	0,30	0,40	0,20

 

Прежде, чем окончательные выплаты будут произведены, проходит, как правило, не менее трёх месяцев.

Если денежная сумма на счету составляет менее 1000 у.е., то компания продаёт неоплаченные счета другой компании, специализирующейся на скупке долговых обязательств, получая за это 50% исходной суммы, выплаты которой производятся в течение одного месяца, т. е. к концу четвёртого месяца.

Сумма счетов, выписанных компанией за последние месяцы, распределяется следующим образом (таблица 4.10).

 

Таблица 4.10 – Распределение суммы счетов

 

Сумма на счету	0-200	200-500	500-1000	1000-2000	2000-5000
Вероятность	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

 

Связь между суммой счёта в момент его оплаты и долей общей суммы, которую удаётся возвратить, отсутствует. Оплата всех счетов производится в последний день каждого месяца. Темпы роста основного капитала компании равны 1,5%.

Определить вероятность того, что выплаты по любому счёту будут произведены в конце второго месяца, третьего месяца, четвёртого месяца, шестого месяца.

Определить какова ожидаемая стоимость в настоящий момент нового счёта, размер неоплаченной суммы которого составляет 2000 у.е.? Значения ежемесячных коэффициентов дисконтирования приведены в таблице 4.11.

 

Таблица 4.11 – Значения ежемесячных коэффициентов дисконтирования

 

Месяц	1	2	3	4	5	6
Коэффициент	0,9852	0,9707	0,9563	0,9422	0,9283	0,9145

 

Построить имитационную модель системы в целом и определить текущее значение стоимости двух моделируемых счетов, используя случайные числа (таблица 4.12).

 

Таблица 4.12 – Случайные числа

 

Счёт 1	8	8	7	5	7
Счёт 2	9	9	8	2	9

 

Вариант 6. Администрация корпорации рассматривает вопрос о покупке новой упаковочной машины с автоматическим управлением. Новая машина позволяет ликвидировать две старые, которые в настоящее время применяются для упаковки продукта Х. Ввиду более высокой автоматизации технологического процесса новая машина позволит сократить затраты на оплату труда, а ввиду её более высокой производительности – увеличить объёмы производства. В связи со значительным ростом спроса на продукт Х, по оценкам специалистов, установка новой машины приведёт к увеличению прибыли за каждый из ближайших трёх лет. Ввиду неопределённости спроса ежегодный приток капитала, вызванный покупкой новой машины, нельзя оценить точно, поэтому при расчёте за каждый год использовались вероятностные оценки (таблица 4.13).

 

Таблица 4.13 – Ежегодный приток капитала

 

Ежегодный приток капитала, тыс. у. е.
1-й год	Вероятность	2-й год	Вероятность	3-й год	Вероятность
10	0,3	10	0,1	10	0,3
15	0,4	20	0,2	20	0,5
20	0,3	30	0,4	30	0,2
		40	0,3

 

В объёмах продаж продуктов Х существует неопределённость, поэтому для решения вопроса о целесообразности или нецелесообразности покупки упаковочной машины необходимо учитывать величину притока капитала только за ближайшие три года. Чистая стоимость новой машины за вычетом ликвидационной стоимости старого оборудования составит 42000 у.е. Налоги не учитываются.

Определить какая из комбинаций ежегодных притоков капитала приведёт к отрицательному значению общего притока капитала, а также вероятность появления этого события, не принимая во внимание изменение стоимости во времени.

Рассчитать на основе средних значений притока капитала за каждый год текущее значение чистой стоимости новой машины, если стоимость капитала для компании равна 15%. Соответствующие коэффициенты дисконтирования приведены в таблице 4.14.

 

Таблица 4.14 – Коэффициенты дисконтирования

 

Год	Значение коэффициента дисконтирования
1	0,8696
2	0,7561
3	0,6575

 

Построить имитационную модель расчёта текущего значения чистой стоимости, оценить значение риска, соответствующее данной ситуации. При моделировании 5 множеств притоков капитала используйте приведённые значения случайных чисел (таблица 4.15).

 

Таблица 4.15 – Значения случайных чисел

 

Год	Множество 1	Множество 2	Множество 3	Множество 4	Множество 5
1-й	4	7	6	5	0
2-й	2	4	8	0	1
3-й	7	9	4	0	1

 

На основе полученных результатов рассчитать ожидаемое значение чистой стоимости на настоящий момент и вероятность того, что внедрение новой машины приведёт к получению отрицательного значения чистой стоимости на настоящий момент.

Вариант 7. Мойщик машин установил оборудование на автомобильной стоянке около транспортной магистрали. На автомобильной стоянке могут находиться одновременно максимум два автомобиля, включая автомобиль, обслуживание которого производится в данный момент, причём в соответствии с правилами движения стоянка на дороге запрещена. Следовательно, клиент, подъезжающий к стоянке в тот момент, когда все места парковки заняты, является потерянным для мойщика машин. Распределение интервалов времени прибытия потенциальных клиентов и распределение времени обслуживания приведены в таблице 4.16.

 

Таблица 4.16 – Интервалы времени между прибытием и длительность обслуживания

 

Время, мин	Интервалы между прибытием, %	Длительность обслуживания, %
0-2	15	10
2-4	50	25
4-6	20	30
6-8	5	25
8-10	5	10
10-12	5	0
Итого:	100	100

 

Оценить среднее число потенциальных клиентов в час.

Используя случайные числа, приведённые в таблице 4.17, построить имитационную модель работы машин по обслуживанию 10 потенциальных клиентов и оценить число потерянных клиентов за 1 час.

