Основная задача теории электрических цепей

И 1.58

Определение. Основная задача теории цепей заключается в определении токов во всех ветвях цепи, схема и параметры элементов которой известны.

Дополнение к определению. Из всех возможных типов задач в теории электрических цепей основная задача является наиболее важной, и в практическом, и в теоретическом отношении.

Если основная задача решена, то можно сравнительно просто рассчитать напряжение между любыми двумя точками цепи, мощности и эквивалентные параметры различных частей цепи и другие ее характеристики.

Основная задача естественным образом сводится к решению системы уравнений Кирхгофа. Хотя на практике более удобными и экономичными оказываются другие методы расчета токов, любая задача считается правильно поставленной, если она сводится к системе уравнений Кирхгофа, и правильно решенной, если ее решение удовлетворяет этой системе. Другими словами, любой метод расчета токов (если он верен) можно свести к решению системы уравнений Кирхгофа, а любую сложную и запутанную задачу (если она правильно сформулирована) можно свести к основной задаче теории цепей.

Основная задача теории цепей и система уравнений Кирхгофа – это корни теории, а ее плоды (методы, предназначенные для решения практических задач) зреют на многочисленных ветвях высоко от корней.

 

 

Структура системы уравнений Кирхгофа

 

И 1.59

Число уравнений системы равно числу неизвестных токов и равно числу ветвей электрической цепи (В).

    

И 1.60

Первый закон Кирхгофа дает уравнения токов для независимых узлов, число этих уравнений на единицу меньше числа узлов (N-1).

    

И 1.61

Второй закон Кирхгофа дает уравнения напряжений для независимых контуров (числом К).

    

И 1.62	После замены напряжений на отдельных элементах цепи их выражениями через токи ветвей (с помощью формул 1.1, 1.2 и 1.4) получается К уравнений для токов.
И 1.63	Как показывает основная топологическая формула (1.5) , число уравнений, составленных по законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов (В).

 

Замечание о цепях с идеальным источником тока. Токи идеальных источников тока относятся к известным величинам. При выборе независимых контуров можно не принимать во внимание контуры, содержащие источники тока (для этого достаточно не включить в граф цепи ветви с источниками тока). Тогда в число ветвей (В) не войдут ветви, в которых имеются источники тока.

Если все же в число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, включены уравнения для контуров с источниками тока, то кроме неизвестных токов в системе уравнений оказываются дополнительные неизвестные – напряжения на источниках тока. В этом случае в число ветвей (В) входят и ветви с источниками тока.

В обоих случаях (учитываются или не учитываются контуры, содержащие источники тока) число ветвей (В) равно числу неизвестных и числу уравнений в системе. В случае, когда учитываются контуры с источниками тока, число неизвестных и число уравнений больше, чем в случае без учета контуров с источниками тока, на число источников тока в цепи.

 

 

1.5.3. Порядок записи системы уравнений Кирхгофа

 

И 1.64

Алгоритм. 1. Определить число ветвей в цепи, выбрать направления токов в ветвях. 2. Определить число узлов, выбрать систему независимых узлов. 3. Определить число независимых контуров, выбрать систему независимых контуров, выбрать направления обхода контуров. 4. Составить уравнения токов для независимых узлов. 5. Составить уравнения напряжений для независимых контуров. 6. В уравнениях напряжений выразить напряжения на элементах цепи через токи ветвей. 7. Решив систему уравнений Кирхгофа, найти токи во всех ветвях цепи.

   

 

Система уравнений Кирхгофа для линейной цепи

Постоянного тока

Пример 1. В электрической цепи (рис. 1.19) восемь ветвей, не считая ветви с источником тока , пять независимых узлов (1, 2, 3, 4, 5) и три независимых контура (I, II, III).

Рис. 1.19. Электрическая цепь постоянного тока

 

Уравнения токов

                                    (1.6)

Уравнения напряжений

Если напряжения на резисторах выразить через протекающие в них токи, то получаются уравнения

                            (1.7)

Уравнения (1.6) и (1.7) образуют систему уравнений Кирхгофа, в ней содержится восемь неизвестных токов.