Теоретическое введение к работе 4. 1

В данном месте земной поверхности все тела падают с одинаковым ускорением, обусловленным действием силы тяжести. Это ускорение называется ускорением свободного падения и обозначается g. Так как Земля не является идеальной сферой, то значение ускорения свободного падения зависит от географической широты места. Наибольшей величины оно достигает на полюсе (g = 9,83м/с²), а наименьшего – на экваторе (g = 9,78м/с²). Средним значением считается величина, равная g = 9,81м/с².

Непосредственное определение g из наблюдений свободного падения затрудняется тем, что время падения обычно мало. Поэтому для изучения g часто пользуются наблюдением свободных гармонических колебаний математического маятника.

Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити. Если на длинной тонкой нити подвесить металлический шарик, масса которого значительно больше, а размеры значительно меньше, соответственно, массы и размеров нити, то такой маятник можно считать математическим.

Рисунок 4.1 – Силы, действующие на математический маятник в точке А.

 

Выведем шарик из положения равновесия и отпустим. На шарик будут действовать две силы: сила тяжести   и сила натяжения нити . Сила   направлена вертикально вниз, а – вдоль нити. Силами сопротивления пренебрегаем. Разложим  на две составляющие: , направленную вдоль нити, и , направленную по касательной к траектории движения шарика (т.е. перпендикулярно нити). Равнодействующая сил  и   есть возвращающая сила, благодаря которой шарик движется по дуге окружности.

Под действием силы  маятник начинает двигаться вниз по дуге окружности к положению равновесия. По мере движения маятника, сила , направленная к положению равновесия, уменьшается по модулю, и в тот момент, когда маятник проходит положение равновесия, она становится равной нулю. По инерции маятник проскакивает положение равновесия и поднимается вверх. Теперь составляющая  меняет направление, но по-прежнему направлена к положению равновесия.

 

                    (4.1) 

 

Знак «–» стоит потому, что  и  имеют противоположные знаки.

Обозначим через   касательное ускорение маятника. Тогда, согласно II закону Ньютона:

                                       (4.2)

 

Подставляя (4.1) в (4.2), получаем:

 

                          (4.3)

 Из формулы (4.3) получаем:

                                 (4.4)

 

При малых , следовательно,

 

                                       (4.5)

 

Обозначим длину дуги  через , тогда:

 

 ,                                        (4.6)

 

откуда

                                                   (4.7)

 

 Подставляя (4.7) в (4.5), получим:

 

 .                              (4.8)

 

В уравнении (4.8) – координата шарика,  – касательное ускорение; оно равно второй производной пути по времени. Тогда уравнение (4.8) можно записать в виде:

,               (4.9)

где

.                                        (4.10)

Из вида уравнения (4.9) следует, что координата (длина дуги) должна меняться со временем по закону синуса или косинуса. Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка:

 

,                                   (4.11)

 

где – циклическая частота колебаний, связанная с периодом колебаний маятника .

Периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями. Следовательно, математический маятник совершает гармонические колебания.

                                 (4.12)

 Из формулы (4.10)

                                       (4.13)

Отсюда:

,                                   (4.14)

где  – ускорение свободного падения;  – длина нити математического маятника, т.е. расстояние от точки подвеса до центра тяжести шарика. Формула (4.14) может служить рабочей формулой для определения , но для нахождения  нужно знать радиус шарика.

Для периодов свободных колебаний маятников двух разных длин  в соответствии с формулой (4.14) получаем:

                                         (4.15)

                                                  (4.16)

или  ,                                            (4.17)  

,                                     (4.18) 

 

Вычитая из (4.17) выражение (4.18), получаем путем простых преобразований выражение для ускорения свободного падения:

 

,при .                (4.19)  

 

Формула (4.19) есть рабочая формула для определения ускорения свободного падения.