Таблица 4.17 – Случайные числа для интервалов прибытия и длительности обслуживания

 

Номер клиента	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Случайные числа для интервалов прибытия	87	69	19	21	62	07	31	30	60	88
Случайные числа для длительности обслуживания	90	67	83	32	65	18	74	8	18	38

 

Вариант 8. Адвокаты Николаев и Михайлов ведут с 9.00 приём граждан. Юридическая контора открывается в 8.30, а закрывается в 10.00 утра. Секретарь сохраняет записи об обращениях пациентов за последние десять недель, кроме того адвокаты ведут учёт граждан, принятых ими в часы консультаций по юридическим вопросам. Входной поток имеет структуру (таблица 4.18).

 

Таблица 4.18 – Модель входного потока клиентов

 

Промежуток между появлениями клиентов, мин	1	2	3	4	5	6	7	8
Вероятность	0,04	0,06	0,12	0,18	0,35	0,15	0,07	0,03

 

Одна половина регистрируется у адвоката Николаева, другая регистрируется у адвоката Михайлова. Они образуют две отдельные очереди, обслуживаемые по принципу FIFO (First In – First Out). Если свободен другой адвокат, то 80% пациентов высказывают желание обратиться к нему, когда подошла очередь, а их адвокат занят. Распределение времени консультаций обоих адвокатов приведено в таблице 4.19.

 

Таблица 4.19 – Продолжительность консультаций

 

Продолжительность консультаций, мин	6	8	10	12	14
Вероятность	0,14	0,25	0,30	0,16	0,15

 

Для каждого клиента отводится время на консультацию независимо от того, какой адвокат консультирует. Можно ввести в модель два типа распределений времени консультаций для каждого адвоката.

Разработать имитационную модель, оценить входной поток граждан в часы приёма и ответить на вопросы:

1 Какое число граждан ожидает в приёмной в 9.00 часов утра?

2 Чему равно среднее время ожидания граждан приёма в очереди?

3 В котором часу каждого адвоката покидает последний клиент?

Вариант 9. Станция технического обслуживания производит техническое обслуживание автомобилей. Приход клиентов носит случайный характер. Временные интервалы между последовательными моментами прихода клиентов представлены в таблице 4.20.

 

Таблица 4.20 – Временные интервалы появления клиентов

 

Временные интервалы между прибытием клиентов, мин	0	5	10	15	20	25	30	35
Вероятность	0,06	0,15	0,20	0,25	0,15	0,10	0,05	0,04

 

Время, необходимое для осмотра и технического обслуживания, изменяется от 20 до 55 минут равновероятно. На станции технического обслуживания используется одна оборудованная смотровая площадка и место для парковки ещё одного автомобиля. Вне станции техобслуживания есть ещё место для парковки только одного автомобиля. Стоянка на близлежащей дороге запрещена, поэтому водитель, который подъехал в тот момент, когда заняты смотровая площадка и оба отведённых для парковки места, вынужден будет уехать и является потерянным клиентом. Потеря каждого клиента для мастерской обходится в 60 у.е. Если сделать реконструкцию, то внутри станции технического обслуживания можно оборудовать вторую смотровую площадку, но место для парковки внутри станции технического обслуживания придётся демонтировать. Это не представляет проблемы, т. к. длина очереди и порядок продвижения клиентов останутся неизменными. Стоимость эксплуатации второй смотровой площадки составляет 45 у.е. в час.

Построить имитационную модель с 20 клиентами. Ответить на вопрос следует ли станции технического обслуживания вводить в эксплуатацию смотровую площадку?

Вариант 10. Фирма производит компьютеры. Комплектующие изделия для компьютеров компания закупает у внешнего поставщика. Спрос на комплектующие изделия за неделю имеет нормальное распределение со средним значением 600 и среднеквадратическим отклонением 8 для промежутка от 560 до 640. Начальный запас комплектующих изделий составляет 3000 штук. Администрация фирмы приняла решение о подачах заказов на партии комплектующих размером в 3500 штук, каждый раз, когда их запас опускается ниже уровня в 1800 штук. Интервалы времени между подачей заказа и осуществлением поставок изменяется следующим образом (таблица 4.21).

 

Таблица 4.21 – Распределение времени поставки заказа

 

Время поставки заказа, недели	1	2	3	4
Вероятность	0,15	0,50	0,20	0,15

 

Единичная стоимость хранения запасов равна 0,60 у.е. в неделю и рассчитывается для общего размера запаса, оставшегося на конец недели. Стоимость заказа – 60 у.е. Отсутствие комплектующих изделий на складе оценивается в 25 у.е. в неделю.

Разработать имитационную модель для периодов 25 недель. Оценить среднюю стоимость проведения изложенной политики в неделю. Расчёты производятся в конце недели, а подачи заказов и поставки по ним – в начале недели.

 

Методические указания

 

1 Выбрать вариант задания по последней цифре номера зачетной книжки.

2 Разработать имитационную модель. Для вариантов заданий 2 использовать таблицы случайных чисел и программные генераторы случайных чисел.

3 Разработать алгоритм решения задачи.

4 Разработать программное приложение.

6 Оформить отчет по самостоятельной работе.

Содержание отчета должно включать:

Титульный лист

1 Постановка задачи.

2 Описание алгоритма решения задачи

3 Для варианта заданий 2 таблица статистического эксперимента.

4 Скриншоты.

5 Листинги программы.

 

4.7. 4 Контрольные вопросы

 

1 Что называется имитационной моделью?

2 Какая классификация имитационных моделей?

3 Какие этапы имитационного моделирования?

4 Какая структура имитационной модели?

5 Что называется псевдослучайным числом?

6 Какие методы генерации псевдослучайных чисел?

7 Какие методы моделирования зависимых событий?

8 Какие виды случайных величин?

9 Какие методы моделирования случайных величин?

10 Какие методы моделирования случайных векторов?