Теоретическое введение к работе 4. 2

Рисунок 4.3 – Схема экспериментальной установки

 

Экспериментальная установка для определения коэффициента возвращающей силы и периода колебаний нагруженной пружины изображена на рисунке 4.3. Она представляет собой штатив А, на котором укреплена линейка В и подвеска С с указателем длины D. В комплект входят также грузы М и секундомер N.

Груз, подвешенный на упругой пружине и отклоненный от положения равновесия, совершает гармонические колебания. Гармонические колебания – это такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонического колебания имеет вид:

 

                          (4.21)

 

где x – смещение груза от положения равновесия; А – амплитуда гармонических колебаний;  – фаза колебаний.

Амплитудой называется максимальное смещение колеблющейся точки от положения равновесия. Фаза, являясь аргументом тригонометрической функции, позволяет определить положение колеблющейся точки в любой момент времени и, следовательно, характеризует состояние механической системы в любой момент времени.

 – циклическая частота; она выражается через частоту ν по формуле:

 

ν.                                  (4.22)

 

Так как частота ν – это число колебаний, совершенных за единицу времени, то циклическую частоту можно определить как число колебаний, совершаемых за 2π секунд.

Важной характеристикой гармонических колебаний является период Т. Период – это время одного полного колебания. Очевидна его связь с частотой:

 

                                            (4.23)

 

Тогда, учитывая формулы (4.22) и (4.23), можно получить соотношение:

 

                                          (4.24)

 

Зная смещение при гармоническом колебании (4.21), можно найти ускорение:

 

a = A×sin                                (4.25)

 

Учитывая (4.21), получаем

а= x.                                          (4.26)

 

    Выясним, какими силами вызываются гармонические колебания, воспользовавшись 2–м законом Ньютона и формулами (4.25) и (4.26):

 

F = ma = A sin ωt       или         F=

Обозначив  

,                                 (4.27)

получим

F= –k×x                                   (4.28)

 

    Таким образом, сила, вызывающая гармонические колебания, обладает двумя свойствами:

1. Величина силы прямо пропорциональна смещению точки от положения равновесия.

2. Направление силы противоположно направлению смещения, т.е. сила направлена к положению равновесия.

Этим условиям удовлетворяют упругие силы (см. теоретическое введение к лабораторным работам 1.2а и 1.2б) и квазиупругие силы. В данной лабораторной работе груз массой m совершает колебания, будучи подвешенным на упругой пружине. Он колеблется под действием упругой силы (4.28), которая в дальнейшем будет называться возвращающей силой. Легко заметить, что в данном случае формула (4.28) представляет собой выражение закона Гука. Коэффициент упругости (жесткость) пружины k можно назвать коэффициентом возвращающей силы. Учитывая формулу (4.28), примененную для модуля силы, его можно найти как

                                               (4.29)

    Из формулы (4.29) вытекает физический смысл коэффициента возвращающей силы: он численно равен силе, вызывающей абсолютное удлинение пружины, равное единице. Возвращающая сила будет равна весу груза на пружине F=P. Учитывая, что P=m×g, получим формулу для расчета коэффициента возвращающей силы:

 

                                               (4.30)

Подставим это выражение в формулы (4.24 и 4.27), и получим:

 

                                      (4.31)

 

Это формула выражает период колебаний нагруженной пружины.