Центральная симметрия параллелепипеда.

Т19.3 Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

· Точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.

Прямоугольный параллелепипед.

4  Прямой параллелепипед, у которого основание является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом (все грани прямоугольники).

5  Прямоугольный параллелепипед, у которого ребра равны называется кубом.

Т19.4 В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений.

Симметрия прямоугольного параллелепипеда.

У прямоугольного параллелепипеда, как у всякого параллелепипеда, есть центр симметрии – точка пересечения его диагоналей. У него так же есть три плоскости симметрии, проходящие через центр симметрии параллельно граням.

Если у параллелепипеда все линейные размеры разные, то у него нет других плоскостей симметрии, кроме названных.

Если же у параллелепипеда два линейных размера равны, то у него есть еще две плоскости симметрии. Эта плоскость диагональных сечений.

Объем призмы.

Объем любой призмы равен произведению площадей ее основания на высоту.

Объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Объем прямоугольного параллелепипеда с линейными размерами a,b,s вычисляются по формуле  

 

 

Объем наклонного параллелепипеда.

Понятия объема.

Тело называется простым, если его можно разбить на конечное число треугольных пирамид.

Для простых тел объем – это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

1) Равные тела имеют равные объемы.

2) Если тело разбито на части, являющимися простыми телами, то объем этого тела равен сумме объемов его частей.

Объем куба, ребро которого равно единица длины, равен единицы.

Задачи:

1. Найдите объем прямой призмы , если угол ВАС равен 120˚, АВ=10 см, АС=6см и наибольшая из площадей боковых граней равна 105 .

Дано: АВСА1 В1 С1- прямая призма     АВ=10см, АС=6см,         ВАС= 120° = 105 Найти: Vпр.? Решение: 1) 2) осн = =  =

120˚

В

А

С

10

6

                                                                      

                                                                 

                                                         

 

                                     

105

 

 

 

 

3)

, значит ВС = 14 см.

4) - прямоугольник 105 =14 ;

5)

 

2. Найдите объем наклонной призмы, у которой основанием является треугольник со сторонами 20, 20 и 24см, а боковое ребро, равное 16см, составляет с плоскостью основания угол 60˚.

 

                                               

 

B

60˚

A

20

16

C

M

24

20

                                                          Дано: ма

                                                           АВ=20см,

                                                          AC=20cм,

                                                           ВС=24см,

                                                      

                                                          

                                                           Найти Vпр.

 

                                              

 

 

    

 

 

Решение:

1)

2)По формуле Герона найдем S осн.

р- полупериметр

4)

5) Vпр.=192

Ответ:

3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 36 см и составляет угол 30°, с плоскостью боковой грани и угол в 45° с боковым ребром. Найдите объем параллелепипеда.

В

С

Д

Д1

С1

В1

А

А1

45°

30°

36

 Дано: АС₁ - прямоугольный параллелепипед

АС₁ = 36 см

В₁ АС₁ = 30°

А₁ АС₁ = 45°

Найти: V_парал.

Решение:

АС₁ – наклонная к АА₁В₁В, АВ₁ – её проекция

 

1) V_парал. = abc = S_осн. · H

2) ∆ АВ₁С₁:  АВ₁С₁ = 90°, т.к. В₁С₁ А₁АВВ₁, а значит В₁С₁ В₁А по определению перпендикуляра к плоскости

В₁АС₁  = 30° по условию, а значит В₁С₁ =  по свойству катета, лежащего напротив угла 30° в прямоугольном треугольнике.

3) ∆ АА₁С₁:  АА₁С₁ = 90°, т.к. параллелепипед прямоугольный

АА₁ = АС₁ · cos45° =  см

4) ∆ АА₁С₁: АА₁С₁ = 90°, А₁АС = 45° по условию, а значит

АС₁А₁ = 45°, поэтому

АА₁ = А₁С₁ = 18  см.

5) ∆ А₁В₁С₁:  А₁В₁С₁ = 90°

По т. Пифагора

А ₁В₁ =  =  =  =  = 18 см

6) V_парал. = 18 · 18·  = 5832  см³

Ответ: 5832  см³

4. В правильной призме четырёхугольной сторона основания 8 см. Диагональ призмы 18 см. Найдите объем призмы.

Дано: BD1 – правильная четырёхугольная призма, AB = 8 см, BD1 = 18 см. Найти: Vпр. Решение: 1) Vпр = Sосн * H 2) B1A1D1: . Так как призма правильная, значит в основании ее лежит квадрат. По теореме Пифагора:

В     8        С

8

А                       Д

18

В1                                       С1

А1                                     D1

 

B₁D₁ =

3) BB₁D₁:  BB₁D₁ = 90 , так как призма правильная, значит BB₁  A₁B₁C₁ D₁

По теореме Пифагора:

BB₁ =

4) V_пр = 64 *14 = 896 см³.

