Изображение синусоидальных токов комплексными числами

Любая синусоидальная функция может быть представлена на плоскости вращающимся вектором (рис. 1). Для расчёта цепей синусоидального тока векторы тока и напряжения изображают на комплексной плоскости и записывают в виде комплексных чисел.

Принято на комплексной плоскости изображать векторы для момента времени   w t=0.   При этом мгновенное значение синусоидального тока

для момента времени w t =0 изображается вектором

Рисунок 1

Величину  называют комплексной амплитудой тока (обозначают чертой снизу). Она характеризуется амплитудой   и начальной фазой тока .

Амплитуда   – это модуль комплексной амплитуды, она равна амплитуде синусоиды.

Начальная фаза тока на комплексной плоскости представляет угол , под которым вектор  проведен к действительной оси + (рис.1).

Примеры

1.1 Мгновенное значение синусоидального тока (или напряжения),

записывается в виде комплексной амплитуде по формуле

где  - комплексная амплитуда тока,

- амплитуда тока, = 20 А,

- начальная фаза тока,   = 70°.

Здесь    имеет знак плюс.

Если начальная фаза   имеет знак минус, например

то и комплексная амплитуда записывается со знаком минус перед :

Для функции с начальной фазой = 0

комплексная амплитуда:

Переход от комплексных чисел к тригонометрическим формулам осуществляется в обратной последовательности. Например, комплексной амплитуде напряжения

соответствует мгновенное значение синусоидального напряжения

1.2 Комплексные действующие значения токов и напряжений

В электротехнике принято применять не амплитуды, а действующие значения. Поэтому комплексную амплитуду нужно делить на :

где  - комплексные действующие значения напряжения и тока.

Например, для комплексной амплитуды

комплексное действующее значение:

Переход от показательной формы комплексных чисел к алгебраической форме

Применяются две формы комплексных чисел:

1) показательная,

2) алгебраическая.

Переход осуществляется по формуле Эйлера

Например, комплексное действующее значение тока

.

в алгебраической форме записывается в виде

Вектор  и его проекции на действительную и мнимую оси показаны на комплексной плоскости (рис.2). Длина вектора в масштабе равна его модулю I= 60 A. Угол = 30° отсчитывается против направления вращения часовой стрелки, так как в формуле он имеет знак плюс.

Положительные значения угла   отсчитываются от действительной оси против направления вращения часовой стрелки.

Если перед аргументом    стоит знак минус, то следует пользоваться формулой