Выбор двух точек для вывода формулы (36).

Возвращаясь к солитону на мелкой воде, применим аналогичный прием и используем уравнение Бернулли для определения характеристик волны. Для составления уравнения выберем также две точки у самой поверхности воды: одну в невозмущенной части воды, где скорость воды в подвижной системе координат равна v ₀, а вторую точку – на самой вершине волны, где тоже отсутствует вертикальная составляющая скорости (рис. 14). Аналогично с уравнением (37) запишем уравнение для двух точек:

(38)

Подставив в (38) величину скорости из условия постоянства потока (34)

(39)

и учитывая, что давление p справа и слева в уравнении (38) практически одинаковое и равно атмосферному давлению, получим

(40)

В случае невысокой волны (h ₀ мало отличается от H) из (40) можно получить приближенное выражение для скорости волны:

(41)

Уравнение (40) можно также преобразовать в квадратное уравнение относительно h ₀:

(42)

Решая уравнение (42), получим:

(43)

На рис. 16 представлена полученная зависимость (для расчета взяты конкретные величины: g =10, H =5).

Рис. 16.

Зависимость h ₀ = h ₀ (v ₀) при g =10, H =5.

Выражение (43) можно использовать для определения условий, при которых образуется одиночная волна, решив соответствующее неравенство:

(44)

Как можно интерпретировать полученный результат?

Фактически мы получили подтверждение того, что вода действительно обладает “склонностью” к нестабильности.

Более того, согласно полученному условию (44), в горизонтальном желобе с неподвижной водой для получения солитона, волну необходимо “разогнать” до скорости v ₀, превышающей некоторое критическое значение (gH)^1/2. Если этого не сделать, то эксперимент, скорее всего, не удастся.

С другой стороны, условие (44) говорит о том, что в желобе с протекающей по нему водой солитон образуется в случае, если скорость течения воды будет превышать то же критическое значение, зависящее от глубины воды:

(45)

Поэтому при быстром течении воды она как бы подскакивает, отталкиваясь от “невидимых неровностей” дна, и образует почти неподвижные бугры, напоминающие одиночные волны. Естественно, что при этом “чистоту” эксперимента существенным образом нарушают трение воды о стенки и дно желоба, а также турбулентность, влияющая на характер течения.

А теперь перейдем к более подробному описанию формы солитона и его свойств. В первую очередь нам необходимо учесть вертикальную составляющую скорости воды на переднем и заднем фронтах волны (рис. 14):

(46)

Тогда уравнение (38) для точки на склоне волны примет следующий вид:

(47)

Преобразуем (47) к следующему виду:

(48)

Полученное выражение удобно для осуществления расчетов в программе Microsoft Excel, которые и были нами проведены для определения формы огибающей волны при различных исходных параметрах.

Какова была последовательность расчетов?

Сначала, используя формулу (43), получаем координату самой высокой точки волны h ₀ (для конкретного примера: v ₀ =10, g =10, H =5).

Далее, следует первый шаг: уменьшаем полученное значение h ₀ на заранее выбранную величину шага (Δ h =0,1) и вычисляем величину производной по формуле (48). После этого, зная величину производной (С), не составляет труда вычислить соответствующее изменение горизонтальной координаты:

(49)

Таким образом, для построения графика готова вторая точка ((h ₀ -0,1), Δх). Напомним, что первая точка графика - (h ₀,0).

Последующие шаги делаются простым заполнением столбцов. С каждым шагом h ₀ уменьшается еще на 0,1 и определяется величина производной, а также соответствующее изменение горизонтальной координаты Δх.

Результат расчета представлен на рис. 17. Здесь изображена “половина” солитона, так как второй склон симметричен изображенной половине, и делать соответствующие построения нет никакой необходимости.

Как видим, полученная кривая плавно подходит к невозмущенному уровню воды Н =5, что косвенно подтверждает правильность сделанных расчетов. При этом точность расчетов оказывается вполне приемлемой даже с учетом того, что, как и в предыдущих расчетах, было взято относительно малое количество точек.

Следует заметить, что современный самый простой домашний компьютер дает прекрасную возможность не только осуществлять достаточно сложные

Рис. 17.

Зависимость h = h (x) дает представление о форме солитона

(изображена его правая “половина” при v ₀ =10, g =10, H =5).

и громоздкие расчеты, но и, как мы видели, решать дифференциальные уравнения, фактически их “не решая”, а также вычислять любой интеграл. Более того, результаты расчетов могут быть тут же “мгновенно” обработаны и представлены в очень удобной форме.

Рис. 18.

Зависимость h = h (x) при v ₀ =10, g =10, H =4).

Поэтому желающие поподробнее изучить свойства полученных решений для солитона, могут провести соответствующие несложные расчеты с построением графиков на компьютере. Изменяя исходные параметры, интересно наблюдать подобие “анимации” - изменение всех характеристик солитона и “мгновенную” перестройку соответствующих графиков на экране монитора.

Такие расчеты дают возможность наглядно оценить влияние каждого фактора на это необычное физическое явление. Например, на рис. 18 изображен солитон в случае, если уменьшить глубину воды с Н=5 до Н=4 при прочих условиях таких же, как на рис. 17. Сравнение рисунков показывает, что крутизна склона солитона “непропорционально” резко увеличилась, также как и его высота над поверхностью невозмущенной части воды, а ширина уменьшилась.

Такое резкое увеличение высоты волны и ее крутизны при движении к берегу, когда происходит уменьшение глубины воды, как раз указывает на “коварное” свойство цунами обрушиваться всей своей мощью на берег. Кроме того, как мы видели при анализе солитона на веревке, солитоны имеют свойство “взбираться” высоко на возвышенности, а в случае цунами они переносят с собой большой объем воды в сочетании с огромной внутренней энергией, содержащей поровну и кинетическую, и потенциальную энергию.

Отметим также резкий рост высоты волны при уменьшении ускорения свободного падения (что полезно знать космическим путешественникам!).

Но вернемся немного назад и посмотрим внимательнее на то, каким образом взаимодействуют между собой кинетическая энергия и потенциальная энергия в солитоне. Этот процесс непосредственно связан с образованием вертикальной составляющей скорости на склонах волны.

 

 

Рис. 19.