Ответ: 896 см³.

 

 

Пирамида.

О: Многоугольник, одна из грани которой – произвольный многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину, называются пирамида.

Отрезки соединяющих вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми рёбрами.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Усеченная пирамида.

Т19.5 Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду.

Правильная пирамида.

О: Пирамида называется правильной, если ее основание является правильный многоугольник, а основание высоты соединяет с центром этого многоугольника.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Т19.6 Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофемы.

Объем пирамиды.

О: Объем любой треугольной пирамиды равен одной третьей произведения площади основания на высоту: V = .

Задачи:

 

1. В правильной четырёхугольной пирамиде боковые рёбра 40см, а высота 32см. Найти объём пирамиды.

Дано: SABCD – правильный четырёхугольник,

SC = 40см, SO = 32см,

SO ABCD.

Найти: V_пр.

Решение:

1) V_пр. = S_осн. * Н

2) Так как пирамида правильная четырёхугольная, значит в основании её лежит квадрат.

S_кв. =

3)

По теореме Пифагора:

ОС = см, значит АС = 48см, BD = 48см.

4) S_ABCD = см³.

Ответ: см³.

Дано: SABC – правильная пирамида. ВС = 32 см, SB = 20 см. Найти Sбок. Решение: 1) Sбок. прав. пир. =  Р осн. * Н бок. 2) О – центр основания пирамиды. Точка пересечения медиан треугольника АВС – точка О. 3)

2. Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если сторона основания 32 см, а боковое ребро 20см.

О

S

32

B

D

C

A

h

20

K

 

 

Так как пирамида правильная, SD – апофема.

По теореме Пифагора найдём SD (катет).

SD = SB² – DB² =

S_бок. = см²

Ответ: S_бок. = см²

 

 

 3. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник АВС, в котором АВ = ВС = 13см, АС = 10 см, каждое боковое ребро пирамиды образует с её высотой угол 30 . Вычислите объём пирамиды.

30

30

30

S

B

C

A

13

10

Дано: ABSC – пирамида АВ = ВС = 13см АС = 10 см Найти: Vпир. Решение: Построим SO перпендикулярно плоскости АВС; SO – это высота пирамиды. , они имеют равный острый угол, тогда ОВ = ОС = ОА =R, где

О

 

 

R – радиус описанной окружности

 

По теореме косинусов в треугольнике АВС:

100 = 2 *

2 * 169 *

Значит, R = OB =

Из треугольника SOB найдём высоту SO:

SO

S _ABC = , где p =

S _ABC =

V =  S _ABC *30 =

Ответ:

9. Тела вращения.

 

Тела вращения.

B     O         C

A    O1         D

A          O               B

S

О

(0; r) – Шар Sсф. = 4 VШара =

SAB - Конус ASB – осевое сечение SA, SB – образующие

ABCD - цилиндр OO1 – ось симметрии AB1CD – образующие, высота.

 

 

Цилиндр.

1 В цилиндр площадь осевого сечения которого равна 48см² вписана призма. Основанием призмы является прямоугольный треугольник с катетом равным 4  и прилежащим к нему углом 30 . Найти объём цилиндра.

А        О              В

С

130

А1           О1               В1

С1

48см^2

Дано: АА1В1В – цилиндр. АСВА1С1В1 – призма, вписанная в цилиндр. , АС = 4  SAA1B1B = 48см^2 Найти: VЦил. Решение: 1. VЦил.=

 

2.

АВ =  центр описанный около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы, а значит

АВ – диаметр, R =  = 4см.

3.АА₁В₁В – осевое сечение цилиндра. АА₁В₁В = АВ * АА₁

48 = 8 * АА₁

АА₁ =  значит Н = 6см.

4. V_Цил.= ³

Ответ: ³

Запомни! (Частный случай.)

Дано: ABCD – цилиндр. CD = 30м KO1 = 8 м MNPQ – квадрат Найти: Sосн. Решение:   1) Sосн. = 2) MO1Q – равнобедренный, так как MO1 = O1Q как радиусы одной окружности. 3)О1К , значит О1К – медиана треугольника MO1Q. MQ = 30, так как сечение MNPQ, если квадрат,

2. Сечение цилиндра плоскостью отсекает от оси цилиндра на расстоянии 8м. Высота цилиндра 30м. Найти площадь основания цилиндра, если сечение есть квадрат.

