Собственные числа и собственные векторы.

Поскольку существует полная согласованность между линейными операторами и матрицами, и в данном случае мы будем рассматривать линейные операторы с квадратными матрицами, поэтому говоря линейный оператор φ с матрицей А порядка n будем понимать ассоциированную с ним матрицу А порядка n и наоборот.

Определение. Число λ называется собственным значением матрицы А порядка n, если существует такой ненулевой вектор х, что выполняется равенство

, (1)где , , λ= const

При этом вектор х называется собственным вектором матрицы А, а λ – собственным значением матрицы А, соответствующим вектору х.

ПО-РУССКИ: при умножении матрицы на вектор получаем новый вектор, повернутый и сжатый/растянутый относительно исходного вектора. Тогда возникает вопрос: существуют ли (если да, то сколько) такой вектор, который при умножении на матрицу не поворачивается, а только сжимается/растягивается? Такой вектор и является собственным вектором матрицы.

 

Группируя все слагаемые уравнения (1) в левой части, перепишем его в виде:

, где Е и 0 – соответственно единичная матрица и нулевой вектор.

Получаем линейную однородную систему:     (2)

Поскольку собственный вектор является ненулевым, то однородная система (2) должна иметь ненулевые решения. Известно, что линейная однородная система с квадратной матрицей имеет ненулевые решения, если определитель матрицы = 0.

Матрица  называется характеристической матрицей, а определитель характеристической матрицы  – характеристическим полиномом. Корни характеристического полинома  называются характеристическими числами матрицы А (или характеристическими корнями).

Уравнение имеет степень n относительно неизвестной λ. Его корни являются собственными числами матрицы А. определив набор этих чисел, для каждого из них можно найти соответствующий собственный вектор как решение однородной системы (2).

Поскольку система (2) при выполнении условия  имеет бесконечное множество решений, то ища собственные векторы, будем искать фундаментальную совокупность решений линейной однородной системы.

Пример

Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы

Решение. Составляем характеристическую матрицу : Находим характеристический многочлен (определитель характеристической матрицы)

Решим характеристическое уравнение (Находим корни трехчлена) . Возьмем первый корень =4.

для собственного вектора получаем матричное уравнение что соответствует системе уравнений Получаем значение координат собственного вектора, соответствующего собственному числу 4:

Множество собственных векторов и нулевой вектор принадлежащих одному собственному значению образуют подпространство, которое называется собственным.