 

P

B

O

C

N

30

Q

K

A

D

M

O1

 

а КМ = 15м.

4) Рассмотрим треугольник О₁КМ: О₁КМ = 90 .

По теореме Пифагора:

О₁М =

5) S_осн. = ²

Ответ: S_осн. = ².

 

 

3. В шар, радиус которого равен 18см, вписан цилиндр. Диагональ осевого сечения цилиндра составляет с основанием угол 30^о. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

В

С

18

D

А

                                            Дано: шар (0;18), АВСD – цилиндр,   

О

                                   

                                                                   вписан в шар, CAD=30^о

                         Найти: S_{бок.цил.}

 

30^о

                  

 

1) S_{бок.цил.}= 2 RH

2) ∆ ADC: ADC = 90^о, т.к CD AD

СD = AC = 36 = 18cм по свойству катета, лежащего напротив угла в 30 в прямоугольном треугольнике, а значит H =1 8см

∆ADC: ADC = 90^о

3) AD = AC cos30^o = =18 cм

R_{осн.цил} = = = 9 cм.

4) S_{бок.цил.} = 2П = 324 П см²

Ответ: 324 П см²

4. Около шара, радиус которого равен 15 м, описан цилиндр. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

                                                        Дано: ω шар (О;15),

АВСД – цилиндр, описан около шара

  Найти: S_{бок. пов.}

 

Решение

1) S_{бок. пов.} = 2πRH

2) D = 2 · ОО₁ = 15 · 2 = 30м

3) S_{бок. пов.} = 2π · 15 · 30 = 900π м²

Ответ: 900π м²

 

 

5. Найдите объем цилиндра, описанного около сферы радиуса 9см.

                                                      Дано: ω сфера (О;9),

АВСД – цилиндр, описан около шара

Найти: V_цил

Решение

1) V_цил. = π R²H

2) Н = 2R = 2 · 9 = 18 см

3) V_цил. = π · 9² · 18 = 1458 π см³

Ответ: 1458 π см³

6. Около шара описан цилиндр. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если его высота равна 24см.

                                           Дано: ω шар (О; R),

 АВСД – цилиндр, описан около шара

H = 24cм

 Найти: S_{бок. пов.}

Решение

1) S_{бок. пов.} = 2πRH

2) R =  =  = 12 cм

3) S_{бок. пов.} = 2π · 12 · 24 = 576 π cм²

Ответ: 576 π cм²

7. В цилиндре АВСД проведен отрезок С₁Д₁, равный 18 см и параллельный основанию. Известно, что радиус основания равен 40 см. Найти расстояние от отрезка С₁Д₁ до оси цилиндра.

О

С

В

Дано: АВСД – цилиндр

      С₁Д₁ = 18 см

Д1

С1

18

К

О₁Д = 40см, ЕК С₁Д₁

Е

Найти: ЕК

40

О1

А

Д

Решение:

1) Рассмотрим ЕС₁Д₁: ЕС₁ = ЕД₁ = 40см, как радиусы одной окружности по Т 20.1

2) ЕК С₁Д₁, по условию, а высота в равнобедренном треугольнике, опущенная из его вершины, является медианой и высотой, поэтому

КД₁ = 9 см

3) ∆ ЕКД₁:  ЕКД₁ = 90°

По т. Пифагора

ЕК =  =  =  =  = 7  см

Ответ: 7  см

 

 

 

 

 

Конус.

О: Тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета, называется конусом.

S

l

O

A

B

SAB - конус                        SA, SB - образующие          SO - высота      Sбок. = Rl Sполн.К. = rl VКон.=  r^2 * H

 

Развёртка: S_бок. = Rl

 

 

Задачи:

Дано: SAB - конус SACB – пирамида вписанная в конус. ACB = 90 AC = 7m ABC SKO Найти: Vкон. Решение: 1. Vкон. = 2.  по условию АВ = 14м по свойству катета лежащего против угла в 30  в прямоугольном треугольнике, значит

1. В конус вписана пирамида, основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 7м, а противолежащий угол 30 . Грань пирамиды, проходящая через данный катет составляет с основанием угол . Найдите объём конуса.

S

A

B

C

K

7m

60

30

 

R =  7m.

3. Рассмотрим , так как SO высота конуса и пирамиды.

 – линейный угол двугранного угла ребром АС и гранями SAC и ACВ, так как

a) SK AC, так как треугольник ASC - равнобедренный SK является биссектрисой и высотой.

b) OK AC, так как BC AC по условию, а  OK BC.

На основании Т17.2 заключаем, что плоскость SKD AC.

4. ОК – средняя линия треугольника АСВ, значит ОК = .

5. ВС = АС * .

6. OK = .

7. SO = OK * .

8. V_кон. = .

Ответ: V_кон. =

 

Дано: SAB - конус CD AB CD = 12см EK CD EK = 8см EO = 10см OB = 15см Найти: SO (высота конуса) Решение: 1. SOB SED: оба прямоугольные и . 2. Из подобия треугольников следует пропорциональность сходства их сторон.

2. В конусе проведён отрезок пересекающий боковую поверхность в точке С и D и параллельные плоскости основания. Отрезок CD отстоит от основания на расстоянии 8 см, а от плоскости основания 10см. Найти высоту конуса, если известно CD – 12см, радиус основания 15 см.

S

C 12 K D

8

E 10

A                O 15          B

 

Составляем пропорцию:

3. Пусть SO = x, тогда SE = x – 10

4. EK: SED = 90 , так как SED равнобедренный и EK CD, значит KD = 6 по теореме Пифагора:

ED = = .

5.

10х = 15(х-10)

10х = 15х – 150

10х – 15х = -150

-5х = -150 |: (-5)

х = 30

Ответ: 30см.

 

 

S

3. Образующая конуса равна 30см, а диаметр его основания 36см. Найдите площадь поверхности шара, вписанного в конус

 

                                                Дано: SAB-конус

 шар (o;r) вписан в конус.

                                                    SB =30см  

                                                              AB =36см

А

0

                                                         Найти: S шара

В

D

                                                                   

                                                   Решение:

1. S шара = 4π  

2. ∆SAB –  осевое сечение конуса, равнобедренный

w – окружность, вписанная в ∆ SAB

r =

 

P = a + b + c

3. S_равноб. ∆  = a  =  · 36  =

=    = 18 · 24   =   432

4. r = = 9см, а значит R шара = 9см

5. S шара = 4π ·  = 4π · 81 = 324 π

Ответ:   324 π

 

 

Шар.

Задачи:

Дано: шар (О;14) ВД1 - прямоугольный параллелепипед вписан в шар.      АВ = 8 см; АД = 12 см Найти: Sбок. парал. Решение: 1) Sбок. прямоуг. парал. = P осн * Н 2) ∆ ВВ1Д1:  ВВ1 Д1 = 90°, т.к. параллелепипед прямоугольный.

1. В шар радиусом 14см вписан прямоугольный параллелепипед, стороны основания которого равны 8 см и 12 см. Найти площадь боковой поверхности параллелепипеда.

B1                              C1

А1                                 D1

О

8

12

 

 

По теореме Пифагора: ВВ₁ =

3) ∆ В₁ А₁ Д₁:  В₁ А₁ Д₁ =90°, значит              

4) , а значит H = 24см

5) S_{бок. парал}. = (8+12) · 2 ·24 = 20 · 2 · 24 = 40 · 24 = 960

Ответ: 960 .

 

 

2. Дан шар. Секущая плоскость наклонена к диаметру под углом 60°, расстояние от центра шара до секущей плоскости равно .  Найти площадь сечения.

60^0

Дано: Шар (0; R)

     OAO¹ = 60°

                  ОО¹ =

O

      Найти: S_{сечения}.

      Решение:

      1) Sсеч. = π

   2)  Рассмотрим ∆OO¹A: OO¹A = 90°

 

По Т. о секущей плоскости шара CO¹ ┴ α

O¹A = OO¹ · =  ·   = , значит R_сеч =

3) S_сеч = π = =

Ответ: .

 

 

3. Диаметр шара равен высоте цилиндра, диагональ осевого сечения которого наклонена к основанию под углом 30°. Найдите отношение объемов цилиндра и шара.

С     h     D

В   А

Дано: ω шар (0;R)

                                                                                            Цилиндр - ABCD

O

Д

                                                                                        D шара = h_цил.

                                                                 ABCD – основание цил.

30

∟CHD = 30

 

 

Найти:

Решение:   

1) Vцил. = π H

2) Рассмотрим ∆CDA

∟СDA = 90°

AD = CD · ctg30°  = H

3. R осн.цил. =

4. V _цил. = π · H =

5. V _шара =

6. R_шара =

7. V _шара =

8. V _цил.  

Ответ:

 

H

4. Диаметр шара равен высоте конуса, диагональ осевого сечения которого наклонена к основанию под углом 30°. Найдите отношение объемов шара и конуса.

ω

O

•

A

S

Дано: ω шар (О;R), SAB – конус Д _м = Н _кон. , SBO = 30°

Д

D

Найти: